Номер 3.39, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Моторная лодка плывет по течению реки с собственной скоростью 20 км/ч, а в противоположном направлении плывет катер с собственной скоростью 30 км/ч. Первоначально расстояние между ними было равно 20000 м, а скорость течения реки 3 км/ч. Считая, что расстояние $S$ м между ними является функцией от времени $t$ мин, заполните таблицу.

t мин: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

S м:

1) Имеются ли в условии задачи ненужные (лишние) сведения?

2) По таблице постройте график функции $S = f(t)$. Здесь 1 см оси $Ox$ равен 10 мин, а 1 см оси $Oy$ равен 2000 м.

Для решения задачи определим общую скорость сближения моторной лодки и катера, а затем выведем формулу зависимости расстояния $S$ от времени $t$.

1. Определение скоростей относительно берега.

Моторная лодка плывет по течению, поэтому ее скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения:

$v_{лодки} = v_{собств. лодки} + v_{течения} = 20 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 23 \text{ км/ч}$.

Катер плывет в противоположном направлении, то есть против течения. Его скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{катера} = v_{собств. катера} - v_{течения} = 30 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$.

2. Определение скорости сближения.

Поскольку лодка и катер движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей относительно берега:

$v_{сближения} = v_{лодки} + v_{катера} = 23 \text{ км/ч} + 27 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

3. Перевод единиц измерения.

В задаче требуется найти расстояние $S$ в метрах как функцию времени $t$ в минутах. Переведем начальное расстояние и скорость сближения в соответствующие единицы.

Начальное расстояние: $S_0 = 20000$ м.

Скорость сближения: $v_{сближения} = 50 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 50 \times \frac{1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{50000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{2500}{3}$ м/мин.

4. Формула для расстояния $S(t)$.

Расстояние между объектами равно начальному расстоянию минус расстояние, которое они прошли вместе. Так как расстояние не может быть отрицательным, используем модуль:

$S(t) = |S_0 - v_{сближения} \times t| = |20000 - \frac{2500}{3}t|$.

5. Заполнение таблицы.

Рассчитаем значения $S$ для каждого значения $t$ из таблицы, округляя до целого числа метров.

• При $t = 10$ мин: $S(10) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 10| = |20000 - \frac{25000}{3}| = |\frac{60000-25000}{3}| = \frac{35000}{3} \approx 11667$ м.
• При $t = 20$ мин: $S(20) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 20| = |20000 - \frac{50000}{3}| = |\frac{60000-50000}{3}| = \frac{10000}{3} \approx 3333$ м.
• При $t = 30$ мин: $S(30) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 30| = |20000 - 25000| = |-5000| = 5000$ м.
• При $t = 40$ мин: $S(40) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 40| = |20000 - \frac{100000}{3}| = |\frac{60000-100000}{3}| = |-\frac{40000}{3}| = \frac{40000}{3} \approx 13333$ м.
• При $t = 50$ мин: $S(50) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 50| = |20000 - \frac{125000}{3}| = |\frac{60000-125000}{3}| = |-\frac{65000}{3}| = \frac{65000}{3} \approx 21667$ м.
• При $t = 60$ мин: $S(60) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 60| = |20000 - 50000| = |-30000| = 30000$ м.
• При $t = 70$ мин: $S(70) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 70| = |20000 - \frac{175000}{3}| = |\frac{60000-175000}{3}| = |-\frac{115000}{3}| = \frac{115000}{3} \approx 38333$ м.
• При $t = 80$ мин: $S(80) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 80| = |20000 - \frac{200000}{3}| = |\frac{60000-200000}{3}| = |-\frac{140000}{3}| = \frac{140000}{3} \approx 46667$ м.
• При $t = 90$ мин: $S(90) = |20000 - \frac{2500}{3} \times 90| = |20000 - 75000| = |-55000| = 55000$ м.

Заполненная таблица:

1) Имеются ли в условии задачи ненужные (лишние) сведения?

Да, в условии задачи имеются лишние сведения. Это скорость течения реки ($3$ км/ч). При вычислении скорости сближения двух объектов, один из которых движется по течению, а другой — против, скорость течения компенсируется. Скорость сближения равна сумме их собственных скоростей:

$v_{сближения} = (v_{собств. лодки} + v_{течения}) + (v_{собств. катера} - v_{течения}) = v_{собств. лодки} + v_{собств. катера}$.

$v_{сближения} = 20 \text{ км/ч} + 30 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

Как видно из расчета, результат не зависит от скорости течения.

Ответ: Да, скорость течения реки (3 км/ч) является лишним сведением.

2) По таблице постройте график функции S = f(t). Здесь 1 см оси Ox равен 10 мин, а 1 см оси Oy равен 2000 м.

Для построения графика необходимо начертить систему координат. Горизонтальная ось $Ox$ — это время $t$ в минутах. Вертикальная ось $Oy$ — это расстояние $S$ в метрах.

Масштаб:

• По оси $Ox$: 1 см соответствует 10 минутам.
• По оси $Oy$: 1 см соответствует 2000 метрам.

На график наносятся точки с координатами $(t, S)$ из заполненной таблицы:

$(10, 11667), (20, 3333), (30, 5000), (40, 13333), (50, 21667), (60, 30000), (70, 38333), (80, 46667), (90, 55000)$.

Также учтем начальную точку при $t=0$, $S=20000$. Точка $(0, 20000)$.

Найдем точку, в которой расстояние станет равно нулю (момент встречи):

$S(t) = 0 \Rightarrow 20000 - \frac{2500}{3}t = 0 \Rightarrow t = \frac{20000 \times 3}{2500} = 24$ минуты.

Таким образом, график будет состоять из двух отрезков прямых, образующих "галочку" (V-образную форму):

1. Первый отрезок соединяет точку $(0, 20000)$ и точку $(24, 0)$. Расстояние уменьшается линейно.
2. Второй отрезок начинается в точке $(24, 0)$ и проходит через все последующие точки. Расстояние увеличивается линейно.

Ответ: График функции $S = f(t)$ представляет собой V-образную линию, состоящую из двух отрезков. Он начинается в точке $(0, 20000)$, опускается до минимальной точки $(24, 0)$ на оси $Ox$, а затем поднимается, проходя через точки, вычисленные в таблице.