Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. Линейная функция $y = kx + b$ задана таблицей:

1)

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2

y | | | 4 | | 3

2)

x | -2,5 | -1 | 0 | 1 | 2

y | -4,25 | | | -2,5 |

1)

Решение для первой таблицы.

1) Определите по таблице значения k и b и запишите линейную функцию формулой;

Линейная функция имеет вид $y = kx + b$. Для нахождения коэффициентов $k$ и $b$ воспользуемся двумя известными точками из первой таблицы: $(0, 4)$ и $(2, 3)$.
Подставим координаты точки $(0, 4)$ в уравнение функции:
$4 = k \cdot 0 + b$
Отсюда сразу находим, что $b = 4$.
Теперь подставим координаты точки $(2, 3)$ и найденное значение $b = 4$ в уравнение функции:
$3 = k \cdot 2 + 4$
$2k = 3 - 4$
$2k = -1$
$k = -0.5$
Следовательно, линейная функция задается формулой $y = -0.5x + 4$.
Ответ: $k = -0.5$, $b = 4$; формула функции: $y = -0.5x + 4$.

2) заполните пустующие клетки;

Используя полученную формулу $y = -0.5x + 4$, найдем недостающие значения $y$ для первой таблицы.
При $x = -2$: $y = -0.5(-2) + 4 = 1 + 4 = 5$.
При $x = -1$: $y = -0.5(-1) + 4 = 0.5 + 4 = 4.5$.
При $x = 1$: $y = -0.5(1) + 4 = -0.5 + 4 = 3.5$.

Заполненная таблица:

Ответ: При $x = -2, y = 5$; при $x = -1, y = 4.5$; при $x = 1, y = 3.5$.

3) найдите точки пересечения прямой с осями координат и постройте график этой линейной функции;

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = -0.5(0) + 4 = 4$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.
Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (Ox) подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = -0.5x + 4$
$0.5x = 4$
$x = 8$. Точка пересечения с осью Ox: $(8, 0)$.
График функции – это прямая, которую можно построить, проведя линию через точки $(0, 4)$ и $(8, 0)$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$, точка пересечения с осью Ox: $(8, 0)$.

4) найдите площадь треугольника, отсекаемого графиком линейной функции от координатного угла.

График функции $y = -0.5x + 4$ образует с осями координат прямоугольный треугольник. Вершины этого треугольника находятся в точках $(0, 0)$, $(8, 0)$ и $(0, 4)$.
Длины катетов этого треугольника равны модулям координат точек пересечения с осями: катет по оси Ox равен $|8| = 8$, катет по оси Oy равен $|4| = 4$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ - длины катетов.
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ (квадратных единиц).
Ответ: Площадь треугольника равна 16.

2)

Решение для второй таблицы.

1) Определите по таблице значения k и b и запишите линейную функцию формулой;

Для второй таблицы используем точки $(-2.5, -4.25)$ и $(1, -2.5)$.
Составим систему уравнений на основе общей формулы $y=kx+b$:
$\begin{cases} -4.25 = -2.5k + b \\ -2.5 = 1 \cdot k + b \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $b$: $b = -2.5 - k$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$-4.25 = -2.5k + (-2.5 - k)$
$-4.25 = -3.5k - 2.5$
$-4.25 + 2.5 = -3.5k$
$-1.75 = -3.5k$
$k = \frac{-1.75}{-3.5} = 0.5$
Теперь найдем $b$:
$b = -2.5 - 0.5 = -3$.
Следовательно, линейная функция задается формулой $y = 0.5x - 3$.
Ответ: $k = 0.5$, $b = -3$; формула функции: $y = 0.5x - 3$.

2) заполните пустующие клетки;

Используя полученную формулу $y = 0.5x - 3$, найдем недостающие значения $y$ для второй таблицы.
При $x = -1$: $y = 0.5(-1) - 3 = -0.5 - 3 = -3.5$.
При $x = 0$: $y = 0.5(0) - 3 = -3$.
При $x = 2$: $y = 0.5(2) - 3 = 1 - 3 = -2$.

Заполненная таблица:

Ответ: При $x = -1, y = -3.5$; при $x = 0, y = -3$; при $x = 2, y = -2$.

3) найдите точки пересечения прямой с осями координат и постройте график этой линейной функции;

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 0.5(0) - 3 = -3$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (Ox) подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = 0.5x - 3$
$0.5x = 3$
$x = 6$. Точка пересечения с осью Ox: $(6, 0)$.
График функции – это прямая, которую можно построить, проведя линию через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$, точка пересечения с осью Ox: $(6, 0)$.

4) найдите площадь треугольника, отсекаемого графиком линейной функции от координатного угла.

График функции $y = 0.5x - 3$ образует с осями координат прямоугольный треугольник. Вершины этого треугольника находятся в точках $(0, 0)$, $(6, 0)$ и $(0, -3)$.
Длины катетов этого треугольника равны модулям координат точек пересечения с осями: катет по оси Ox равен $|6| = 6$, катет по оси Oy равен $|-3| = 3$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ (квадратных единиц).
Ответ: Площадь треугольника равна 9.

3.63. Напишите линейную функцию, график которой проходит через две заданные точки $M_1 (x_1; y_1)$ и $M_2 (x_2; y_2)$. Используя найденную формулу, напишите линейную функцию, проходящую через точки:

1) $A (2; 0)$ и $B (0; 3);$

2) $P (-1; -4)$ и $Q (2; 2).$

Общий вид линейной функции — $y = kx + b$. Чтобы найти уравнение функции, график которой проходит через две заданные точки $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$, необходимо найти значения коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член).

Для этого можно использовать общую формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Из этой формулы можно выразить $y$ через $x$. Однако более практичным является пошаговый метод нахождения коэффициентов $k$ и $b$, который мы и применим.
1. Сначала находим угловой коэффициент $k$ по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Затем подставляем найденное значение $k$ в уравнение функции $y = kx + b$.
3. Наконец, подставляем координаты одной из заданных точек (например, $M_1(x_1, y_1)$) в полученное уравнение и вычисляем $b$: $y_1 = kx_1 + b \Rightarrow b = y_1 - kx_1$.

1) A (2; 0) и B (0; 3)

Найдем уравнение линейной функции, проходящей через точки $A(2; 0)$ и $B(0; 3)$.
В данном случае имеем: $x_1 = 2, y_1 = 0$ и $x_2 = 0, y_2 = 3$.
Сначала вычислим угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{0 - 2} = \frac{3}{-2} = -1.5$
Теперь уравнение функции принимает вид $y = -1.5x + b$.
Для нахождения $b$ подставим в это уравнение координаты точки $B(0; 3)$ (вычисления с нулем проще):
$3 = -1.5 \cdot 0 + b$
$b = 3$
Таким образом, искомая линейная функция: $y = -1.5x + 3$.

Ответ: $y = -1.5x + 3$

2) P (-1; -4) и Q (2; 2)

Найдем уравнение линейной функции, проходящей через точки $P(-1; -4)$ и $Q(2; 2)$.
Здесь $x_1 = -1, y_1 = -4$ и $x_2 = 2, y_2 = 2$.
Вычислим угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-4)}{2 - (-1)} = \frac{2 + 4}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$
Уравнение функции принимает вид $y = 2x + b$.
Для нахождения $b$ подставим в это уравнение координаты точки $Q(2; 2)$:
$2 = 2 \cdot 2 + b$
$2 = 4 + b$
$b = 2 - 4 = -2$
Таким образом, искомая линейная функция: $y = 2x - 2$.

Ответ: $y = 2x - 2$

3.64. Чтобы попасть в дом чабана, мотоциклист должен проехать по проселочной дороге 40 км. Он запланировал пройти этот путь за 1 ч 15 мин с постоянной средней скоростью. За 20 мин он проехал 10 км пути. Может ли он уложиться в запланированный им срок, если он продолжит путь с этой же скоростью?

С какой скоростью он продолжит движение на оставшемся отрезке пути, чтобы уложиться в запланированный им срок?

Может ли он уложиться в запланированный им срок, если он продолжит путь с этой же скоростью?

1. Сначала определим скорость мотоциклиста на первом участке пути.
Дано: расстояние $S_1 = 10$ км, время $t_1 = 20$ мин.
Переведем время в часы для удобства расчетов: $t_1 = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Скорость $v_1$ найдем по формуле $v = \frac{S}{t}$:
$v_1 = \frac{S_1}{t_1} = \frac{10 \text{ км}}{\frac{1}{3} \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$.

2. Теперь рассчитаем, сколько времени потребуется на оставшийся путь, если ехать с этой же скоростью.
Общий путь $S_{общ} = 40$ км.
Оставшийся путь: $S_{ост} = S_{общ} - S_1 = 40 \text{ км} - 10 \text{ км} = 30 \text{ км}$.
Время, необходимое для преодоления оставшегося пути со скоростью $v_1$:
$t_2 = \frac{S_{ост}}{v_1} = \frac{30 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.

3. Найдем общее время, которое будет затрачено на весь путь.
$t_{общ} = t_1 + t_2 = 20 \text{ мин} + 60 \text{ мин} = 80 \text{ мин}$.

4. Сравним полученное общее время с запланированным.
Запланированное время $t_{план} = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 75 \text{ мин}$.
Поскольку $80 \text{ мин} > 75 \text{ мин}$, мотоциклист опоздает на $80 - 75 = 5$ минут.

Ответ: нет, не сможет уложиться в запланированный срок.

С какой скоростью он продолжит движение на оставшемся отрезке пути, чтобы уложиться в запланированный им срок?

1. Найдем, какое расстояние и сколько времени у мотоциклиста осталось.
Оставшееся расстояние (как мы уже рассчитали): $S_{ост} = 30 \text{ км}$.
Запланированное время: $t_{план} = 75 \text{ мин}$.
Уже потраченное время: $t_1 = 20 \text{ мин}$.
Оставшееся время для поездки: $t_{ост} = t_{план} - t_1 = 75 \text{ мин} - 20 \text{ мин} = 55 \text{ мин}$.

2. Рассчитаем необходимую скорость $v_{необх}$ для оставшегося участка.
Сначала переведем оставшееся время в часы: $t_{ост} = 55 \text{ мин} = \frac{55}{60} \text{ ч} = \frac{11}{12} \text{ ч}$.
Теперь найдем требуемую скорость по формуле $v = \frac{S}{t}$:
$v_{необх} = \frac{S_{ост}}{t_{ост}} = \frac{30 \text{ км}}{\frac{11}{12} \text{ ч}} = \frac{30 \cdot 12}{11} \text{ км/ч} = \frac{360}{11} \text{ км/ч}$.

3. Представим результат в виде смешанной дроби для точности.
$\frac{360}{11} = 32 \frac{8}{11} \text{ км/ч}$.
(Приблизительно это $32,73$ км/ч).

Ответ: чтобы уложиться в срок, мотоциклист должен продолжить движение на оставшемся отрезке пути со скоростью $32 \frac{8}{11}$ км/ч.

3.65. Решите уравнение:

1) $\frac{2(x-9)}{3} + \frac{x+10}{6} = 4;$

2) $\frac{12}{1+|x|} = 3.$

1) Решим уравнение $\frac{2(x-9)}{3}+\frac{x+10}{6}=4$.

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, которое равно 6.

$6 \cdot \left(\frac{2(x-9)}{3}+\frac{x+10}{6}\right) = 6 \cdot 4$

$6 \cdot \frac{2(x-9)}{3} + 6 \cdot \frac{x+10}{6} = 24$

Сокращаем дроби:

$2 \cdot 2(x-9) + 1 \cdot (x+10) = 24$

$4(x-9) + x+10 = 24$

Раскроем скобки:

$4x - 36 + x + 10 = 24$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4x + x) + (-36 + 10) = 24$

$5x - 26 = 24$

Перенесем число -26 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$5x = 24 + 26$

$5x = 50$

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{50}{5}$

$x = 10$

Ответ: 10.

2) Решим уравнение $\frac{12}{1+|x|}=3$.

Поскольку выражение $|x|$ (модуль $x$) всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$, знаменатель $1+|x|$ всегда больше или равен 1. Это значит, что уравнение определено для любых значений $x$.

Выразим знаменатель из уравнения:

$1+|x| = \frac{12}{3}$

$1+|x| = 4$

Теперь выразим $|x|$:

$|x| = 4 - 1$

$|x| = 3$

Данное уравнение распадается на два случая, так как модуль числа равен 3, если само число равно 3 или -3.

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Ответ: -3; 3.

3.66. Если разложить трехзначное число на сумму разрядных слагаемых, то получим 5 сотых, 6 десятков и $n$ единиц. Чему должно быть равно $n$, чтобы данное трехзначное число было кратно 6?

Трехзначное число, которое раскладывается на 5 сотен, 6 десятков и $n$ единиц, можно записать в виде суммы разрядных слагаемых: $5 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + n \cdot 1$. Это равно $500 + 60 + n = 560 + n$. Таким образом, мы ищем число вида $56n$, где $n$ — это цифра единиц. Следовательно, $n$ может быть любым целым числом от 0 до 9.

Для того чтобы число было кратно 6, оно должно удовлетворять двум условиям одновременно: делиться на 2 и делиться на 3.

1. Делимость на 2.
Число делится на 2, если оно четное, то есть его последняя цифра — четная. В данном случае последняя цифра — это $n$. Значит, $n$ должно быть одним из следующих чисел: $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

2. Делимость на 3.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр нашего числа равна $5 + 6 + n = 11 + n$. Эта сумма должна быть кратна 3.

Теперь объединим эти два условия. Нам нужно найти такое значение $n$ из набора $\{0, 2, 4, 6, 8\}$, при котором сумма $11 + n$ будет делиться на 3. Проверим все возможные варианты:

• Если $n = 0$, то сумма цифр $11 + 0 = 11$. Число 11 не делится на 3.
• Если $n = 2$, то сумма цифр $11 + 2 = 13$. Число 13 не делится на 3.
• Если $n = 4$, то сумма цифр $11 + 4 = 15$. Число 15 делится на 3. Этот вариант подходит.
• Если $n = 6$, то сумма цифр $11 + 6 = 17$. Число 17 не делится на 3.
• Если $n = 8$, то сумма цифр $11 + 8 = 19$. Число 19 не делится на 3.

Единственное значение $n$, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 4. При этом значении мы получаем число 564. Проверим его: оно четное, и сумма его цифр $5+6+4=15$ делится на 3, значит, число 564 кратно 6.

Ответ: 4

3.67. Найдите значение выражения $ \frac{3a^2 + 5b}{2a - 1} + \frac{a^2 - 2b^2}{3 - 4b} $ при $ a = -\frac{1}{3} $ и $ b = \frac{1}{2} $.

Для нахождения значения выражения необходимо подставить в него значения $a = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{1}{2}$.

Выражение: $\frac{3a^2 + 5b}{2a - 1} + \frac{a^2 - 2b^2}{3 - 4b}$

Вычислим значение каждой дроби по отдельности, а затем сложим полученные результаты.

Вычисление первой дроби:

$\frac{3a^2 + 5b}{2a - 1} = \frac{3 \cdot (-\frac{1}{3})^2 + 5 \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1} = \frac{3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{5}{2}}{-\frac{2}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{2}}{-\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{\frac{2+15}{6}}{-\frac{5}{3}} = \frac{\frac{17}{6}}{-\frac{5}{3}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{17}{6} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{17 \cdot 3}{6 \cdot 5} = -\frac{17}{2 \cdot 5} = -\frac{17}{10}$

Вычисление второй дроби:

$\frac{a^2 - 2b^2}{3 - 4b} = \frac{(-\frac{1}{3})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2})^2}{3 - 4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{9} - 2 \cdot \frac{1}{4}}{3 - 2} = \frac{\frac{1}{9} - \frac{1}{2}}{1} = \frac{2-9}{18} = -\frac{7}{18}$

Сложение результатов:

Теперь сложим значения, полученные для каждой дроби:

$-\frac{17}{10} + (-\frac{7}{18}) = -\frac{17}{10} - \frac{7}{18}$

Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 10 и 18 равно 90.

$-\frac{17 \cdot 9}{10 \cdot 9} - \frac{7 \cdot 5}{18 \cdot 5} = -\frac{153}{90} - \frac{35}{90} = \frac{-153 - 35}{90} = -\frac{188}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{188 \div 2}{90 \div 2} = -\frac{94}{45}$

Ответ: $-\frac{94}{45}$.