Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Моторная лодка плывет по течению реки с собственной скоростью 20 км/ч, а в противоположном направлении плывет катер с собственной скоростью 30 км/ч. Первоначально расстояние между ними было равно 20000 м, а скорость течения реки 3 км/ч. Считая, что расстояние $S$ м между ними является функцией от времени $t$ мин, заполните таблицу.

t мин: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

S м:

1) Имеются ли в условии задачи ненужные (лишние) сведения?

2) По таблице постройте график функции $S = f(t)$. Здесь 1 см оси $Ox$ равен 10 мин, а 1 см оси $Oy$ равен 2000 м.

Для решения задачи определим общую скорость сближения моторной лодки и катера, а затем выведем формулу зависимости расстояния $S$ от времени $t$.

1. Определение скоростей относительно берега.

Моторная лодка плывет по течению, поэтому ее скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения:

$v_{лодки} = v_{собств. лодки} + v_{течения} = 20 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 23 \text{ км/ч}$.

Катер плывет в противоположном направлении, то есть против течения. Его скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{катера} = v_{собств. катера} - v_{течения} = 30 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$.

2. Определение скорости сближения.

Поскольку лодка и катер движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей относительно берега:

$v_{сближения} = v_{лодки} + v_{катера} = 23 \text{ км/ч} + 27 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

3. Перевод единиц измерения.

В задаче требуется найти расстояние $S$ в метрах как функцию времени $t$ в минутах. Переведем начальное расстояние и скорость сближения в соответствующие единицы.

Начальное расстояние: $S_0 = 20000$ м.

Скорость сближения: $v_{сближения} = 50 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 50 \times \frac{1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{50000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{2500}{3}$ м/мин.

4. Формула для расстояния $S(t)$.

Расстояние между объектами равно начальному расстоянию минус расстояние, которое они прошли вместе. Так как расстояние не может быть отрицательным, используем модуль:

$S(t) = |S_0 - v_{сближения} \times t| = |20000 - \frac{2500}{3}t|$.

5. Заполнение таблицы.

Рассчитаем значения $S$ для каждого значения $t$ из таблицы, округляя до целого числа метров.

• При $t = 10$ мин: $S(10) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 10| = |20000 - \frac{25000}{3}| = |\frac{60000-25000}{3}| = \frac{35000}{3} \approx 11667$ м.
• При $t = 20$ мин: $S(20) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 20| = |20000 - \frac{50000}{3}| = |\frac{60000-50000}{3}| = \frac{10000}{3} \approx 3333$ м.
• При $t = 30$ мин: $S(30) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 30| = |20000 - 25000| = |-5000| = 5000$ м.
• При $t = 40$ мин: $S(40) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 40| = |20000 - \frac{100000}{3}| = |\frac{60000-100000}{3}| = |-\frac{40000}{3}| = \frac{40000}{3} \approx 13333$ м.
• При $t = 50$ мин: $S(50) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 50| = |20000 - \frac{125000}{3}| = |\frac{60000-125000}{3}| = |-\frac{65000}{3}| = \frac{65000}{3} \approx 21667$ м.
• При $t = 60$ мин: $S(60) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 60| = |20000 - 50000| = |-30000| = 30000$ м.
• При $t = 70$ мин: $S(70) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 70| = |20000 - \frac{175000}{3}| = |\frac{60000-175000}{3}| = |-\frac{115000}{3}| = \frac{115000}{3} \approx 38333$ м.
• При $t = 80$ мин: $S(80) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 80| = |20000 - \frac{200000}{3}| = |\frac{60000-200000}{3}| = |-\frac{140000}{3}| = \frac{140000}{3} \approx 46667$ м.
• При $t = 90$ мин: $S(90) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 90| = |20000 - 75000| = |-55000| = 55000$ м.

Заполненная таблица:

1) Имеются ли в условии задачи ненужные (лишние) сведения?

Да, в условии задачи имеются лишние сведения. Это скорость течения реки ($3$ км/ч). При вычислении скорости сближения двух объектов, один из которых движется по течению, а другой — против, скорость течения компенсируется. Скорость сближения равна сумме их собственных скоростей:

$v_{сближения} = (v_{собств. лодки} + v_{течения}) + (v_{собств. катера} - v_{течения}) = v_{собств. лодки} + v_{собств. катера}$.

$v_{сближения} = 20 \text{ км/ч} + 30 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

Как видно из расчета, результат не зависит от скорости течения.

Ответ: Да, скорость течения реки (3 км/ч) является лишним сведением.

2) По таблице постройте график функции S = f(t). Здесь 1 см оси Ox равен 10 мин, а 1 см оси Oy равен 2000 м.

Для построения графика необходимо начертить систему координат. Горизонтальная ось $Ox$ — это время $t$ в минутах. Вертикальная ось $Oy$ — это расстояние $S$ в метрах.

Масштаб:

• По оси $Ox$: 1 см соответствует 10 минутам.
• По оси $Oy$: 1 см соответствует 2000 метрам.

На график наносятся точки с координатами $(t, S)$ из заполненной таблицы:

$(10, 11667), (20, 3333), (30, 5000), (40, 13333), (50, 21667), (60, 30000), (70, 38333), (80, 46667), (90, 55000)$.

Также учтем начальную точку при $t=0$, $S=20000$. Точка $(0, 20000)$.

Найдем точку, в которой расстояние станет равно нулю (момент встречи):

$S(t) = 0 \Rightarrow 20000 - \frac{2500}{3}t = 0 \Rightarrow t = \frac{20000 \times 3}{2500} = 24$ минуты.

Таким образом, график будет состоять из двух отрезков прямых, образующих "галочку" (V-образную форму):

1. Первый отрезок соединяет точку $(0, 20000)$ и точку $(24, 0)$. Расстояние уменьшается линейно.
2. Второй отрезок начинается в точке $(24, 0)$ и проходит через все последующие точки. Расстояние увеличивается линейно.

Ответ: График функции $S = f(t)$ представляет собой V-образную линию, состоящую из двух отрезков. Он начинается в точке $(0, 20000)$, опускается до минимальной точки $(24, 0)$ на оси $Ox$, а затем поднимается, проходя через точки, вычисленные в таблице.

3.40. При каком значении x значение дроби $\frac{6}{|x-5|}$ равно 3?

Чтобы найти значение x, при котором значение дроби $ \frac{6}{|x-5|} $ равно 3, необходимо составить и решить уравнение:

$ \frac{6}{|x-5|} = 3 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$ |x-5| \neq 0 $

Это условие выполняется, если $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $.

Теперь приступим к решению уравнения. Умножим обе части уравнения на $|x-5|$, так как мы знаем, что это выражение не равно нулю:

$ 6 = 3 \cdot |x-5| $

Разделим обе части уравнения на 3:

$ \frac{6}{3} = |x-5| $

$ 2 = |x-5| $

Уравнение с модулем $ |A| = b $ (где $ b > 0 $) равносильно двум уравнениям: $ A = b $ и $ A = -b $. В нашем случае получаем два варианта:

1. $ x - 5 = 2 $

$ x = 2 + 5 $

$ x_1 = 7 $

2. $ x - 5 = -2 $

$ x = -2 + 5 $

$ x_2 = 3 $

Оба найденных значения, $ x=7 $ и $ x=3 $, удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq 5 $).

Выполним проверку:

При $ x = 7 $: $ \frac{6}{|7-5|} = \frac{6}{|2|} = \frac{6}{2} = 3 $. Верно.

При $ x = 3 $: $ \frac{6}{|3-5|} = \frac{6}{|-2|} = \frac{6}{2} = 3 $. Верно.

Таким образом, существуют два значения x, при которых значение дроби равно 3.

Ответ: 3; 7.

3.41. Выразите скорость, равную $20\ \text{км}/\text{ч}$, в $\text{м}/\text{с}$.

3.41. Для того чтобы перевести скорость из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с), необходимо знать соотношения между единицами измерения расстояния и времени.

1. Перевод километров в метры. В одном километре содержится 1000 метров:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

2. Перевод часов в секунды. В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд. Следовательно, в одном часе:

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин} = 3600 \text{ с}$

Теперь мы можем перевести заданную скорость $20 \text{ км/ч}$. Это означает, что тело проходит 20 километров за 1 час. Выразим это расстояние в метрах, а время — в секундах:

$v = \frac{20 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = \frac{20 \times 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{20000 \text{ м}}{3600 \text{ с}}$

Далее, сократим полученную дробь, чтобы найти итоговое значение скорости в м/с:

$\frac{20000}{3600} = \frac{200}{36}$

Сократим дробь $\frac{200}{36}$ на 4:

$\frac{200 \div 4}{36 \div 4} = \frac{50}{9}$

Таким образом, скорость 20 км/ч эквивалентна скорости $\frac{50}{9}$ м/с. При желании можно выразить это значение в виде десятичной дроби, которая будет приблизительно равна $5,56$ м/с.

Ответ: $\frac{50}{9}$ м/с.

3.42. Сократите дробь:

1) $ \left(\frac{1}{36}\right)^{-n} : 6^{2n-1}; $

2) $ \frac{40^{n+1}}{2^{3n+1} \cdot 5^n}. $

1) Требуется упростить выражение $(\frac{1}{36})^{-n} : 6^{2n-1}$.
Сначала преобразуем первый член, используя свойство степени $ (\frac{a}{b})^{-m} = (\frac{b}{a})^m $.
$ (\frac{1}{36})^{-n} = 36^n $
Заметим, что $ 36 = 6^2 $. Подставим это в выражение:
$ 36^n = (6^2)^n $
Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $ (a^m)^k = a^{mk} $:
$ (6^2)^n = 6^{2n} $
Исходное выражение принимает вид:
$ 6^{2n} : 6^{2n-1} $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $ a^m : a^k = a^{m-k} $:
$ 6^{2n - (2n-1)} = 6^{2n - 2n + 1} = 6^1 = 6 $
Ответ: 6

2) Требуется сократить дробь $ \frac{40^{n+1}}{2^{3n+1} \cdot 5^n} $.
Воспользуемся свойством степени $ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $ для преобразования числителя и знаменателя.
Числитель: $ 40^{n+1} = 40^n \cdot 40^1 = 40 \cdot 40^n $.
Знаменатель: $ 2^{3n+1} \cdot 5^n = (2^{3n} \cdot 2^1) \cdot 5^n = 2 \cdot 2^{3n} \cdot 5^n $.
Преобразуем $ 2^{3n} $, используя свойство $ a^{mk} = (a^m)^k $:
$ 2^{3n} = (2^3)^n = 8^n $.
Теперь знаменатель выглядит так: $ 2 \cdot 8^n \cdot 5^n $.
Используем свойство $ a^k \cdot b^k = (ab)^k $:
$ 2 \cdot (8^n \cdot 5^n) = 2 \cdot (8 \cdot 5)^n = 2 \cdot 40^n $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{40 \cdot 40^n}{2 \cdot 40^n} $
Сократим общий множитель $ 40^n $:
$ \frac{40}{2} = 20 $
Ответ: 20