Номер 3.69, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.69. Может ли график линейной функции располагаться только:

1) в I и III координатных четвертях;

2) во II и IV координатных четвертях;

3) в I и II координатных четвертях;

4) в III и IV координатных четвертях;

5) в I и IV координатных четвертях;

6) во II и III координатных четвертях?

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия. Рассмотрим каждый случай расположения такой прямой на координатной плоскости, которая разделена на четыре четверти (квадранта): I ($x>0, y>0$), II ($x<0, y>0$), III ($x<0, y<0$) и IV ($x>0, y<0$).

1) в I и III координатных четвертях;

Да, может. Если график линейной функции проходит через начало координат (точка $(0,0)$), то свободный член $b$ в уравнении $y = kx + b$ равен нулю. Уравнение принимает вид $y = kx$. Если при этом угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$), то при $x > 0$ будет $y > 0$ (I четверть), а при $x < 0$ будет $y < 0$ (III четверть). Таким образом, график будет расположен исключительно в I и III четвертях. Пример такой функции: $y = 2x$.

Ответ: Да.

2) во II и IV координатных четвертях;

Да, может. Аналогично предыдущему пункту, график должен проходить через начало координат ($b=0$), но угловой коэффициент должен быть отрицательным ($k < 0$). Уравнение функции: $y=kx$, где $k<0$. В этом случае, если $x < 0$, то $y > 0$ (II четверть), а если $x > 0$, то $y < 0$ (IV четверть). Пример такой функции: $y = -x$.

Ответ: Да.

3) в I и II координатных четвертях;

Да, может. Если прямая параллельна оси абсцисс ($Ox$) и расположена выше неё, то все её точки будут иметь положительную ординату ($y>0$). Это соответствует линейной функции $y=kx+b$ при $k=0$ и $b>0$. Уравнение такой функции — $y=b$, где $b>0$. Например, график функции $y=3$ целиком лежит в I и II четвертях.

Ответ: Да.

4) в III и IV координатных четвертях;

Да, может. Если прямая параллельна оси $Ox$ и расположена ниже неё, то все её точки будут иметь отрицательную ординату ($y<0$). Это соответствует линейной функции $y=kx+b$ при $k=0$ и $b<0$. Уравнение такой функции — $y=b$, где $b<0$. Например, график функции $y=-4$ целиком лежит в III и IV четвертях.

Ответ: Да.

5) в I и IV координатных четвертях;

Нет, не может. Чтобы график располагался только в I и IV четвертях, все его точки должны иметь положительную абсциссу ($x > 0$). Этому условию удовлетворяет только вертикальная прямая вида $x=c$ (где $c>0$). Однако вертикальная прямая не является графиком функции вида $y=f(x)$, так как одному значению $x$ соответствует бесконечное множество значений $y$. Область определения любой линейной функции $y=kx+b$ — это все действительные числа, поэтому её график не может быть ограничен только правой полуплоскостью ($x>0$).

Ответ: Нет.

6) во II и III координатных четвертях?

Нет, не может. Чтобы график располагался только во II и III четвертях, все его точки должны иметь отрицательную абсциссу ($x < 0$). Этому соответствует вертикальная прямая $x=c$ (где $c<0$), которая не является графиком линейной функции по тем же причинам, что и в предыдущем пункте. График линейной функции $y=kx+b$ всегда определен для всех $x$, а значит, не может находиться только в левой полуплоскости ($x<0$).

Ответ: Нет.