Страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называется линейным уравнением с двумя переменными?

2. Что такое график линейного уравнения с двумя переменными? Какая эта линия?

3. Какова связь между линейным уравнением и линейной функцией? Как записывается линейное уравнение $ax + by = c$ в виде линейной функции? Каким должен быть $b$?

4. Что называется системой линейных уравнений с двумя переменными?

5. Каков смысл графического метода решения системы уравнений?

6. При каких условиях система уравнений $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решения;

в) имеет бесконечно много решений?

Разъясните геометрический смысл этих условий.

ПЗ

1) По рисунку 3.30 напишите уравнения прямых $m, n$ и $k$ и запишите их в виде линейного уравнения.

2) Определите координаты точек $C$ и $D$.

3) С помощью полученных трех линейных уравнений составьте попарно всевозможные системы линейных уравнений. Среди них укажите системы, имеющие единственное решение, и систему, не имеющую решения.

4) Можно ли составить систему, имеющую бесконечно много решений, с помощью указанных уравнений? Чему равно количество подобных систем, если можно составить такую схему?

(Целесообразно выполнить задания в группе.)

Рис. 3.30

1. Что называется линейным уравнением с двумя переменными?

Линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты). При этом хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не должен быть равен нулю.

Ответ: Уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a, b, c$ — числа, причем $a$ или $b$ не равно нулю.

2. Что такое график линейного уравнения с двумя переменными? Какая эта линия?

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решением этого уравнения. Графиком любого линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия.

Ответ: Множество всех точек на плоскости, чьи координаты удовлетворяют уравнению. Эта линия — прямая.

3. Какова связь между линейным уравнением и линейной функцией? Как записывается линейное уравнение ax + by = c в виде линейной функции? Каким должен быть b?

Линейная функция вида $y = kx + m$ является частным случаем линейного уравнения. Чтобы преобразовать линейное уравнение $ax + by = c$ в линейную функцию, необходимо выразить переменную $y$ через $x$:
$by = -ax + c$
$y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$
Это преобразование возможно только в том случае, если коэффициент $b$ не равен нулю ($b \neq 0$). Если $b=0$, то уравнение принимает вид $ax = c$, его графиком является вертикальная прямая (при $a \neq 0$), которая не является графиком функции.

Ответ: Линейная функция является частным случаем линейного уравнения. Уравнение $ax + by = c$ записывается как $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$ при условии, что $b \neq 0$.

4. Что называется системой линейных уравнений с двумя переменными?

Системой линейных уравнений с двумя переменными называется совокупность двух или более линейных уравнений, для которых требуется найти общее решение. Общим решением системы является пара значений переменных ($x, y$), которая одновременно удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ: Два или более линейных уравнения с одними и теми же переменными, для которых ищется общее решение.

5. Каков смысл графического метода решения системы уравнений?

Смысл графического метода заключается в том, чтобы построить на одной координатной плоскости графики всех уравнений, входящих в систему. Каждая точка на графике уравнения является его решением. Следовательно, координаты точки (или точек) пересечения этих графиков являются общим решением для всех уравнений, то есть решением системы.

Ответ: Найти координаты точек пересечения графиков уравнений системы.

6. При каких условиях система уравнений {a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂}: а) имеет единственное решение; б) не имеет решения; в) имеет бесконечно много решений? Разъясните геометрический смысл этих условий.

Каждое уравнение в системе представляет собой прямую на плоскости. Взаимное расположение этих прямых определяет количество решений системы.

а) имеет единственное решение:
Это происходит, когда прямые пересекаются в одной точке. Условие: угловые коэффициенты прямых различны. В терминах коэффициентов уравнений это означает, что их отношение не равно: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
Геометрический смысл: прямые пересекаются.

б) не имеет решения:
Это происходит, когда прямые параллельны, но не совпадают. Условие: угловые коэффициенты равны, а сдвиги по оси Y различны. В терминах коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Геометрический смысл: прямые параллельны и не совпадают.

в) имеет бесконечно много решений:
Это происходит, когда прямые совпадают, то есть представляют собой одну и ту же линию. Условие: все коэффициенты пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Геометрический смысл: прямые совпадают.

Ответ: а) Единственное решение, если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (прямые пересекаются). б) Нет решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (прямые параллельны). в) Бесконечно много решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (прямые совпадают).

1) По рисунку 3.30 напишите уравнения прямых m, n и k и запишите их в виде линейного уравнения.

Для нахождения уравнений определим ключевые точки на графике.
Прямая n: Это вертикальная прямая, проходящая через $x = -1.5$. Ее уравнение $x = -1.5$. В виде линейного уравнения: $2x + 0y = -3$.
Прямая k: Прямая проходит через точки C(-1.5, 0) и D(1.5, 2). Ее угловой коэффициент $k_k = \frac{2 - 0}{1.5 - (-1.5)} = \frac{2}{3}$. Уравнение в виде функции: $y = \frac{2}{3}x + 1$. В виде линейного уравнения: $-2x + 3y = 3$.
Прямая m: Прямая проходит через точку D(1.5, 2) и точку пересечения с прямой n, которая имеет координаты (-1.5, 4). Ее угловой коэффициент $k_m = \frac{2 - 4}{1.5 - (-1.5)} = \frac{-2}{3}$. Уравнение в виде функции: $y = -\frac{2}{3}x + 3$. В виде линейного уравнения: $2x + 3y = 9$.

Ответ:
Прямая m: $2x + 3y = 9$
Прямая n: $2x + 0y = -3$
Прямая k: $-2x + 3y = 3$

2) Определите координаты точек C и D.

Точки C и D являются точками пересечения прямых на графике.
Точка C: является точкой пересечения прямых n и k. Найдем ее, решив систему уравнений для этих прямых: $\begin{cases} x = -1.5 \\ y = \frac{2}{3}x + 1 \end{cases}$. Подставляя $x$, получаем $y = \frac{2}{3}(-1.5) + 1 = -1 + 1 = 0$. Таким образом, координаты C(-1.5, 0).
Точка D: является точкой пересечения прямых m и k. Координаты этой точки видны на графике как (1.5, 2). Проверим, удовлетворяет ли эта точка обоим уравнениям: Для m: $2(1.5) + 3(2) = 3 + 6 = 9$. Верно.
Для k: $-2(1.5) + 3(2) = -3 + 6 = 3$. Верно.
Таким образом, координаты D(1.5, 2).

Ответ: C(-1.5, 0), D(1.5, 2).

3) С помощью полученных трех линейных уравнений составьте попарно всевозможные системы линейных уравнений. Среди них укажите системы, имеющие единственное решение, и систему, не имеющую решения.

Из трех уравнений можно составить три уникальные системы:
Система 1 (m и n): $\begin{cases} 2x + 3y = 9 \\ 2x = -3 \end{cases}$. Угловые коэффициенты прямых различны ($k_m = -2/3$, а прямая n вертикальна), поэтому прямые пересекаются. Система имеет единственное решение (-1.5, 4).
Система 2 (n и k): $\begin{cases} 2x = -3 \\ -2x + 3y = 3 \end{cases}$. Угловые коэффициенты различны ($k_k = 2/3$, а прямая n вертикальна), прямые пересекаются. Система имеет единственное решение C(-1.5, 0).
Система 3 (m и k): $\begin{cases} 2x + 3y = 9 \\ -2x + 3y = 3 \end{cases}$. Угловые коэффициенты различны ($k_m = -2/3$, $k_k = 2/3$), прямые пересекаются. Система имеет единственное решение D(1.5, 2).
Система, не имеющая решения: Такая система соответствует паре параллельных, но не совпадающих прямых. Для этого их угловые коэффициенты должны быть равны. У наших прямых угловые коэффициенты $k_m = -2/3$, $k_k = 2/3$, а у прямой n он не определён (вертикальная линия). Все три прямые имеют разный наклон, следовательно, все они попарно пересекаются. Составить из них систему, не имеющую решений, невозможно.

Ответ: Системы, имеющие единственное решение: {m, n}, {n, k}, {m, k}. Систему, не имеющую решения, из данных уравнений составить нельзя.

4) Можно ли составить систему, имеющую бесконечно много решений, с помощью указанных уравнений? Чему равно количество подобных систем, если можно составить такую схему?

Система имеет бесконечно много решений, если уравнения в ней описывают одну и ту же прямую (т.е. прямые совпадают). Для этого уравнения должны быть эквивалентны (одно можно получить из другого умножением на ненулевое число).
Уравнения прямых m, n, и k: $2x + 3y = 9$, $2x = -3$, $-2x + 3y = 3$.
Все три уравнения описывают различные прямые. Никакие две из них не совпадают. Следовательно, составить из них систему, имеющую бесконечно много решений, невозможно.
Количество таких систем равно нулю.

Ответ: Нет, нельзя. Количество таких систем равно 0.