Страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

?

1. Приведите пример функции, заданной табличным способом.

2. Что называется графиком функции?

3. Как можно построить график функции?

4. Как по графику можно найти значение функции, соответствующее данному значению аргумента? Приведите пример.

ПЗ

Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника обозначим через $m$. Найдите закономерности зависимости $m$ от $n$. Для этого:

1) Постройте выпуклые четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и семиугольник и посчитайте количество диагоналей каждого из них.

2) Результаты подсчета запишите в таблице:

n 3 4 5 6 7 8 9

m 0 2

Здесь учтено то, что треугольник не имеет диагоналей.

3) Определите закономерности изменения количества диагоналей в зависимости от количества его сторон по первым пяти значениям таблицы. Основываясь на эти закономерности, найдите количество диагоналей многоугольника при $n = 8$ и $n = 9$ (не используя соответствующие рисунки).

4) По этим закономерностям запишите функцию $m = f(n)$.

5) Обозначив $m = y$ и $n = x$, постройте график функции $y = f(x)$. Здесь $x \ge 3$. (Целесообразно задание выполнять в группе.)

1. Приведите пример функции, заданной табличным способом.

Функция может быть задана таблицей, где каждой величине независимой переменной (аргумента) соответствует определенное значение зависимой переменной (функции). Например, зависимость площади квадрата от длины его стороны:

Здесь $S$ является функцией от $a$, то есть $S = f(a)$.
Ответ: Приведен пример зависимости площади квадрата от длины его стороны в виде таблицы.

2. Что называется графиком функции?

Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы (координаты $x$) которых равны значениям аргумента, а ординаты (координаты $y$) — соответствующим значениям функции.
Ответ: График функции — это множество точек $(x, y)$ на плоскости, где $y = f(x)$.

3. Как можно построить график функции?

Для построения графика функции, как правило, выполняют следующие шаги:
1. Находят область определения функции.
2. Составляют таблицу значений функции для нескольких значений аргумента. Для этого выбирают несколько значений $x$ из области определения и вычисляют для них соответствующие значения $y = f(x)$.
3. Наносят полученные точки $(x, y)$ на координатную плоскость.
4. Соединяют эти точки плавной линией, если область определения функции непрерывна, или оставляют их в виде отдельных точек, если область определения дискретна (состоит из отдельных чисел).
Ответ: График строят по точкам: находят координаты нескольких точек, отмечают их на координатной плоскости и соединяют линией (если это допустимо для данной функции).

4. Как по графику можно найти значение функции, соответствующее данному значению аргумента? Приведите пример.

Чтобы найти значение функции по графику для заданного значения аргумента $x_0$, нужно:
1. Найти на оси абсцисс (оси $Ox$) точку, соответствующую значению $x_0$.
2. Провести через эту точку вертикальную прямую до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную прямую до пересечения с осью ординат (осью $Oy$).
4. Координата точки пересечения на оси $Oy$ и будет искомым значением функции $y_0 = f(x_0)$.
Пример: По графику функции $y=x^2$ найдем значение функции при $x=2$. Находим на оси $Ox$ точку 2. Поднимаемся от нее вертикально до графика (параболы). От точки на параболе движемся горизонтально влево до оси $Oy$. Попадаем в точку 4. Таким образом, $f(2) = 4$.
Ответ: Нужно найти заданный аргумент на оси $Ox$, от него дойти до графика, а от графика — до оси $Oy$, где и будет находиться значение функции.

1) Постройте выпуклые четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и семиугольник и посчитайте количество диагоналей каждого из них.

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Посчитаем количество диагоналей для каждого многоугольника.
• Четырехугольник ($n=4$): имеет 2 диагонали.
• Пятиугольник ($n=5$): из каждой вершины выходит $5-3=2$ диагонали. Всего $5 \times 2 = 10$. Поскольку каждая диагональ соединяет две вершины, мы посчитали каждую дважды. Итого: $10 / 2 = 5$ диагоналей.
• Шестиугольник ($n=6$): из каждой вершины выходит $6-3=3$ диагонали. Итого: $(6 \times 3) / 2 = 9$ диагоналей.
• Семиугольник ($n=7$): из каждой вершины выходит $7-3=4$ диагонали. Итого: $(7 \times 4) / 2 = 14$ диагоналей.
Ответ: Четырехугольник имеет 2 диагонали, пятиугольник — 5, шестиугольник — 9, семиугольник — 14.

2) Результаты подсчета запишите в таблице:

Заполним таблицу на основе подсчетов из предыдущего пункта и данных из условия ($m=0$ для $n=3$, $m=2$ для $n=4$).

Ответ: Заполненная часть таблицы приведена выше.

3) Определите закономерности изменения количества диагоналей... найдите количество диагоналей многоугольника при $n = 8$ и $n = 9$.

Проанализируем, как изменяется количество диагоналей ($m$) с увеличением числа сторон ($n$) на 1. Найдем разность между соседними значениями $m$:
При переходе от $n=3$ к $n=4$: $m$ увеличилось на $2 - 0 = 2$.
При переходе от $n=4$ к $n=5$: $m$ увеличилось на $5 - 2 = 3$.
При переходе от $n=5$ к $n=6$: $m$ увеличилось на $9 - 5 = 4$.
При переходе от $n=6$ к $n=7$: $m$ увеличилось на $14 - 9 = 5$.
Закономерность: при увеличении числа сторон на 1, количество диагоналей увеличивается на число, которое на 2 меньше нового количества сторон. То есть, $m(n) = m(n-1) + (n-2)$.
Используем эту закономерность для $n=8$ и $n=9$:
• Количество диагоналей для восьмиугольника ($n=8$): $m(8) = m(7) + (8-2) = 14 + 6 = 20$.
• Количество диагоналей для девятиугольника ($n=9$): $m(9) = m(8) + (9-2) = 20 + 7 = 27$.
Ответ: Для $n=8$ количество диагоналей $m=20$. Для $n=9$ количество диагоналей $m=27$.

4) По этим закономерностям запишите функцию $m = f(n)$.

Общая формула для числа диагоналей $m$ выпуклого $n$-угольника выводится из комбинаторных соображений. Количество отрезков, которые можно провести между $n$ вершинами, равно числу сочетаний из $n$ по 2, то есть $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Из этих отрезков $n$ являются сторонами многоугольника, а остальные — диагоналями. Поэтому:
$m = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$.
Проверим формулу: для $n=5$, $m = \frac{5(5-3)}{2} = 5$. Для $n=8$, $m = \frac{8(8-3)}{2} = 20$. Формула верна.
Ответ: $m = f(n) = \frac{n(n-3)}{2}$.

5) Обозначив $m = y$ и $n = x$, постройте график функции $y = f(x)$. Здесь $x \ge 3$.

Нужно построить график функции $y = \frac{x(x-3)}{2}$ при условии, что $x$ — целое число и $x \ge 3$.
Составим итоговую таблицу значений для построения графика:

Для построения графика на координатной плоскости нужно отметить точки с координатами, взятыми из таблицы: $(3, 0)$, $(4, 2)$, $(5, 5)$, $(6, 9)$, $(7, 14)$, $(8, 20)$, $(9, 27)$.
Поскольку число сторон многоугольника $x$ может быть только целым числом, график будет состоять из набора отдельных (дискретных) точек. Эти точки не соединяются линией, так как не существует многоугольников с нецелым числом сторон (например, с 4.5 сторонами). Все эти точки лежат на параболе $y = 0.5x^2 - 1.5x$.
Ответ: График функции представляет собой множество отдельных точек с координатами $(3, 0), (4, 2), (5, 5), (6, 9), (7, 14), (8, 20), (9, 27)$ и так далее для всех целых $x \ge 3$.