Номер 3.72, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.72. Найдите точки пересечения прямых, предварительно построив графики указанных линейных функций:

1) $y = 2x - 3$ и $y = -\frac{1}{2}x$;

2) $y = 1,5x + 2$ и $y = -2x - 5$;

3) $y = 0,5x$ и $y = -0,3x + 3,2$;

4) $y = -\frac{4}{3}x + 2$ и $y = 3x - 11$.

1)

Даны две линейные функции: $y = 2x - 3$ и $y = -\frac{1}{2}x$.
Для построения графика каждой функции (прямой) найдем координаты двух точек.

Для прямой $y = 2x - 3$:
- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.

Для прямой $y = -\frac{1}{2}x$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
- при $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. Точка $(2; -1)$.

Теперь найдем точку пересечения аналитически. В точке пересечения значения $y$ равны, поэтому приравняем правые части уравнений: $2x - 3 = -\frac{1}{2}x$

Решим уравнение относительно $x$:
$2x + \frac{1}{2}x = 3$
$\frac{4}{2}x + \frac{1}{2}x = 3$
$\frac{5}{2}x = 3$
$x = 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$

Подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение:
$y = -\frac{1}{2}x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{6}{10} = -0.6$

Координаты точки пересечения: $(1.2; -0.6)$.

Ответ: $(1.2; -0.6)$.

2)

Даны две линейные функции: $y = 1.5x + 2$ и $y = -2x - 5$.
Для построения графика каждой функции найдем координаты двух точек.

Для прямой $y = 1.5x + 2$:
- при $x = 0$, $y = 1.5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
- при $x = -2$, $y = 1.5 \cdot (-2) + 2 = -3 + 2 = -1$. Точка $(-2; -1)$.

Для прямой $y = -2x - 5$:
- при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
- при $x = -2$, $y = -2 \cdot (-2) - 5 = 4 - 5 = -1$. Точка $(-2; -1)$.

Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений: $1.5x + 2 = -2x - 5$

Решим уравнение относительно $x$:
$1.5x + 2x = -5 - 2$
$3.5x = -7$
$x = \frac{-7}{3.5} = -2$

Подставим $x = -2$ в любое из уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:
$y = 1.5 \cdot (-2) + 2 = -3 + 2 = -1$

Координаты точки пересечения: $(-2; -1)$.

Ответ: $(-2; -1)$.

3)

Даны две линейные функции: $y = 0.5x$ и $y = -0.3x + 3.2$.
Для построения графика каждой функции найдем координаты двух точек.

Для прямой $y = 0.5x$:
- при $x = 0$, $y = 0.5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
- при $x = 4$, $y = 0.5 \cdot 4 = 2$. Точка $(4; 2)$.

Для прямой $y = -0.3x + 3.2$:
- при $x = 0$, $y = -0.3 \cdot 0 + 3.2 = 3.2$. Точка $(0; 3.2)$.
- при $x = 4$, $y = -0.3 \cdot 4 + 3.2 = -1.2 + 3.2 = 2$. Точка $(4; 2)$.

Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений: $0.5x = -0.3x + 3.2$

Решим уравнение относительно $x$:
$0.5x + 0.3x = 3.2$
$0.8x = 3.2$
$x = \frac{3.2}{0.8} = 4$

Подставим $x = 4$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 0.5 \cdot 4 = 2$

Координаты точки пересечения: $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$.

4)

Даны две линейные функции: $y = -\frac{4}{3}x + 2$ и $y = 3x - 11$.
Для построения графика каждой функции найдем координаты двух точек.

Для прямой $y = -\frac{4}{3}x + 2$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{4}{3} \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
- при $x = 3$, $y = -\frac{4}{3} \cdot 3 + 2 = -4 + 2 = -2$. Точка $(3; -2)$.

Для прямой $y = 3x - 11$:
- при $x = 3$, $y = 3 \cdot 3 - 11 = 9 - 11 = -2$. Точка $(3; -2)$.
- при $x = 4$, $y = 3 \cdot 4 - 11 = 12 - 11 = 1$. Точка $(4; 1)$.

Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений: $-\frac{4}{3}x + 2 = 3x - 11$

Решим уравнение относительно $x$:
$2 + 11 = 3x + \frac{4}{3}x$
$13 = \frac{9}{3}x + \frac{4}{3}x$
$13 = \frac{13}{3}x$
$x = 13 \cdot \frac{3}{13} = 3$

Подставим $x = 3$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 3 \cdot 3 - 11 = 9 - 11 = -2$

Координаты точки пересечения: $(3; -2)$.

Ответ: $(3; -2)$.