Номер 3.73, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.73. Проверьте результаты упражнения 3.72, находя точки пересечения графиков данных линейных функций аналитическим способом.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух линейных функций аналитическим способом, необходимо решить систему, состоящую из уравнений этих функций. Для этого приравнивают выражения для $y$ и решают полученное уравнение относительно $x$. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, находят соответствующее значение $y$.

Так как в задании требуется проверить результаты упражнения 3.72, ниже будут решены типичные примеры, которые могли быть в том упражнении.

а) $y = 2x + 1$ и $y = -x + 4$

Приравниваем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ должны быть одинаковыми:

$2x + 1 = -x + 4$

Переносим слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x + x = 4 - 1$

$3x = 3$

Находим значение $x$:

$x = \frac{3}{3} = 1$

Теперь подставляем найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:

$y = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$

Для проверки можно подставить $x=1$ и во второе уравнение:

$y = -(1) + 4 = -1 + 4 = 3$

Результаты совпадают. Координаты точки пересечения — $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$.

б) $y = 3x - 2$ и $y = 3x + 5$

Приравниваем правые части уравнений:

$3x - 2 = 3x + 5$

Переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:

$3x - 3x = 5 + 2$

$0 \cdot x = 7$

Получилось неверное равенство $0 = 7$, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что система уравнений не имеет решений. Графики данных функций являются параллельными прямыми (угловые коэффициенты равны: $k_1=k_2=3$), которые не пересекаются.

Ответ: точек пересечения нет.

в) $y = \frac{1}{2}x - 1$ и $y = -2x + 9$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{1}{2}x - 1 = -2x + 9$

Переносим слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$\frac{1}{2}x + 2x = 9 + 1$

Приводим подобные слагаемые в левой части:

$\frac{1}{2}x + \frac{4}{2}x = 10$

$\frac{5}{2}x = 10$

Находим $x$:

$x = 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{5} = 4$

Подставляем $x=4$ в любое из уравнений для нахождения $y$. Удобнее использовать второе уравнение:

$y = -2(4) + 9 = -8 + 9 = 1$

Координаты точки пересечения — $(4; 1)$.

Ответ: $(4; 1)$.

г) $y = 4$ и $y = -x + 6$

Приравниваем правые части уравнений:

$4 = -x + 6$

Решаем полученное уравнение относительно $x$:

$x = 6 - 4$

$x = 2$

Значение $y$ уже известно из первого уравнения: $y = 4$.

Таким образом, координаты точки пересечения — $(2; 4)$.

Ответ: $(2; 4)$.