Номер 3.24, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.24. Ширина прямоугольника в 2 раза короче его длины. Если ширину увеличить на 2 см, а длину сократить на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится на $2 \text{ см}^2$. Каковы измерения данного прямоугольника?

Обозначим начальную ширину прямоугольника как $w$ (в см), а начальную длину как $l$ (в см).

Согласно условию задачи, ширина прямоугольника в 2 раза короче его длины. Это можно записать в виде уравнения:
$l = 2w$

Площадь исходного прямоугольника, $S_1$, вычисляется по формуле $S_1 = l \cdot w$. Подставив $l=2w$, получим:
$S_1 = (2w) \cdot w = 2w^2$

После изменений размеры прямоугольника стали:
Новая ширина: $w' = w + 2$ см.
Новая длина: $l' = l - 2 = 2w - 2$ см.

Площадь нового прямоугольника, $S_2$, равна произведению новых сторон:
$S_2 = l' \cdot w' = (2w - 2)(w + 2)$

Из условия известно, что новая площадь на 2 см² больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 2$. Составим уравнение, подставив выражения для площадей:
$(2w - 2)(w + 2) = 2w^2 + 2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в левой части:
$2w^2 + 4w - 2w - 4 = 2w^2 + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$2w^2 + 2w - 4 = 2w^2 + 2$

Вычтем $2w^2$ из обеих частей уравнения:
$2w - 4 = 2$
Перенесем -4 в правую часть с противоположным знаком:
$2w = 2 + 4$
$2w = 6$

Отсюда находим начальную ширину:
$w = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь найдем начальную длину, используя соотношение $l = 2w$:
$l = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Таким образом, начальные измерения прямоугольника: ширина 3 см и длина 6 см.

Ответ: ширина данного прямоугольника 3 см, а его длина 6 см.