Страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19*. Дана функция $y = \frac{2}{x-3} + 4$.

1) Найдите область определения функции;

2) в заданной функциональной зависимости выразите переменную $x$ через $y$;

3) в полученном выражении найдите все возможные значения переменной $y$. Можно ли найденное множество возможных значений $y$ принимать как множество значений исходной функции? Обоснуйте ответ.

1) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Данная функция $y = \frac{2}{x-3} + 4$ содержит дробь в знаменателе которой находится переменная. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Следовательно, должно выполняться условие $x - 3 \neq 0$. Решая это неравенство, получаем $x \neq 3$. Таким образом, областью определения функции являются все действительные числа, кроме $3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Чтобы выразить переменную $x$ через $y$ из заданной функциональной зависимости $y = \frac{2}{x-3} + 4$, выполним следующие алгебраические преобразования.

Перенесем $4$ в левую часть уравнения:
$y - 4 = \frac{2}{x-3}$

Теперь поменяем местами левую часть и знаменатель правой части (это равносильно умножению обеих частей на $x-3$ и делению на $y-4$):
$x - 3 = \frac{2}{y - 4}$

Наконец, перенесем $-3$ в правую часть, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{2}{y - 4} + 3$

Ответ: $x = \frac{2}{y - 4} + 3$.

3) Рассмотрим полученное в пункте 2 выражение $x = \frac{2}{y - 4} + 3$. Это выражение имеет смысл для всех значений $y$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Таким образом, должно выполняться условие $y - 4 \neq 0$, что означает $y \neq 4$. Следовательно, множество всех возможных значений переменной $y$ — это все действительные числа, кроме $4$.

Да, найденное множество возможных значений $y$ можно и нужно принимать как множество значений (или область значений, $E(y)$) исходной функции.

Обоснование:

Множество значений функции $y=f(x)$ — это совокупность всех значений, которые принимает переменная $y$, когда $x$ пробегает всю свою область определения. Выражение $x = g(y) = \frac{2}{y - 4} + 3$ является обратной функцией к исходной функции $y=f(x)$. По определению, область значений прямой функции совпадает с областью определения обратной ей функции. Мы нашли, что область определения функции $x = g(y)$ есть множество $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Следовательно, это и есть множество значений исходной функции.

Другой способ обоснования — анализ структуры исходной функции $y = \frac{2}{x-3} + 4$. Дробь $\frac{2}{x-3}$ может принимать любое действительное значение, кроме нуля (поскольку ее числитель $2 \neq 0$). Тогда вся сумма $\frac{2}{x-3} + 4$ может принимать любое значение, кроме $0+4=4$. Таким образом, $y \neq 4$, что подтверждает найденное множество значений.

Ответ: Множество всех возможных значений $y$ есть $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Да, это множество является множеством значений исходной функции. Обоснование заключается в том, что область значений функции совпадает с областью определения обратной к ней функции.

3.20*. Дана функция $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

1) Найдите область определения функции.

2) Найдите значения $f(-10)$, $f(-3)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$, $f(10)$ и сравните их.

3) Найдите наибольшее значение функции.

4) Может ли значение функции быть равным 0 или отрицательному числу? Обоснуйте ответ.

5) Запишите область значений функции в виде числового промежутка.

1) Найдите область определения функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ представляет собой дробь. Дробь определена, когда её знаменатель не равен нулю. Найдём значения $x$, при которых знаменатель $1+x^2$ обращается в ноль.

Решим уравнение: $1+x^2 = 0$.

$x^2 = -1$.

Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $1+x^2$ всегда больше или равно 1 ($1+x^2 \ge 1$), и никогда не равно нулю. Таким образом, функция определена для любых действительных значений $x$.

Ответ: Область определения функции — все действительные числа, или $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) Найдите значения f(-10), f(-3), f(-1), f(0), f(1), f(3), f(10) и сравните их.

Вычислим значения функции для заданных аргументов, подставляя их в формулу $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

$f(-10) = \frac{1}{1+(-10)^2} = \frac{1}{1+100} = \frac{1}{101}$

$f(-3) = \frac{1}{1+(-3)^2} = \frac{1}{1+9} = \frac{1}{10}$

$f(-1) = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

$f(0) = \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$

$f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

$f(3) = \frac{1}{1+3^2} = \frac{1}{1+9} = \frac{1}{10}$

$f(10) = \frac{1}{1+10^2} = \frac{1}{1+100} = \frac{1}{101}$

Теперь сравним полученные значения. Заметим, что функция является чётной, так как $f(-x) = f(x)$. Поэтому $f(-10)=f(10)$, $f(-3)=f(3)$, $f(-1)=f(1)$.

Расположим значения в порядке возрастания:

$\frac{1}{101} < \frac{1}{10} < \frac{1}{2} < 1$

Следовательно, $f(-10) = f(10) < f(-3) = f(3) < f(-1) = f(1) < f(0)$.

Ответ: $f(-10) = \frac{1}{101}$, $f(-3) = \frac{1}{10}$, $f(-1) = \frac{1}{2}$, $f(0) = 1$, $f(1) = \frac{1}{2}$, $f(3) = \frac{1}{10}$, $f(10) = \frac{1}{101}$. Сравнение: $f(-10) = f(10) < f(-3) = f(3) < f(-1) = f(1) < f(0)$.

3) Найдите наибольшее значение функции.

Функция $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ представляет собой дробь с постоянным положительным числителем (1). Значение такой дроби будет наибольшим, когда её знаменатель будет наименьшим.

Рассмотрим знаменатель $g(x) = 1+x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, наименьшее значение $x^2$ равно 0 и достигается при $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя равно $1+0=1$.

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается при $x=0$ и равно $f(0) = \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1.

4) Может ли значение функции быть равным 0 или отрицательному числу? Обоснуйте ответ.

Проверим, может ли значение функции быть равным 0. Уравнение $f(x)=0$ равносильно $\frac{1}{1+x^2} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно 0, поэтому функция никогда не может быть равной нулю.

Проверим, может ли значение функции быть отрицательным. Значение функции $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ определяется знаком числителя и знаменателя. Числитель равен 1, что является положительным числом. Знаменатель $1+x^2$, как было показано ранее, всегда больше или равен 1 ($1+x^2 \ge 1$), то есть также является положительным числом для любого $x$.

Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $f(x) > 0$ для всех $x$ из области определения.

Ответ: Нет, не может. Значение функции не может быть равно 0, так как ее числитель не равен 0. Значение функции не может быть отрицательным, так как и числитель (1), и знаменатель ($1+x^2$) всегда положительны.

5) Запишите область значений функции в виде числового промежутка.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$.

Из пункта 3 мы знаем, что наибольшее значение функции равно 1, и оно достигается при $x=0$. То есть $f(x) \le 1$.

Из пункта 4 мы знаем, что функция всегда принимает только положительные значения, то есть $f(x) > 0$.

Объединяя эти два условия, получаем, что $0 < f(x) \le 1$.

Также можно рассмотреть поведение функции, когда $|x|$ неограниченно возрастает ($x \to \pm\infty$). В этом случае $x^2 \to +\infty$, знаменатель $1+x^2 \to +\infty$, а значение дроби $\frac{1}{1+x^2}$ стремится к 0, но никогда его не достигает.

Таким образом, функция принимает все значения от 0 (не включая) до 1 (включая).

Ответ: Область значений функции $E(f) = (0; 1]$.

3.21. Выполните действия:

1) $(4x^2)^3;$

2) $(-2a^4b^2)3;$

3) $0,3v^2 \cdot (-\frac{1}{3}u^4 \cdot v^6);$

4) $(\frac{1}{4}x^2y)^3 \cdot (-32x^2 \cdot b).$

1)

Для возведения одночлена $(4x^2)$ в куб, необходимо возвести в куб каждый множитель внутри скобок: числовой коэффициент 4 и одночлен $x^2$.

Используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$:

$(4x^2)^3 = 4^3 \cdot (x^2)^3$

Вычисляем куб коэффициента:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Далее, используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Соединяем результаты, чтобы получить итоговый одночлен:

$64 \cdot x^6 = 64x^6$

Ответ: $64x^6$

2)

В данном примере выражение $(-2a^4b^2)3$, скорее всего, содержит опечатку, и имеется в виду возведение в третью степень: $(-2a^4b^2)^3$. Исходя из этого предположения, решим задачу.

Возводим в куб каждый множитель одночлена, используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$:

$(-2a^4b^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^2)^3$

Вычисляем куб числового коэффициента:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Возводим в степень переменные, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$

$(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$

Объединяем все части в один одночлен:

$-8a^{12}b^6$

Ответ: $-8a^{12}b^6$

3)

Необходимо перемножить два одночлена: $0,3v^2$ и $(-\frac{1}{3}u^4v^6)$.

Для этого сгруппируем и перемножим отдельно числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$0,3v^2 \cdot (-\frac{1}{3}u^4v^6) = (0,3 \cdot (-\frac{1}{3})) \cdot u^4 \cdot (v^2 \cdot v^6)$

Перемножим коэффициенты. Представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{10}$ для удобства вычислений:

$0,3 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{3}{10} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 3} = -\frac{3}{30} = -\frac{1}{10} = -0,1$

Теперь перемножим переменные, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$v^2 \cdot v^6 = v^{2+6} = v^8$

Переменная $u^4$ остается без изменений, так как в первом множителе ее нет.

Собираем итоговое выражение:

$-0,1u^4v^8$

Ответ: $-0,1u^4v^8$

4)

Данное выражение — это произведение $(\frac{1}{4}x^2y)^3 \cdot (-32x^2b)$. Сначала выполним возведение в степень.

Возводим первый одночлен в куб:

$(\frac{1}{4}x^2y)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3$

Вычисляем степени коэффициента и переменных:

$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Первый одночлен после возведения в степень равен $\frac{1}{64}x^6y^3$.

Теперь умножим полученный результат на второй одночлен:

$(\frac{1}{64}x^6y^3) \cdot (-32x^2b)$

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$(\frac{1}{64} \cdot (-32)) \cdot (x^6 \cdot x^2) \cdot y^3 \cdot b$

Произведение коэффициентов:

$\frac{1}{64} \cdot (-32) = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2}$

Произведение переменных $x$:

$x^6 \cdot x^2 = x^{6+2} = x^8$

Переменные $y^3$ и $b$ остаются без изменений.

Объединяем полученные части в итоговый одночлен:

$-\frac{1}{2}x^8y^3b$

Ответ: $-\frac{1}{2}x^8y^3b$

3.22. Какой цифрой может оканчиваться 5-я степень натурального числа? Обоснуйте ответ.

Чтобы определить, какой цифрой может оканчиваться 5-я степень натурального числа, необходимо проанализировать, на какую цифру оканчивается результат возведения в пятую степень чисел, оканчивающихся на каждую из цифр от 0 до 9. Это связано с тем, что последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры самого числа.

Проверим все возможные последние цифры натурального числа $n$:

• Если $n$ оканчивается на 0, то $n^5$ оканчивается на 0 (например, $10^5 = 100000$).
• Если $n$ оканчивается на 1, то $n^5$ оканчивается на 1 (например, $1^5 = 1$).
• Если $n$ оканчивается на 2, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $2^5 = 32$, то есть 2.
• Если $n$ оканчивается на 3, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $3^5 = 243$, то есть 3.
• Если $n$ оканчивается на 4, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $4^5 = 1024$, то есть 4.
• Если $n$ оканчивается на 5, то $n^5$ оканчивается на 5 (например, $5^5 = 3125$).
• Если $n$ оканчивается на 6, то $n^5$ оканчивается на 6 (например, $6^5 = 7776$).
• Если $n$ оканчивается на 7, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $7^5 = 16807$, то есть 7.
• Если $n$ оканчивается на 8, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $8^5 = 32768$, то есть 8.
• Если $n$ оканчивается на 9, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $9^5 = 59049$, то есть 9.

Из этого перебора видно, что 5-я степень натурального числа всегда оканчивается на ту же цифру, что и само число.

Обоснование:Это наблюдение можно доказать строго, используя теорию сравнений. Задача сводится к доказательству того, что для любого натурального числа $n$ выполняется сравнение $n^5 \equiv n \pmod{10}$.

По свойствам сравнений (в частности, с использованием Китайской теоремы об остатках), это утверждение эквивалентно системе из двух сравнений, поскольку $10 = 2 \cdot 5$, а 2 и 5 — взаимно простые числа:

1. $n^5 \equiv n \pmod{2}$
2. $n^5 \equiv n \pmod{5}$

Докажем каждое из них.

1. Доказательство $n^5 \equiv n \pmod{2}$.
Можно рассмотреть два случая:
- Если $n$ — чётное число, то $n \equiv 0 \pmod{2}$. Тогда $n^5$ также будет чётным, и $n^5 \equiv 0 \pmod{2}$. Следовательно, $n^5 \equiv n \pmod{2}$.
- Если $n$ — нечётное число, то $n \equiv 1 \pmod{2}$. Тогда $n^5$ также будет нечётным, и $n^5 \equiv 1 \pmod{2}$. Следовательно, $n^5 \equiv n \pmod{2}$.
Таким образом, сравнение верно для любого натурального $n$.

2. Доказательство $n^5 \equiv n \pmod{5}$.
Это сравнение является прямым следствием Малой теоремы Ферма, которая гласит, что для любого целого числа $a$ и простого числа $p$ выполняется $a^p \equiv a \pmod{p}$.
В нашем случае $p=5$ (простое число), поэтому для любого натурального $n$ верно, что $n^5 \equiv n \pmod{5}$.

Поскольку оба сравнения в системе верны для любого натурального $n$, то и исходное сравнение $n^5 \equiv n \pmod{10}$ также верно. Это означает, что последняя цифра числа $n^5$ совпадает с последней цифрой числа $n$.

Так как натуральное число может оканчиваться на любую из десяти цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), то и его 5-я степень может оканчиваться на любую из этих цифр.

Ответ: 5-я степень натурального числа может оканчиваться любой цифрой от 0 до 9.

3.23. Разложите многочлен на множители:

1) $a^2c + b^2c - a^2d - b^2d + d - c;$

2) $x^2 + 7x + 10;$

1) Для разложения многочлена $a^2c + b^2c - a^2d - b^2d + d - c$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $c$ и $d$ соответственно.
$a^2c + b^2c - a^2d - b^2d + d - c = (a^2c + b^2c - c) + (-a^2d - b^2d + d)$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе вынесем $c$, во второй — $-d$.
$c(a^2 + b^2 - 1) - d(a^2 + b^2 - 1)$
Теперь мы видим общий множитель $(a^2 + b^2 - 1)$, который также можно вынести за скобки.
$(a^2 + b^2 - 1)(c - d)$
Проверим другим способом группировки, сгруппировав слагаемые с $a^2$ и $b^2$.
$(a^2c - a^2d) + (b^2c - b^2d) + (d - c) = a^2(c-d) + b^2(c-d) - (c-d)$
Вынесем общий множитель $(c-d)$ за скобки:
$(c - d)(a^2 + b^2 - 1)$
Оба способа приводят к одинаковому результату.
Ответ: $(a^2 + b^2 - 1)(c - d)$

2) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 7x + 10$, нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену (10), а сумма — коэффициенту при $x$ (7).
Подберем такие числа. Пары чисел, дающие в произведении 10: (1, 10), (2, 5), (-1, -10), (-2, -5).
Найдем их суммы:
$1 + 10 = 11$
$2 + 5 = 7$
$-1 + (-10) = -11$
$-2 + (-5) = -7$
Подходящая пара чисел — это 2 и 5, так как их сумма равна 7.
Теперь можно представить трехчлен в виде произведения двух двучленов:
$x^2 + 7x + 10 = (x+2)(x+5)$
Другой способ — представить средний член $7x$ в виде суммы $2x + 5x$ и выполнить группировку:
$x^2 + 7x + 10 = x^2 + 2x + 5x + 10 = (x^2 + 2x) + (5x + 10) = x(x+2) + 5(x+2) = (x+2)(x+5)$
Ответ: $(x+2)(x+5)$

3.24. Ширина прямоугольника в 2 раза короче его длины. Если ширину увеличить на 2 см, а длину сократить на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится на $2 \text{ см}^2$. Каковы измерения данного прямоугольника?

Обозначим начальную ширину прямоугольника как $w$ (в см), а начальную длину как $l$ (в см).

Согласно условию задачи, ширина прямоугольника в 2 раза короче его длины. Это можно записать в виде уравнения:
$l = 2w$

Площадь исходного прямоугольника, $S_1$, вычисляется по формуле $S_1 = l \cdot w$. Подставив $l=2w$, получим:
$S_1 = (2w) \cdot w = 2w^2$

После изменений размеры прямоугольника стали:
Новая ширина: $w' = w + 2$ см.
Новая длина: $l' = l - 2 = 2w - 2$ см.

Площадь нового прямоугольника, $S_2$, равна произведению новых сторон:
$S_2 = l' \cdot w' = (2w - 2)(w + 2)$

Из условия известно, что новая площадь на 2 см² больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 2$. Составим уравнение, подставив выражения для площадей:
$(2w - 2)(w + 2) = 2w^2 + 2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в левой части:
$2w^2 + 4w - 2w - 4 = 2w^2 + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$2w^2 + 2w - 4 = 2w^2 + 2$

Вычтем $2w^2$ из обеих частей уравнения:
$2w - 4 = 2$
Перенесем -4 в правую часть с противоположным знаком:
$2w = 2 + 4$
$2w = 6$

Отсюда находим начальную ширину:
$w = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь найдем начальную длину, используя соотношение $l = 2w$:
$l = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Таким образом, начальные измерения прямоугольника: ширина 3 см и длина 6 см.

Ответ: ширина данного прямоугольника 3 см, а его длина 6 см.

3.25. Населенные пункты $A$, $B$ и $C$ расположены вдоль прямолинейной трассы. Как могут расположиться эти населенные пункты, если известно, что расстояние между $A$ и $B$ равно 35 км, а между $A$ и $C$ - 15 км? Чему равно расстояние между $B$ и $C$? Рассмотрите все возможные случаи.

Существует два возможных случая расположения населенных пунктов, исходя из заданных условий.

Случай 1: Пункт C расположен между пунктами A и B.

В этом варианте порядок расположения пунктов на трассе будет A-C-B. Расстояние между A и B будет равно сумме расстояний от A до C и от C до B. Математически это можно записать так: $|AB| = |AC| + |BC|$.

Чтобы найти расстояние между B и C, необходимо из расстояния $|AB|$ вычесть расстояние $|AC|$:

$|BC| = |AB| - |AC| = 35 \text{ км} - 15 \text{ км} = 20 \text{ км}$.

В этом случае населенные пункты расположены в порядке A, C, B, а расстояние между B и C равно 20 км.

Ответ: 20 км.

Случай 2: Пункт A расположен между пунктами C и B.

В этом варианте пункты C и B находятся по разные стороны от пункта A, а порядок их расположения на трассе — C-A-B. Расстояние между B и C будет равно сумме расстояний от C до A и от A до B: $|BC| = |CA| + |AB|$.

Найдем расстояние между B и C, сложив известные расстояния:

$|BC| = 15 \text{ км} + 35 \text{ км} = 50 \text{ км}$.

(Случай, когда пункт B находится между A и C, невозможен, так как расстояние $|AB| = 35$ км больше, чем расстояние $|AC| = 15$ км).

В этом случае населенные пункты расположены в порядке C, A, B, а расстояние между B и C равно 50 км.

Ответ: 50 км.