Номер 3.80, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.80. Постройте график функции $y = \frac{4}{3}x - 1$. По графику найдите координату точки, лежащей на этой прямой. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной прямой. Найдите угловой коэффициент перпендикулярной прямой и его свободный член.

Построение графика функции и нахождение координат точки

Данная функция $y = \frac{4}{3}x - 1$ является линейной, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Y). Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = \frac{4}{3} \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$

Получаем первую точку с координатами A$(0, -1)$.

2. Найдем вторую точку. Для удобства вычислений выберем значение $x$, кратное знаменателю дроби, например, $x=3$:

$y = \frac{4}{3} \cdot 3 - 1 = 4 - 1 = 3$

Получаем вторую точку с координатами B$(3, 3)$.

Отметив точки A$(0, -1)$ и B$(3, 3)$ на координатной плоскости и проведя через них прямую, мы получим график заданной функции. В качестве точки, лежащей на этой прямой, выберем точку B.

Ответ: Координаты точки, лежащей на данной прямой — $(3, 3)$.

Нахождение углового коэффициента и свободного члена перпендикулярной прямой

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (координата пересечения с осью Y).

Для нашей исходной прямой $y = \frac{4}{3}x - 1$ угловой коэффициент $k_1 = \frac{4}{3}$.

Условие перпендикулярности двух прямых гласит, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:

$k_1 \cdot k_2 = -1$

Найдем угловой коэффициент $k_2$ перпендикулярной прямой:

$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$

Теперь уравнение перпендикулярной прямой имеет вид $y = -\frac{3}{4}x + b_2$.

Чтобы найти свободный член $b_2$, мы используем тот факт, что эта прямая проходит через выбранную нами точку $(3, 3)$. Подставим координаты этой точки в уравнение:

$3 = -\frac{3}{4} \cdot 3 + b_2$

$3 = -\frac{9}{4} + b_2$

Теперь выразим $b_2$:

$b_2 = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12}{4} + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$

Таким образом, мы нашли угловой коэффициент и свободный член перпендикулярной прямой.

Ответ: Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен $-\frac{3}{4}$, а её свободный член равен $\frac{21}{4}$.