Номер 3.42, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. Сократите дробь:

1) $ \left(\frac{1}{36}\right)^{-n} : 6^{2n-1}; $

2) $ \frac{40^{n+1}}{2^{3n+1} \cdot 5^n}. $

1) Требуется упростить выражение $(\frac{1}{36})^{-n} : 6^{2n-1}$.
Сначала преобразуем первый член, используя свойство степени $ (\frac{a}{b})^{-m} = (\frac{b}{a})^m $.
$ (\frac{1}{36})^{-n} = 36^n $
Заметим, что $ 36 = 6^2 $. Подставим это в выражение:
$ 36^n = (6^2)^n $
Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $ (a^m)^k = a^{mk} $:
$ (6^2)^n = 6^{2n} $
Исходное выражение принимает вид:
$ 6^{2n} : 6^{2n-1} $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $ a^m : a^k = a^{m-k} $:
$ 6^{2n - (2n-1)} = 6^{2n - 2n + 1} = 6^1 = 6 $
Ответ: 6

2) Требуется сократить дробь $ \frac{40^{n+1}}{2^{3n+1} \cdot 5^n} $.
Воспользуемся свойством степени $ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $ для преобразования числителя и знаменателя.
Числитель: $ 40^{n+1} = 40^n \cdot 40^1 = 40 \cdot 40^n $.
Знаменатель: $ 2^{3n+1} \cdot 5^n = (2^{3n} \cdot 2^1) \cdot 5^n = 2 \cdot 2^{3n} \cdot 5^n $.
Преобразуем $ 2^{3n} $, используя свойство $ a^{mk} = (a^m)^k $:
$ 2^{3n} = (2^3)^n = 8^n $.
Теперь знаменатель выглядит так: $ 2 \cdot 8^n \cdot 5^n $.
Используем свойство $ a^k \cdot b^k = (ab)^k $:
$ 2 \cdot (8^n \cdot 5^n) = 2 \cdot (8 \cdot 5)^n = 2 \cdot 40^n $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{40 \cdot 40^n}{2 \cdot 40^n} $
Сократим общий множитель $ 40^n $:
$ \frac{40}{2} = 20 $
Ответ: 20