Страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.87. Сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} y = 2x, \\ x - y = 3 \end{cases}$?

Какая из указанных пар чисел является решением этой системы:

1) $x = 1, y = 2$; 2) $x = 3, y = 0$; 3) $x = -3, y = -6$?

Проверьте это графическим способом.

Чтобы определить, сколько решений имеет система уравнений, решим ее аналитически.
Система: $ \begin{cases} y = 2x \\ x - y = 3 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:
$x - (2x) = 3$
$-x = 3$
$x = -3$

Теперь найдем y, подставив значение x в первое уравнение:
$y = 2 \cdot (-3) = -6$

Так как найдена единственная пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая обоим уравнениям, система имеет одно решение.
Также это можно было определить по угловым коэффициентам графиков функций: $y=2x$ (угловой коэффициент $k_1=2$) и $y=x-3$ (угловой коэффициент $k_2=1$). Поскольку $k_1 \ne k_2$, прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: система имеет одно решение.

Теперь проверим, какая из указанных пар чисел является решением системы.

1) $x = 1, y = 2;$

Подставим значения в уравнения:
Для $y = 2x$: $2 = 2 \cdot 1 \implies 2 = 2$ (Верно).
Для $x - y = 3$: $1 - 2 = 3 \implies -1 = 3$ (Неверно).
Так как пара чисел не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением.

Ответ: не является решением.

2) $x = 3, y = 0;$

Подставим значения в уравнения:
Для $y = 2x$: $0 = 2 \cdot 3 \implies 0 = 6$ (Неверно).
Так как пара чисел не удовлетворяет уже первому уравнению, она не является решением.

Ответ: не является решением.

3) $x = -3, y = -6?$

Подставим значения в уравнения:
Для $y = 2x$: $-6 = 2 \cdot (-3) \implies -6 = -6$ (Верно).
Для $x - y = 3$: $(-3) - (-6) = 3 \implies -3 + 6 = 3 \implies 3 = 3$ (Верно).
Так как пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.

Ответ: является решением.

Выполним проверку графическим способом. Для этого построим графики уравнений $y=2x$ и $x-y=3$ (или $y=x-3$). Решением системы является точка пересечения этих графиков.

- График $y=2x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, 2).
- График $y=x-3$ — это прямая, проходящая через точки (0, -3) и (3, 0).

При построении на координатной плоскости видно, что прямые пересекаются в точке $(-3, -6)$. Эта точка и является решением.
- Пара $(1; 2)$ лежит на первой прямой, но не на второй.
- Пара $(3; 0)$ лежит на второй прямой, но не на первой.
- Пара $(-3; -6)$ лежит на обеих прямых, так как $-6 = 2(-3)$ и $-6 = -3-3$, значит, это и есть решение.

Ответ: графический способ подтверждает, что решением является пара $x = -3, y = -6$.

3.88. Запишите линейные уравнения в виде линейной функции $y = kx + b$:

1) $x + y = 2;$

2) $-2x + y = -3;$

3) $2x - 3y = 4;$

4) $7x - 2y = 10;$

5) $x + 2y = -2;$

6) $3,5x + 2y = 15.$

1) Дано линейное уравнение $x + y = 2$.

Чтобы записать его в виде линейной функции $y = kx + b$, нужно выразить переменную $y$. Для этого перенесем $x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$y = 2 - x$

Для соответствия стандартному виду $y = kx + b$ поменяем местами слагаемые в правой части:

$y = -x + 2$

Ответ: $y = -x + 2$

2) Дано линейное уравнение $-2x + y = -3$.

Выразим переменную $y$, перенеся $-2x$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$y = -3 + 2x$

Запишем в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = 2x - 3$

Ответ: $y = 2x - 3$

3) Дано линейное уравнение $2x - 3y = 4$.

Сначала оставим в левой части только слагаемое с $y$. Для этого перенесем $2x$ в правую часть:

$-3y = 4 - 2x$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $-3$:

$y = \frac{4 - 2x}{-3}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$y = \frac{4}{-3} + \frac{-2x}{-3}$

$y = -\frac{4}{3} + \frac{2}{3}x$

Запишем в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

Ответ: $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

4) Дано линейное уравнение $7x - 2y = 10$.

Перенесем $7x$ в правую часть уравнения:

$-2y = 10 - 7x$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$y = \frac{10 - 7x}{-2}$

$y = \frac{10}{-2} + \frac{-7x}{-2}$

$y = -5 + \frac{7}{2}x$

Запишем в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = \frac{7}{2}x - 5$ (или $y = 3.5x - 5$)

Ответ: $y = \frac{7}{2}x - 5$

5) Дано линейное уравнение $x + 2y = -2$.

Перенесем $x$ в правую часть уравнения:

$2y = -2 - x$

Разделим обе части уравнения на $2$:

$y = \frac{-2 - x}{2}$

$y = \frac{-2}{2} - \frac{x}{2}$

$y = -1 - \frac{1}{2}x$

Запишем в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = -\frac{1}{2}x - 1$

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x - 1$

6) Дано линейное уравнение $3,5x + 2y = 15$.

Перенесем $3,5x$ в правую часть уравнения:

$2y = 15 - 3,5x$

Разделим обе части уравнения на $2$:

$y = \frac{15 - 3,5x}{2}$

$y = \frac{15}{2} - \frac{3,5}{2}x$

$y = 7,5 - 1,75x$

Запишем в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = -1,75x + 7,5$

Можно также представить коэффициенты в виде обыкновенных дробей: $1,75 = \frac{7}{4}$ и $7,5 = \frac{15}{2}$.

$y = -\frac{7}{4}x + \frac{15}{2}$

Ответ: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{15}{2}$

3.89. Запишите линейную функцию в виде линейного уравнения:

1) $y = -3.5x + 6;$

2) $y = -1.5x + \frac{3}{4};$

3) $y = \frac{1}{3}x + 4;$

4) $y = 2x;$

5) $y = 3;$

6) $y = \frac{5}{2}x - \frac{8}{3}.$

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными: $ax + by + c = 0$. Чтобы привести заданные линейные функции к этому виду, необходимо перенести все члены в одну часть уравнения.

1) Дана функция $y = -3,5x + 6$.

Перенесем все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$y + 3,5x - 6 = 0$

Запишем слагаемые в стандартном порядке ($x$, затем $y$, затем свободный член):

$3,5x + y - 6 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в коэффициенте при $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (3,5x + y - 6) = 2 \cdot 0$

$7x + 2y - 12 = 0$

Ответ: $7x + 2y - 12 = 0$.

2) Дана функция $y = -1,5x + \frac{3}{4}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$1,5x + y - \frac{3}{4} = 0$

Представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$:

$\frac{3}{2}x + y - \frac{3}{4} = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (2 и 4), то есть на 4:

$4 \cdot (\frac{3}{2}x + y - \frac{3}{4}) = 4 \cdot 0$

$4 \cdot \frac{3}{2}x + 4 \cdot y - 4 \cdot \frac{3}{4} = 0$

$6x + 4y - 3 = 0$

Ответ: $6x + 4y - 3 = 0$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{3}x + 4$.

Перенесем все члены в левую часть:

$y - \frac{1}{3}x - 4 = 0$

Запишем в стандартном порядке:

$-\frac{1}{3}x + y - 4 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (-\frac{1}{3}x + y - 4) = 3 \cdot 0$

$-x + 3y - 12 = 0$

Для удобства можно сделать коэффициент при $x$ положительным, умножив все уравнение на -1:

$x - 3y + 12 = 0$

Ответ: $x - 3y + 12 = 0$.

4) Дана функция $y = 2x$.

Перенесем $y$ в правую часть уравнения:

$0 = 2x - y$

Запишем в стандартном виде:

$2x - y = 0$

Ответ: $2x - y = 0$.

5) Дана функция $y = 3$.

Перенесем 3 в левую часть уравнения:

$y - 3 = 0$

Это линейное уравнение, где коэффициент при $x$ равен 0.

Ответ: $y - 3 = 0$.

6) Дана функция $y = \frac{5}{2}x - \frac{8}{3}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$y - \frac{5}{2}x + \frac{8}{3} = 0$

Запишем в стандартном порядке:

$-\frac{5}{2}x + y + \frac{8}{3} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (2 и 3), то есть на 6:

$6 \cdot (-\frac{5}{2}x + y + \frac{8}{3}) = 6 \cdot 0$

$6 \cdot (-\frac{5}{2})x + 6 \cdot y + 6 \cdot \frac{8}{3} = 0$

$-15x + 6y + 16 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x$ стал положительным:

$15x - 6y - 16 = 0$

Ответ: $15x - 6y - 16 = 0$.