Номер 3.87, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.87. Сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} y = 2x, \\ x - y = 3 \end{cases}$?

Какая из указанных пар чисел является решением этой системы:

1) $x = 1, y = 2$; 2) $x = 3, y = 0$; 3) $x = -3, y = -6$?

Проверьте это графическим способом.

Чтобы определить, сколько решений имеет система уравнений, решим ее аналитически.
Система: $ \begin{cases} y = 2x \\ x - y = 3 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:
$x - (2x) = 3$
$-x = 3$
$x = -3$

Теперь найдем y, подставив значение x в первое уравнение:
$y = 2 \cdot (-3) = -6$

Так как найдена единственная пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая обоим уравнениям, система имеет одно решение.
Также это можно было определить по угловым коэффициентам графиков функций: $y=2x$ (угловой коэффициент $k_1=2$) и $y=x-3$ (угловой коэффициент $k_2=1$). Поскольку $k_1 \ne k_2$, прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: система имеет одно решение.

Теперь проверим, какая из указанных пар чисел является решением системы.

1) $x = 1, y = 2;$

Подставим значения в уравнения:
Для $y = 2x$: $2 = 2 \cdot 1 \implies 2 = 2$ (Верно).
Для $x - y = 3$: $1 - 2 = 3 \implies -1 = 3$ (Неверно).
Так как пара чисел не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением.

Ответ: не является решением.

2) $x = 3, y = 0;$

Подставим значения в уравнения:
Для $y = 2x$: $0 = 2 \cdot 3 \implies 0 = 6$ (Неверно).
Так как пара чисел не удовлетворяет уже первому уравнению, она не является решением.

Ответ: не является решением.

3) $x = -3, y = -6?$

Подставим значения в уравнения:
Для $y = 2x$: $-6 = 2 \cdot (-3) \implies -6 = -6$ (Верно).
Для $x - y = 3$: $(-3) - (-6) = 3 \implies -3 + 6 = 3 \implies 3 = 3$ (Верно).
Так как пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы.

Ответ: является решением.

Выполним проверку графическим способом. Для этого построим графики уравнений $y=2x$ и $x-y=3$ (или $y=x-3$). Решением системы является точка пересечения этих графиков.

- График $y=2x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, 2).
- График $y=x-3$ — это прямая, проходящая через точки (0, -3) и (3, 0).

При построении на координатной плоскости видно, что прямые пересекаются в точке $(-3, -6)$. Эта точка и является решением.
- Пара $(1; 2)$ лежит на первой прямой, но не на второй.
- Пара $(3; 0)$ лежит на второй прямой, но не на первой.
- Пара $(-3; -6)$ лежит на обеих прямых, так как $-6 = 2(-3)$ и $-6 = -3-3$, значит, это и есть решение.

Ответ: графический способ подтверждает, что решением является пара $x = -3, y = -6$.