Номер 3.21, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.21. Выполните действия:

1) $(4x^2)^3;$

2) $(-2a^4b^2)3;$

3) $0,3v^2 \cdot (-\frac{1}{3}u^4 \cdot v^6);$

4) $(\frac{1}{4}x^2y)^3 \cdot (-32x^2 \cdot b).$

1)

Для возведения одночлена $(4x^2)$ в куб, необходимо возвести в куб каждый множитель внутри скобок: числовой коэффициент 4 и одночлен $x^2$.

Используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$:

$(4x^2)^3 = 4^3 \cdot (x^2)^3$

Вычисляем куб коэффициента:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Далее, используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Соединяем результаты, чтобы получить итоговый одночлен:

$64 \cdot x^6 = 64x^6$

Ответ: $64x^6$

2)

В данном примере выражение $(-2a^4b^2)3$, скорее всего, содержит опечатку, и имеется в виду возведение в третью степень: $(-2a^4b^2)^3$. Исходя из этого предположения, решим задачу.

Возводим в куб каждый множитель одночлена, используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$:

$(-2a^4b^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^2)^3$

Вычисляем куб числового коэффициента:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Возводим в степень переменные, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$

$(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$

Объединяем все части в один одночлен:

$-8a^{12}b^6$

Ответ: $-8a^{12}b^6$

3)

Необходимо перемножить два одночлена: $0,3v^2$ и $(-\frac{1}{3}u^4v^6)$.

Для этого сгруппируем и перемножим отдельно числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$0,3v^2 \cdot (-\frac{1}{3}u^4v^6) = (0,3 \cdot (-\frac{1}{3})) \cdot u^4 \cdot (v^2 \cdot v^6)$

Перемножим коэффициенты. Представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{10}$ для удобства вычислений:

$0,3 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{3}{10} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 3} = -\frac{3}{30} = -\frac{1}{10} = -0,1$

Теперь перемножим переменные, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$v^2 \cdot v^6 = v^{2+6} = v^8$

Переменная $u^4$ остается без изменений, так как в первом множителе ее нет.

Собираем итоговое выражение:

$-0,1u^4v^8$

Ответ: $-0,1u^4v^8$

4)

Данное выражение — это произведение $(\frac{1}{4}x^2y)^3 \cdot (-32x^2b)$. Сначала выполним возведение в степень.

Возводим первый одночлен в куб:

$(\frac{1}{4}x^2y)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3$

Вычисляем степени коэффициента и переменных:

$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Первый одночлен после возведения в степень равен $\frac{1}{64}x^6y^3$.

Теперь умножим полученный результат на второй одночлен:

$(\frac{1}{64}x^6y^3) \cdot (-32x^2b)$

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$(\frac{1}{64} \cdot (-32)) \cdot (x^6 \cdot x^2) \cdot y^3 \cdot b$

Произведение коэффициентов:

$\frac{1}{64} \cdot (-32) = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2}$

Произведение переменных $x$:

$x^6 \cdot x^2 = x^{6+2} = x^8$

Переменные $y^3$ и $b$ остаются без изменений.

Объединяем полученные части в итоговый одночлен:

$-\frac{1}{2}x^8y^3b$

Ответ: $-\frac{1}{2}x^8y^3b$