Номер 2.118, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.118. Докажите, что выражение $(n-6)(n+8)-2(n-25)$ при любом значении $n$ принимает положительное значение.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает положительное значение при любом значении $n$, упростим его. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$(n-6)(n+8) - 2(n-25)$

1. Раскроем произведение первых двух скобок:

$(n-6)(n+8) = n \cdot n + 8 \cdot n - 6 \cdot n - 6 \cdot 8 = n^2 + 2n - 48$

2. Раскроем вторую часть выражения:

$-2(n-25) = -2 \cdot n - 2 \cdot (-25) = -2n + 50$

3. Теперь сложим полученные результаты:

$(n^2 + 2n - 48) + (-2n + 50) = n^2 + 2n - 48 - 2n + 50$

4. Приведем подобные слагаемые:

$n^2 + (2n - 2n) + (-48 + 50) = n^2 + 0 + 2 = n^2 + 2$

Мы получили выражение $n^2 + 2$. Теперь нужно доказать, что оно всегда положительно.

Квадрат любого действительного числа $n$ всегда больше или равен нулю, то есть $n^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу $n^2$ прибавить положительное число 2, результат всегда будет положительным:

Поскольку $n^2 \ge 0$, то $n^2 + 2 \ge 0 + 2$, следовательно, $n^2 + 2 \ge 2$.

Так как $2 > 0$, то и выражение $n^2 + 2$ всегда больше нуля при любом значении $n$.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение $(n-6)(n+8) - 2(n-25)$ всегда принимает положительное значение.

Ответ: Утверждение доказано, так как исходное выражение тождественно равно $n^2+2$, а $n^2+2 > 0$ при любом значении $n$.