Вопросы, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какая зависимость переменных называется функциональной зависимостью?

2. Как вы понимаете понятия независимой и зависимой переменной? Какая из них называется аргументом, а какая – функцией? Приведите пример.

3. Что такое область определения функции? Что вы понимаете под областью значений функции?

4. При каких условиях считается, что функция задана? Приведите пример.

5. Если область определения специально не указана, то что берется в качестве области определения функции? Приведите пример.

ПЗ Велосипедист в 15⁰⁰ тронулся с места и, проехав 100 м за 15 с, довел скорость движения до 5 м/с. Далее он двигался с этой постоянной скоростью.

1) Задайте пройденный велосипедистом путь $S$ м как функцию, зависящую от времени $t$ с, и определите область определения этой функции.

2) Какой путь пройдет велосипедист:

а) в 15 ч 15 мин 15 с; б) за 1 ч?

3) За какое время велосипедист пройдет путь 1 км 100 м?

4) В котором часу он преодолеет рубеж в 5 км?

Выполните задание, объединившись в 3 подгруппы, и совместно обсудите результаты вычислений.

1. Какая зависимость переменных называется функциональной зависимостью?

Функциональной зависимостью (или функцией) называется такая зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x из некоторого множества соответствует единственное значение переменной y.

Ответ: Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

2. Как вы понимаете понятия независимой и зависимой переменной? Какая из них называется аргументом, а какая – функцией? Приведите пример.

Независимая переменная — это переменная, значение которой можно выбирать произвольно из области определения. Её также называют аргументом функции.
Зависимая переменная — это переменная, значение которой определяется значением независимой переменной в соответствии с правилом функции. Её также называют значением функции или просто функцией.
Пример: В функции $y = x^2 + 5$, переменная x является независимой переменной (аргументом), а переменная y — зависимой переменной (функцией), так как её значение полностью зависит от выбранного значения x.

Ответ: Независимая переменная (аргумент) – та, значение которой выбирается произвольно. Зависимая переменная (функция) – та, значение которой определяется значением аргумента. Пример: в $y=2x$, $x$ – аргумент, $y$ – функция.

3. Что такое область определения функции? Что вы понимаете под областью значений функции?

Область определения функции (обозначается $D(f)$) — это множество всех допустимых значений, которые может принимать аргумент (независимая переменная x).
Область значений функции (обозначается $E(f)$) — это множество всех значений, которые принимает функция (зависимая переменная y) при всех возможных значениях аргумента из области определения.

Ответ: Область определения – все допустимые значения аргумента. Область значений – все значения, которые принимает функция.

4. При каких условиях считается, что функция задана? Приведите пример.

Функция считается заданной, если указаны:
1. Область определения функции.
2. Правило (закон), по которому для каждого значения аргумента из области определения можно найти соответствующее ему единственное значение функции.
Способы задания функции могут быть различными: аналитический (с помощью формулы), табличный, графический или словесный.
Пример: Функция задана аналитически формулой $y = \sqrt{x}$. Здесь неявно указана и область определения (все $x \ge 0$), и правило нахождения y.

Ответ: Функция задана, если указана ее область определения и правило, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие значение функции. Пример: функция $y=3x-1$.

5. Если область определения специально не указана, то что берется в качестве области определения функции? Приведите пример.

Если область определения функции, заданной аналитически (формулой), не указана, то в качестве неё берётся естественная область определения. Это множество всех значений аргумента, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл (т.е. выполнимы все математические операции).
Пример: Для функции $f(x) = \frac{1}{x-5}$ естественная область определения — это все действительные числа, кроме $x=5$, так как при $x=5$ знаменатель обращается в ноль, и деление на ноль невозможно. Записывается как $x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: В качестве области определения берется множество всех значений аргумента, для которых выражение, задающее функцию, имеет смысл (естественная область определения). Пример: для $y = \frac{1}{x}$ область определения – все числа, кроме 0.

ПЗ

1) Задайте пройденный велосипедистом путь S м как функцию, зависящую от времени t с, и определите область определения этой функции.

Движение велосипедиста состоит из двух этапов. Зададим путь $S$ (в метрах) как функцию времени $t$ (в секундах), отсчитываемого от старта в 15:00.

Этап 1: Разгон ($0 \le t \le 15$ с).
Велосипедист проезжает 100 м за 15 с. Предположим, что движение было равноускоренным. Для движения с места с постоянным ускорением путь описывается формулой $S(t) = kt^2$. Найдем коэффициент $k$, зная, что при $t=15$ с, $S=100$ м:
$100 = k \cdot (15)^2 \implies 100 = 225k \implies k = \frac{100}{225} = \frac{4}{9}$.
Таким образом, для $0 \le t \le 15$, функция имеет вид: $S(t) = \frac{4}{9}t^2$.

Этап 2: Равномерное движение ($t > 15$ с).
К моменту времени $t=15$ с велосипедист проехал 100 м. Далее он движется с постоянной скоростью $v = 5$ м/с. Время движения на этом этапе составляет $(t-15)$ секунд. Дополнительный путь, пройденный на этом этапе: $5 \cdot (t - 15)$.
Общий путь от старта равен сумме пути за первые 15 секунд и пути, пройденного после них:
$S(t) = 100 + 5(t - 15) = 100 + 5t - 75 = 5t + 25$.

Итоговая кусочно-заданная функция:
$S(t) = \begin{cases} \frac{4}{9}t^2, & \text{если } 0 \le t \le 15 \\ 5t + 25, & \text{если } t > 15 \end{cases}$

Область определения функции — это все неотрицательные значения времени, то есть $t \ge 0$.

Ответ: Функция: $S(t) = \begin{cases} \frac{4}{9}t^2, & \text{если } 0 \le t \le 15 \\ 5t + 25, & \text{если } t > 15 \end{cases}$. Область определения: $D(S) = [0, +\infty)$.

2) Какой путь пройдет велосипедист: а) в 15 ч 15 мин 15 с; б) за 1 ч?

а) Время 15 ч 15 мин 15 с означает, что с момента старта (15:00:00) прошло 15 минут и 15 секунд. Переведем это время в секунды:
$t = 15 \text{ мин} \cdot 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} + 15 \text{ с} = 900 + 15 = 915$ с.
Так как $915 > 15$, используем вторую формулу: $S(t) = 5t + 25$.
$S(915) = 5 \cdot 915 + 25 = 4575 + 25 = 4600$ м.

б) Найдем путь за 1 час. Переведем 1 час в секунды:
$t = 1 \text{ ч} = 3600$ с.
Так как $3600 > 15$, используем вторую формулу: $S(t) = 5t + 25$.
$S(3600) = 5 \cdot 3600 + 25 = 18000 + 25 = 18025$ м.

Ответ: а) 4600 м (4 км 600 м); б) 18025 м (18 км 25 м).

3) За какое время велосипедист пройдет путь 1 км 100 м?

Требуется найти время $t$, за которое будет пройден путь $S = 1 \text{ км} 100 \text{ м} = 1100$ м.
Поскольку $1100 \text{ м} > 100 \text{ м}$ (путь, пройденный за первые 15 с), искомое время $t > 15$ с. Используем вторую формулу: $S(t) = 5t + 25$.
$1100 = 5t + 25$
$5t = 1100 - 25$
$5t = 1075$
$t = \frac{1075}{5} = 215$ с.
Переведем в минуты и секунды: $215 \text{ с} = 3 \text{ мин} \ 35$ с.

Ответ: За 3 минуты 35 секунд.

4) В котором часу он преодолеет рубеж в 5 км?

Требуется найти время $t$, за которое будет пройден путь $S = 5 \text{ км} = 5000$ м.
Так как $5000 > 100$, используем вторую формулу: $S(t) = 5t + 25$.
$5000 = 5t + 25$
$5t = 5000 - 25$
$5t = 4975$
$t = \frac{4975}{5} = 995$ с.
Это время, прошедшее с момента старта. Переведем его в минуты и секунды: $995 \text{ с} = 16 \text{ мин} \ 35$ с.
Велосипедист стартовал в 15:00:00. Чтобы найти время на часах, прибавим полученное время к времени старта:
15 ч 00 мин 00 с + 16 мин 35 с = 15 ч 16 мин 35 с.

Ответ: В 15 часов 16 минут 35 секунд.