Страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. В указанном промежутке с заданным шагом задайте функцию таблицей и по данным этой таблицы постройте ее график:

1) $y=\frac{2}{x^2}$, $\frac{1}{2} \le x \le 3$, шаг $h=\frac{1}{2}$;

2) $y=\frac{x+1}{x-5}$, $0 \le x \le 4$, шаг $h=\frac{1}{2}$.

1)

Для функции $y = \frac{2}{x}$ на промежутке $\frac{1}{2} \le x \le 3$ с шагом $h = \frac{1}{2}$ необходимо составить таблицу значений и построить график.Сначала определим значения $x$, для которых будем вычислять функцию. Начиная с $x = \frac{1}{2}$ (или $0.5$), будем прибавлять шаг $h = \frac{1}{2}$ (или $0.5$) до тех пор, пока не достигнем конца промежутка $x=3$.Получаем следующие значения $x$: $0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3$.

Теперь вычислим соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

при $x = 0.5$, $y = \frac{2}{0.5} = 4$;

при $x = 1$, $y = \frac{2}{1} = 2$;

при $x = 1.5$, $y = \frac{2}{1.5} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$;

при $x = 2$, $y = \frac{2}{2} = 1$;

при $x = 2.5$, $y = \frac{2}{2.5} = \frac{2}{5/2} = \frac{4}{5}$;

при $x = 3$, $y = \frac{2}{3}$.

Сведем полученные данные в таблицу:

Для построения графика нанесем на координатную плоскость точки, координаты которых приведены в таблице: $(0.5; 4)$, $(1; 2)$, $(1.5; \frac{4}{3})$, $(2; 1)$, $(2.5; \frac{4}{5})$ и $(3; \frac{2}{3})$. Затем соединим эти точки плавной линией. Полученный график является частью гиперболы.

Ответ: Таблица значений составлена, по данным таблицы строится график функции.

2)

Для функции $y = \frac{x+1}{x-5}$ на промежутке $0 \le x \le 4$ с шагом $h = \frac{1}{2}$ составим таблицу значений и построим график.Значения аргумента $x$ на заданном промежутке с шагом $0.5$ будут: $0; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3; 3.5; 4$.

Вычислим соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

при $x = 0$, $y = \frac{0+1}{0-5} = -\frac{1}{5}$;

при $x = 0.5$, $y = \frac{0.5+1}{0.5-5} = \frac{1.5}{-4.5} = -\frac{1}{3}$;

при $x = 1$, $y = \frac{1+1}{1-5} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$;

при $x = 1.5$, $y = \frac{1.5+1}{1.5-5} = \frac{2.5}{-3.5} = -\frac{25}{35} = -\frac{5}{7}$;

при $x = 2$, $y = \frac{2+1}{2-5} = \frac{3}{-3} = -1$;

при $x = 2.5$, $y = \frac{2.5+1}{2.5-5} = \frac{3.5}{-2.5} = -\frac{35}{25} = -\frac{7}{5}$;

при $x = 3$, $y = \frac{3+1}{3-5} = \frac{4}{-2} = -2$;

при $x = 3.5$, $y = \frac{3.5+1}{3.5-5} = \frac{4.5}{-1.5} = -3$;

при $x = 4$, $y = \frac{4+1}{4-5} = \frac{5}{-1} = -5$.

Сведем полученные данные в таблицу:

Для построения графика нанесем точки из таблицы на координатную плоскость и соединим их плавной линией. Данная функция является дробно-линейной, ее график — гипербола. На заданном промежутке $[0; 4]$ мы строим часть одной из ветвей этой гиперболы. Вертикальная асимптота графика находится в точке $x=5$, которая не входит в наш промежуток.

Ответ: Таблица значений составлена, по данным таблицы строится график функции.

3.37. Собственная скорость катера 30 км/ч. В таблице приведены сведения о пройденном пути $S$ км катера по течению реки за $t$ ч:

t: 0,5, 1, 2, 2,5, 3

S: 16,5, (пусто), 49,5, 66, (пусто), (пусто)

1) Заполните пустующие клетки.

2) Найдите скорость течения реки.

3) Задайте функцию $S = f(t)$ формулой;

4) Каждый 1 см оси $Ox$ приравняйте 0,5 ч и 1 см оси $Oy$ – 20 км. Постройте график движения катера.

Обозначим собственную скорость катера как $v_{к} = 30$ км/ч, скорость течения реки как $v_{т}$, а скорость катера по течению как $v_{пт}$. Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{пт} = v_{к} + v_{т}$. Расстояние $S$, пройденное катером за время $t$, вычисляется по формуле $S = v_{пт} \cdot t$.

Из таблицы у нас есть два достоверных значения:

• При $t = 0,5$ ч, $S = 16,5$ км.
• При $t = 2$ ч, $S = 66$ км.

Используя эти данные, мы можем найти скорость катера по течению $v_{пт}$:

$v_{пт} = S / t = 16,5 / 0,5 = 33$ км/ч.

Проверим со второй парой значений:

$v_{пт} = S / t = 66 / 2 = 33$ км/ч.

Скорость совпадает, значит, скорость движения катера по течению постоянна и равна 33 км/ч. Значение 49,5 в таблице, вероятно, является опечаткой, так как оно не соответствует линейной зависимости при указанных значениях времени.

Теперь мы можем решить все пункты задачи.

1) Заполните пустующие клетки.

Используя найденную скорость по течению $v_{пт} = 33$ км/ч и формулу $S = 33t$, рассчитаем недостающие значения $S$ для $t = 1$ ч, $t = 2,5$ ч и $t = 3$ ч.

• При $t = 1$ ч: $S = 33 \cdot 1 = 33$ км.
• При $t = 2,5$ ч: $S = 33 \cdot 2,5 = 82,5$ км.
• При $t = 3$ ч: $S = 33 \cdot 3 = 99$ км.

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

2) Найдите скорость течения реки.

Скорость катера по течению ($v_{пт}$) связана с его собственной скоростью ($v_{к}$) и скоростью течения ($v_{т}$) формулой $v_{пт} = v_{к} + v_{т}$.

Мы знаем, что $v_{пт} = 33$ км/ч и $v_{к} = 30$ км/ч.

Подставим значения в формулу:

$33 = 30 + v_{т}$

Отсюда находим скорость течения:

$v_{т} = 33 - 30 = 3$ км/ч.

Ответ: Скорость течения реки равна 3 км/ч.

3) Задайте функцию S = f(t) формулой;

Функция, описывающая зависимость пройденного пути $S$ от времени $t$ при постоянной скорости $v$, имеет вид $S = v \cdot t$.

В данном случае скорость — это скорость катера по течению, $v_{пт} = 33$ км/ч.

Следовательно, функция имеет вид:

$S = 33t$

Ответ: $S = 33t$.

4) Каждый 1 см оси Ox приравняйте 0,5 ч и 1 см оси Oy — 20 км. Постройте график движения катера.

Графиком функции $S = 33t$ является прямая линия, проходящая через начало координат. Ось Ox представляет время $t$ в часах, а ось Oy — расстояние $S$ в километрах.

Масштаб:

• По оси Ox: 1 см = 0,5 ч.
• По оси Oy: 1 см = 20 км.

Для построения графика используем точки из таблицы: (0; 0), (0,5; 16,5), (1; 33), (2; 66), (3; 99).

Ответ: График движения катера:

3.38. Если в ведро в форме усеченного конуса налить воду объемом $V$ л, то высота уровня воды в ведре равна $H$ мм. На рис. 3.7 показано изменение высоты воды в ведре в зависимости от объема налитой в него воды $V$ л.

$H$, мм $V$, л

Рис. 3.7

1) Какой будет высота уровня воды в ведре, если в ведро налить воду объемом в 1л; 3л; 5,5л?

2) Оцените объем воды в ведре, если высота уровня воды в ведре равна 120 мм, 200 мм.

3) На сколько увеличится высота уровня воды, если объем воды в ведре увеличится с 0,5 литра до 3л?

4) Определите объем ведра.

1) Какой будет высота уровня воды в ведре, если в ведро налить воду объемом в 1л; 3л; 5,5л?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся представленным графиком зависимости высоты уровня воды $H$ (в мм) от объема $V$ (в л). Для каждого заданного объема найдем соответствующую ему высоту на графике.

• Для объема $V = 1$ л: находим на горизонтальной оси значение 1, движемся вертикально вверх до пересечения с кривой графика, а затем горизонтально влево до вертикальной оси. Точка на вертикальной оси соответствует $H = 90$ мм.
• Для объема $V = 3$ л: аналогично находим на горизонтальной оси значение 3. Соответствующая точка на вертикальной оси равна $H = 180$ мм.
• Для объема $V = 5,5$ л: находим на горизонтальной оси значение 5,5 (посередине между 5 и 6). Соответствующая точка на вертикальной оси равна $H = 270$ мм.

Ответ: При объеме 1л высота составит 90 мм, при 3л – 180 мм, при 5,5л – 270 мм.

2) Оцените объем воды в ведре, если высота уровня воды в ведре равна 120 мм, 200 мм.

В этом случае мы выполняем обратную операцию: по известной высоте $H$ находим соответствующий объем $V$.

• Для высоты $H = 120$ мм: находим на вертикальной оси значение 120, движемся горизонтально вправо до пересечения с кривой, а затем вертикально вниз до горизонтальной оси. Точка на горизонтальной оси соответствует объему $V \approx 1,5$ л.
• Для высоты $H = 200$ мм: находим на вертикальной оси значение 200 (на треть выше отметки 180 мм к отметке 240 мм). Движемся до кривой и опускаемся на ось объемов. Значение находится между 3 л и 4 л. Можно оценить его точнее. Высоте $H = 180$ мм соответствует $V = 3$ л, а высоте $H = 210$ мм (которая соответствует V=4л) - $V=4$ л. Предполагая линейное изменение на этом небольшом участке, можно использовать пропорцию: $V \approx 3 + (4-3) \cdot \frac{200-180}{210-180} = 3 + \frac{20}{30} \approx 3,67$ л. Таким образом, объем составляет примерно 3,7 л.

Ответ: При высоте 120 мм объем воды составляет примерно 1,5 л; при высоте 200 мм – примерно 3,7 л.

3) На сколько увеличится высота уровня воды, если объем воды в ведре увеличится с 0,5 литра до 3л?

Сначала определим по графику высоту воды для каждого из объемов.

- При объеме $V_1 = 0,5$ л (половина деления от 0 до 1), высота уровня воды $H_1 \approx 45$ мм.

- При объеме $V_2 = 3$ л, высота уровня воды $H_2 = 180$ мм.

Теперь найдем разность высот, чтобы определить, на сколько увеличился уровень воды: $\Delta H = H_2 - H_1 = 180 \text{ мм} - 45 \text{ мм} = 135 \text{ мм}$.

Ответ: Высота уровня воды увеличится на 135 мм.

4) Определите объем ведра.

Объем ведра — это максимальный объем воды, который оно может вместить. На графике показано, что при увеличении объема воды высота уровня также увеличивается. Крайняя точка графика соответствует максимальному значению объема, при котором производились измерения и которое, по всей видимости, является полным объемом ведра.

Эта точка имеет координаты $(V_{max}; H_{max}) = (7 \text{ л}; 300 \text{ мм})$.

Следовательно, объем ведра составляет 7 литров.

Ответ: Объем ведра равен 7 л.