Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.26. Задайте функцию таблицей:

1) $y = 2x - 3$, $-1 \le x \le 4$;

2) $y = \frac{1}{3}x + 2$, $-3 \le x \le 3$.

1)

Чтобы задать функцию $y = 2x - 3$ таблицей, необходимо найти её значения для целых чисел $x$ на заданном промежутке $-1 \le x \le 4$.

Целые значения $x$ из этого промежутка: -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Вычислим соответствующие значения $y$, подставляя каждое значение $x$ в формулу функции:
При $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$.
При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$.
При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.
При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
При $x = 3$, $y = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$.
При $x = 4$, $y = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$.

Составим таблицу из полученных пар значений $(x, y)$.

Ответ:

2)

Чтобы задать функцию $y = \frac{1}{3}x + 2$ таблицей, необходимо найти её значения для целых чисел $x$ на заданном промежутке $-3 \le x \le 3$.

Целые значения $x$ из этого промежутка: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Вычислим соответствующие значения $y$, подставляя каждое значение $x$ в формулу функции:
При $x = -3$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-3) + 2 = -1 + 2 = 1$.
При $x = -2$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-2) + 2 = -\frac{2}{3} + 2 = 1\frac{1}{3}$.
При $x = -1$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-1) + 2 = -\frac{1}{3} + 2 = 1\frac{2}{3}$.
При $x = 0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$.
При $x = 1$, $y = \frac{1}{3} \cdot 1 + 2 = \frac{1}{3} + 2 = 2\frac{1}{3}$.
При $x = 2$, $y = \frac{1}{3} \cdot 2 + 2 = \frac{2}{3} + 2 = 2\frac{2}{3}$.
При $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3 + 2 = 1 + 2 = 3$.

Составим таблицу из полученных пар значений $(x, y)$.

Ответ:

3.27. В таблице с шагом 1 мин показан процесс закипания электрического самовара:

1) За сколько минут вскипел самовар?

2) Какова температура воды, залитой в самовар?

3) Какова температура воды в самоваре после 5 мин, как подключили самовар к электричеству?

4) Полагая, что каждый 1 см оси ординат равен $10^\circ C$ и 1см оси $Ox$ равен 1 мин, указанные сведения отметьте на координатной плоскости.

1) За сколько минут вскипел самовар?

Процесс кипения воды начинается при достижении температуры $100^\circ\text{С}$. Согласно данным из таблицы, температура воды впервые достигает значения $100^\circ\text{С}$ в момент времени $t = 11$ минут. После этого момента температура перестает расти, что указывает на начало кипения.

Ответ: 11 минут.

2) Какова температура воды, залитой в самовар?

Температура воды, которую залили в самовар, является её начальной температурой, то есть температурой в момент времени $t = 0$. Из первого столбца таблицы видно, что при $t = 0$ минут температура $T$ составляла $25^\circ\text{С}$.

Ответ: $25^\circ\text{С}$.

3) Какова температура воды в самоваре после 5 мин, как подключили самовар к электричеству?

Чтобы найти температуру воды через 5 минут после начала нагрева, необходимо посмотреть в таблице значение температуры $T$, соответствующее времени $t = 5$ минут. В соответствующем столбце указана температура $56^\circ\text{С}$.

Ответ: $56^\circ\text{С}$.

4) Полагая, что каждый 1 см оси ординат равен 10°С и 1см оси Ох равен 1 мин, указанные сведения отметьте на координатной плоскости.

Для построения графика необходимо начертить координатную плоскость. Горизонтальную ось абсцисс (Ох) следует назвать «Время, $t$ (мин)» и выбрать для нее масштаб $1$ см = $1$ мин. Вертикальную ось ординат (Оy) следует назвать «Температура, $T$ (°С)» с масштабом $1$ см = $10^\circ\text{С}$. Затем, используя данные из таблицы, нужно отметить на плоскости точки с координатами $(t; T)$: $(0; 25)$, $(1; 31)$, $(2; 38)$, $(3; 44)$, $(4; 50)$, $(5; 56)$, $(6; 62)$, $(7; 68)$, $(8; 76)$, $(9; 84)$, $(10; 92)$, $(11; 100)$, $(12; 100)$. В завершение следует соединить отмеченные точки последовательно плавной линией, чтобы получить график, отражающий процесс нагревания и кипения воды.

Ответ: На координатной плоскости отмечены точки по данным из таблицы и построен график зависимости температуры от времени с заданным масштабом.

3.28. Для функции $f(x) = 2x - 4$ заполните пустующие клетки в следующей таблице:

1) При каком значении аргумента $x$ значение функции равно -4; 0; 4?

2) Может ли значение функции равняться 3? Какому значению аргумента оно соответствует, если значение функции равняется 3?

3) По таблице постройте график функции.

Дана функция $f(x) = 2x - 4$. Сначала заполним пустые клетки в таблице. Для этого будем подставлять известные значения $x$ в формулу, чтобы найти $f(x)$, и решать уравнение относительно $x$, когда известно значение $f(x)$.

• При $x = -2$: $f(-2) = 2 \cdot (-2) - 4 = -4 - 4 = -8$.
• При $x = -1$: $f(-1) = 2 \cdot (-1) - 4 = -2 - 4 = -6$.
• При $f(x) = -4$: решим уравнение $2x - 4 = -4 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
• При $x = 1$: $f(1) = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$.
• При $x = 2$: $f(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
• При $f(x) = 2$: решим уравнение $2x - 4 = 2 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
• При $x = 4$: $f(4) = 2 \cdot 4 - 4 = 8 - 4 = 4$.

Заполненная таблица выглядит так:

1) При каком значении аргумента x значение функции равно -4; 0; 4?

Чтобы найти значение аргумента $x$ по известному значению функции $f(x)$, необходимо решить уравнение $2x - 4 = y$, где $y$ — заданное значение функции.

• Если $f(x) = -4$:
  $2x - 4 = -4$
  $2x = 0$
  $x = 0$
• Если $f(x) = 0$:
  $2x - 4 = 0$
  $2x = 4$
  $x = 2$
• Если $f(x) = 4$:
  $2x - 4 = 4$
  $2x = 8$
  $x = 4$

Ответ: значение функции равно -4 при $x=0$; равно 0 при $x=2$; равно 4 при $x=4$.

2) Может ли значение функции равняться 3? Какому значению аргумента оно соответствует, если значение функции равняется 3?

Чтобы ответить на этот вопрос, решим уравнение $f(x) = 3$:
$2x - 4 = 3$
$2x = 3 + 4$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3.5$
Так как уравнение имеет решение, значит, значение функции может равняться 3.

Ответ: да, может. Это происходит при значении аргумента $x = 3.5$.

3) По таблице постройте график функции.

Функция $f(x) = 2x - 4$ является линейной, её график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Мы можем взять любые две пары координат $(x, f(x))$ из заполненной таблицы. Удобно использовать точки пересечения с осями координат: $(2, 0)$ и $(0, -4)$.

Алгоритм построения:

1. Начертите систему координат $Oxy$.
2. Отметьте на оси абсцисс точку $x=2$ и на оси ординат точку $y=-4$.
3. Найдите на координатной плоскости точки с координатами $(2, 0)$ и $(0, -4)$.
4. Проведите через эти две точки прямую линию.

Эта прямая является графиком функции $f(x) = 2x - 4$.

Ответ: график функции — это прямая, проходящая, например, через точки $(2, 0)$ и $(0, -4)$.

3.29. Какой из графиков, показанных на рис. 3.4, определяет функцию?

а) $y$, $x$, $0$

б) $y$, $x$, $0$

в) $y$, $x$, $0$

г) $y$, $x$, $0$

Рис. 3.4

Функция — это такая зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению независимой переменной $x$ из области определения соответствует единственное значение зависимой переменной $y$.

Чтобы проверить, является ли график представлением функции, можно использовать тест вертикальной прямой: если любая вертикальная прямая (параллельная оси $Oy$) пересекает график не более чем в одной точке, то этот график определяет функцию. Если найдется хотя бы одна вертикальная прямая, пересекающая график в двух или более точках, то это не график функции.

Проанализируем каждый из предложенных графиков.

а) Для данного графика любая вертикальная прямая, проведенная через любую точку на оси $Ox$, пересечет кривую только в одной точке. Это означает, что для каждого значения аргумента $x$ существует только одно значение функции $y$.

Ответ: данный график определяет функцию.

б) На этом графике можно провести вертикальную прямую, которая пересечет кривую в двух точках. Например, прямая $x=1$ пересекает график в двух точках: одной с положительной координатой $y$ и другой с отрицательной. Это нарушает условие единственности, необходимое для функции.

Ответ: данный график не определяет функцию.

в) Этот график — окружность. Любая вертикальная прямая, проведенная через внутреннюю область окружности (например, прямая $x=-3$), пересечет ее в двух точках. Таким образом, одному значению $x$ соответствуют два значения $y$.

Ответ: данный график не определяет функцию.

г) Любая вертикальная прямая пересекает этот ломаный график ровно в одной точке. Это значит, что для каждого значения $x$ существует единственное соответствующее значение $y$.

Ответ: данный график определяет функцию.

3.30. Задайте функцию таблицей, график которой изображен на рис. 3.5.

Рис. 3.5

Чтобы задать функцию таблицей, необходимо определить координаты нескольких точек, принадлежащих графику этой функции. График, изображенный на рисунке, представляет собой прямую линию, что соответствует линейной функции.

Выберем на графике несколько точек, координаты которых легко определить по сетке (точки, находящиеся на пересечении линий сетки):

• При $x = -2$, значение $y = -1$.
• При $x = 0$, значение $y = 0$ (график проходит через начало координат).
• При $x = 2$, значение $y = 1$.
• При $x = 4$, значение $y = 2$.
• При $x = 6$, значение $y = 3$.

Можно заметить, что для всех выбранных точек значение ординаты ($y$) в два раза меньше значения абсциссы ($x$). Следовательно, данная функция может быть задана аналитически формулой $y = \frac{1}{2}x$ или $y = 0.5x$.

Теперь, используя найденные координаты, составим итоговую таблицу, которая и будет задавать данную функцию.

Ответ:

3.31. Функция $y = 2x(2 - x)$ определена на множестве $D = \\{-1; 0; 1; 2; 3; 4\\}$. Задайте ее табличным способом. При каком значении аргумента функция достигает своего наибольшего значения?

Дана функция $y = 2x(2 - x)$, определенная на множестве $D = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4\}$.

Задайте ее табличным способом.

Для того чтобы задать функцию табличным способом, необходимо вычислить значение функции $y$ для каждого значения аргумента $x$ из области определения $D$.

• При $x = -1$: $y = 2(-1)(2 - (-1)) = -2 \cdot (2 + 1) = -2 \cdot 3 = -6$.
• При $x = 0$: $y = 2(0)(2 - 0) = 0 \cdot 2 = 0$.
• При $x = 1$: $y = 2(1)(2 - 1) = 2 \cdot 1 = 2$.
• При $x = 2$: $y = 2(2)(2 - 2) = 4 \cdot 0 = 0$.
• При $x = 3$: $y = 2(3)(2 - 3) = 6 \cdot (-1) = -6$.
• При $x = 4$: $y = 2(4)(2 - 4) = 8 \cdot (-2) = -16$.

Результаты вычислений представим в виде таблицы.

Ответ:

При каком значении аргумента функция достигает своего наибольшего значения?

Проанализируем полученные значения функции $y$ из таблицы: $\{-6, 0, 2, 0, -6, -16\}$.

Среди этих значений наибольшим является $y = 2$.

Это значение функция принимает при аргументе $x = 1$.

Ответ: наибольшее значение функция достигает при $x = 1$.