Страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.116. В одной и той же системе координат постройте графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$, где $x>0$. Пользуясь построенными графиками, сравните числа:

1) $0,5^2$ и $0,5^3$;

2) $1,5^2$ и $1,5^3$.

Для решения задачи необходимо построить и проанализировать графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при условии $x>0$.

1. Построение графиков.
Функция $y=x^2$ является параболой с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Функция $y=x^3$ — кубическая парабола. Поскольку мы рассматриваем область $x>0$, нас интересуют только части графиков, расположенные в первой координатной четверти.

2. Нахождение точек пересечения.
Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для $y$:
$x^2 = x^3$
$x^3 - x^2 = 0$
$x^2(x - 1) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=1$. Так как по условию $x>0$, графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна $x=1$. Ордината этой точки $y = 1^2 = 1^3 = 1$. Точка пересечения — $(1; 1)$.

3. Анализ взаимного расположения графиков.
Точка пересечения $(1; 1)$ делит рассматриваемую область на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(0; 1)$, если взять любое число, например $x=0,5$, то $y=x^2=0,5^2=0,25$, а $y=x^3=0,5^3=0,125$. Поскольку $0,25 > 0,125$, график функции $y=x^2$ на этом интервале лежит выше графика $y=x^3$.
- На интервале $(1; +\infty)$, если взять любое число, например $x=2$, то $y=x^2=2^2=4$, а $y=x^3=2^3=8$. Поскольку $8 > 4$, график функции $y=x^3$ на этом интервале лежит выше графика $y=x^2$.

Теперь, пользуясь этим анализом, сравним заданные числа.

1) 0,5² и 0,5³
Значения $0,5^2$ и $0,5^3$ — это ординаты точек на графиках функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,5$.
Поскольку $x=0,5$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, на котором график $y=x^2$ расположен выше графика $y=x^3$, то значение $0,5^2$ будет больше значения $0,5^3$.
Следовательно, $0,5^2 > 0,5^3$.
Ответ: $0,5^2 > 0,5^3$.

2) 1,5² и 1,5³
Значения $1,5^2$ и $1,5^3$ — это ординаты точек на графиках функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=1,5$.
Поскольку $x=1,5$ принадлежит интервалу $(1; +\infty)$, на котором график $y=x^3$ расположен выше графика $y=x^2$, то значение $1,5^3$ будет больше значения $1,5^2$.
Следовательно, $1,5^2 < 1,5^3$.
Ответ: $1,5^2 < 1,5^3$.

3.117. Постройте график функции $y=-x^2$. Найдите по графику:

1) значения $y$, соответствующие значениям $x$, равным $0,7; -1,3;$

2) значения $x$, которым соответствуют значения $y$, равные $-2; 3$.

Для построения графика функции $y=-x^2$ составим таблицу значений. Это парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вниз.

Построим график функции, используя эти точки, и отметим на нем линии для поиска требуемых значений.

1) значения y, соответствующие значениям x, равным 0,7; -1,3;

Чтобы найти значение $y$ по значению $x$, нужно найти точку на оси абсцисс (оси x), провести от нее вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (оси y). Полученное значение на оси y и будет искомым.

• При $x=0,7$: находим на оси x значение 0,7. Двигаясь вниз до параболы, а затем влево до оси y, видим, что значение $y$ примерно равно -0,5. Для проверки выполним вычисление: $y = -(0,7)^2 = -0,49$.
• При $x=-1,3$: находим на оси x значение -1,3. Двигаясь вниз до параболы, а затем вправо до оси y, видим, что значение $y$ примерно равно -1,7. Для проверки выполним вычисление: $y = -(-1,3)^2 = -(1,69) = -1,69$.

Ответ: при $x=0,7$, $y=-0,49$; при $x=-1,3$, $y=-1,69$. (По графику приблизительные значения $y \approx -0,5$ и $y \approx -1,7$ соответственно).

2) значения x, которым соответствуют значения y, равные -2; 3.

Чтобы найти значение $x$ по значению $y$, нужно найти точку на оси ординат (оси y), провести от нее горизонтальную линию до пересечения с графиком. От точек пересечения провести вертикальные линии до оси абсцисс (оси x). Полученные значения на оси x и будут искомыми.

• При $y=-2$: проводим горизонтальную линию $y=-2$. Она пересекает параболу в двух точках. Опуская перпендикуляры на ось x, получаем значения $x \approx 1,4$ и $x \approx -1,4$. Проверим вычислением: $-2 = -x^2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, наши графические оценки верны.
• При $y=3$: проводим горизонтальную линию $y=3$. Эта линия расположена выше графика функции $y=-x^2$ и не имеет с ним точек пересечения. Это означает, что не существует таких действительных значений $x$, при которых $y$ был бы равен 3. Алгебраически это подтверждается уравнением $3 = -x^2 \implies x^2 = -3$, которое не имеет решений в действительных числах.

Ответ: при $y=-2$, $x=\sqrt{2}$ и $x=-\sqrt{2}$ (или $x \approx \pm 1,4$); при $y=3$ таких значений $x$ не существует.

3.118. Постройте график функции $y=-x^3$. Найдите по графику:

1) значения $y$, соответствующие значениям $x$, равным $0,6$; $-1,5$;

2) значения $x$, которым соответствуют значения $y$, равные $4$; $-3$.

Для построения графика функции $y=-x^3$ составим таблицу значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим график функции $y=-x^3$, который является кубической параболой. График симметричен относительно начала координат и проходит через II и IV координатные четверти. Он убывает на всей области определения.

Теперь найдем значения по графику.

1) значения у, соответствующие значениям х, равным 0,6; -1,5;

Чтобы найти значение $y$ при $x = 0,6$, находим на оси абсцисс (оси $x$) точку 0,6. Из этой точки мысленно проводим вертикальную линию до пересечения с графиком функции. Затем из точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси ординат (оси $y$). Значение на оси $y$ и будет искомым. По графику видно, что это значение немного ниже нуля. Точный расчет дает: $y = -(0,6)^3 = -0,216$.

Аналогично для $x = -1,5$. Находим на оси $x$ точку -1,5, поднимаемся до графика и от точки пересечения движемся горизонтально к оси $y$. По графику видим, что значение $y$ находится между 3 и 4. Точный расчет дает: $y = -(-1,5)^3 = -(-3,375) = 3,375$.

Ответ: при $x=0,6, y \approx -0,2$; при $x=-1,5, y \approx 3,4$.

2) значения х, которым соответствуют значения у, равные 4; -3.

Чтобы найти значение $x$, которому соответствует $y=4$, находим на оси ординат (оси $y$) точку 4. Проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс (ось $x$). По графику видно, что значение $x$ отрицательно и находится между -1,5 и -2. Для более точного значения решим уравнение: $4 = -x^3$, откуда $x^3 = -4$ и $x = \sqrt[3]{-4} \approx -1,59$.

Аналогично для $y = -3$. Находим на оси $y$ точку -3, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком и из точки пересечения поднимаемся до оси $x$. По графику видно, что значение $x$ положительно и находится между 1 и 1,5. Решим уравнение: $-3 = -x^3$, откуда $x^3 = 3$ и $x = \sqrt[3]{3} \approx 1,44$.

Ответ: при $y=4, x \approx -1,6$; при $y=-3, x \approx 1,4$.

3.119. Известно, что точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции:

1) $y=x^2$;

2) $y=x^3$.

Принадлежат ли этому графику точки $B(-a;b)$; $C(a;-b)$; $D(-a;-b)$?

Для решения задачи мы будем использовать тот факт, что если точка с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, то при подстановке ее координат в уравнение функции мы получим верное равенство: $y_0 = f(x_0)$.

По условию, точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции. Это означает, что для данной функции выполняется равенство $b = f(a)$. Мы будем использовать это равенство для проверки принадлежности других точек.

1) y=x²

Поскольку точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции $y=x^2$, выполняется равенство: $b = a^2$.

• Проверим точку $B(-a;b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение функции: $y = (-a)^2 = a^2$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $b = a^2$. По условию это так. Следовательно, точка $B$ принадлежит графику.

• Проверим точку $C(a;-b)$.
  Подставим ее координаты: $y = a^2$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-b = a^2$. Так как мы знаем, что $b = a^2$, то получаем $-a^2 = a^2$. Это равенство верно только если $a=0$ (и, соответственно, $b=0$). В общем случае, если $a \ne 0$, точка $C$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $D(-a;-b)$.
  Подставим ее координаты: $y = (-a)^2 = a^2$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-b = a^2$. Как и в предыдущем пункте, это равенство в общем случае неверно. Следовательно, точка $D$ не принадлежит графику (за исключением случая $a=0, b=0$).

Ответ: Точка $B$ принадлежит графику; точки $C$ и $D$ в общем случае не принадлежат.

2) y=x³

Поскольку точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции $y=x^3$, выполняется равенство: $b = a^3$.

• Проверим точку $B(-a;b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение функции: $y = (-a)^3 = -a^3$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $b = -a^3$. Мы знаем, что $b = a^3$, поэтому получаем $a^3 = -a^3$. Это равенство верно только если $a=0$. В общем случае точка $B$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $C(a;-b)$.
  Подставим ее координаты: $y = a^3$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-b = a^3$. Так как $b = a^3$, получаем $-a^3 = a^3$. Это равенство верно только если $a=0$. В общем случае точка $C$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $D(-a;-b)$.
  Подставим ее координаты: $y = (-a)^3 = -a^3$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-b = -a^3$. Мы знаем, что $b=a^3$, поэтому равенство $-b = -a^3$ является верным для любых $a$. Следовательно, точка $D$ принадлежит графику.

Ответ: Точка $D$ принадлежит графику; точки $B$ и $C$ в общем случае не принадлежат.

3.120. Расположите в порядке возрастания числа $a$, $a^2$ и $a^3$, если:

1) $0 < a < 1$;

2) $a > 1$;

3) $-1 < a < 0$;

4) $a < -1$.

Чтобы расположить числа $a, a^2$ и $a^3$ в порядке возрастания, необходимо рассмотреть четыре случая, в зависимости от значения $a$.

1) $0 < a < 1$
В этом интервале $a$ является положительной правильной дробью. При возведении такой дроби в степень ее значение уменьшается, так как мы умножаем число, меньшее 1, само на себя.
Для примера возьмем $a = \frac{1}{2}$: $a = 0.5$, $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$, $a^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0.125$.
Сравнивая эти значения, получаем $0.125 < 0.25 < 0.5$, то есть $a^3 < a^2 < a$.
В общем виде: так как $0 < a < 1$, то $a$ — положительное число. Умножим неравенство $a < 1$ на $a$: $a \cdot a < 1 \cdot a \implies a^2 < a$. Теперь умножим $a < 1$ на положительное число $a^2$: $a \cdot a^2 < 1 \cdot a^2 \implies a^3 < a^2$.
Объединив неравенства, получаем: $a^3 < a^2 < a$.
Ответ: $a^3, a^2, a$.

2) $a > 1$
Если $a$ больше единицы, то при возведении в степень его значение будет увеличиваться.
Для примера возьмем $a = 2$: $a = 2$, $a^2 = 2^2 = 4$, $a^3 = 2^3 = 8$.
Сравнивая, получаем $2 < 4 < 8$, то есть $a < a^2 < a^3$.
В общем виде: так как $a > 1$, то $a$ — положительное число. Умножим неравенство $a > 1$ на $a$: $a \cdot a > 1 \cdot a \implies a^2 > a$. Теперь умножим $a > 1$ на положительное число $a^2$: $a \cdot a^2 > 1 \cdot a^2 \implies a^3 > a^2$.
Объединив неравенства, получаем: $a < a^2 < a^3$.
Ответ: $a, a^2, a^3$.

3) $-1 < a < 0$
В этом случае $a$ — отрицательное число. Это означает, что $a < 0$, $a^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа положителен), $a^3 < 0$ (куб отрицательного числа отрицателен). Таким образом, $a^2$ является наибольшим из трех чисел.
Осталось сравнить отрицательные числа $a$ и $a^3$. Возьмем для примера $a = -\frac{1}{2}$: $a = -0.5$, $a^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8} = -0.125$.
Так как $-0.5 < -0.125$, то $a < a^3$.
В общем виде: рассмотрим разность $a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a-1)(a+1)$.
На интервале $-1 < a < 0$: множитель $a$ отрицателен; множитель $(a-1)$ отрицателен; множитель $(a+1)$ положителен. Произведение двух отрицательных и одного положительного числа положительно, значит $a^3 - a > 0$, откуда $a^3 > a$.
Объединив неравенства, получаем: $a < a^3 < a^2$.
Ответ: $a, a^3, a^2$.

4) $a < -1$
В этом случае $a$ также отрицательное число. Как и в предыдущем пункте, $a < 0$, $a^2 > 0$, $a^3 < 0$. Наибольшим числом снова будет $a^2$.
Сравним отрицательные числа $a$ и $a^3$. Возьмем для примера $a = -2$: $a = -2$, $a^3 = (-2)^3 = -8$.
Так как $-8 < -2$, то $a^3 < a$.
В общем виде: рассмотрим разность $a^3 - a = a(a-1)(a+1)$.
При $a < -1$: множитель $a$ отрицателен; множитель $(a-1)$ отрицателен; множитель $(a+1)$ отрицателен. Произведение трех отрицательных чисел отрицательно, значит $a^3 - a < 0$, откуда $a^3 < a$.
Объединив неравенства, получаем: $a^3 < a < a^2$.
Ответ: $a^3, a, a^2$.

3.121 Если к задуманному числу прибавить 8, полученную сумму удвоить и из произведения вычесть 23, то получится задуманное число. Какое число задумано?

$2(x+8) - 23 = x$

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть задуманное число — это $x$. Далее, следуя условиям задачи, составим уравнение.

1. «к задуманному числу прибавить 8»:
$x + 8$

2. «полученную сумму удвоить»:
$2 \cdot (x + 8)$

3. «и из произведения вычесть 23»:
$2 \cdot (x + 8) - 23$

4. «то получится задуманное число»:
$2 \cdot (x + 8) - 23 = x$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

$2(x + 8) - 23 = x$

Сначала раскроем скобки, умножив 2 на каждый член внутри скобок:

$2x + 2 \cdot 8 - 23 = x$

$2x + 16 - 23 = x$

Упростим левую часть уравнения:

$2x - 7 = x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный:

$2x - x = 7$

$x = 7$

Таким образом, задуманное число равно 7. Сделаем проверку:

1. К числу 7 прибавляем 8: $7 + 8 = 15$.

2. Удваиваем сумму: $15 \cdot 2 = 30$.

3. Вычитаем 23: $30 - 23 = 7$.

Результат 7 совпадает с задуманным числом. Решение верное.

Ответ: 7.

3.122. Три тракториста вспахали 65 га земли. Первый тракторист вспахал на 10 га земли меньше, чем второй, а третий – $30\%$ участка земли, который вспахали первый и второй трактористы вместе. Сколько гектаров земли вспахал каждый тракторист?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество гектаров (га) земли, которое вспахал второй тракторист.

Исходя из условия, первый тракторист вспахал на 10 га меньше, чем второй. Следовательно, его участок составляет $(x - 10)$ га.

Третий тракторист вспахал 30% от участка, который вспахали первый и второй трактористы вместе. Сначала найдем, сколько они вспахали вместе:
$(x - 10) + x = 2x - 10$ га.

Теперь вычислим 30% от этой суммы. Представим 30% в виде десятичной дроби 0,3. Участок третьего тракториста равен:
$0,3 \times (2x - 10)$ га.

Общая площадь, вспаханная тремя трактористами, составляет 65 га. Мы можем составить уравнение, сложив площади участков каждого тракториста:
$(x - 10) + x + 0,3 \times (2x - 10) = 65$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x - 10 + 0,6x - 3 = 65$
$2,6x - 13 = 65$

Перенесем -13 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2,6x = 65 + 13$
$2,6x = 78$

Найдем $x$, разделив 78 на 2,6:
$x = \frac{78}{2,6}$
$x = \frac{780}{26}$
$x = 30$

Мы нашли, что второй тракторист вспахал 30 га земли.

Теперь можем найти, сколько вспахали остальные:
Первый тракторист вспахал: $x - 10 = 30 - 10 = 20$ га.
Третий тракторист вспахал: $0,3 \times (2 \times 30 - 10) = 0,3 \times (60 - 10) = 0,3 \times 50 = 15$ га.

Для проверки сложим все три участка: $20 + 30 + 15 = 65$ га, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый тракторист вспахал 20 га, второй тракторист — 30 га, третий тракторист — 15 га.

3.123. График линейной функции $y=kx-2$ проходит через точку $A(2; 4)$. Определите $k$. Проходит ли график этой функции через точку $B(-3; -6)$?

Определите k.

Дана линейная функция $y = kx - 2$. По условию, график этой функции проходит через точку A(2; 4). Это означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим $x = 2$ и $y = 4$ в уравнение функции:
$4 = k \cdot 2 - 2$
Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:
$4 + 2 = 2k$
$6 = 2k$
$k = \frac{6}{2}$
$k = 3$
Таким образом, коэффициент $k$ равен 3.

Ответ: $k=3$.

Проходит ли график этой функции через точку B(-3; -6)?

Теперь, когда мы определили, что $k=3$, уравнение нашей линейной функции имеет вид: $y = 3x - 2$.
Чтобы проверить, проходит ли график этой функции через точку B(-3; -6), нужно подставить координаты точки B в уравнение. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику. Подставим $x = -3$ и $y = -6$:
$-6 = 3 \cdot (-3) - 2$
Вычислим значение в правой части уравнения:
$3 \cdot (-3) - 2 = -9 - 2 = -11$
Сравним левую и правую части:
$-6 = -11$
Данное равенство неверно, так как $-6 \neq -11$. Следовательно, точка B(-3; -6) не лежит на графике функции $y = 3x - 2$.

Ответ: нет, не проходит.

3.124. Упростите выражение:

1) $-0,7a^5b \cdot (-2a^3b^2)^2;$

2) $22a^5b^6 : (-2ab^2)^3.$

1) Для упрощения выражения $-0,7a^5b \cdot (-2a^3b^2)^2$ необходимо последовательно выполнить действия.

Сначала возведем в квадрат одночлен в скобках, используя правило возведения в степень произведения и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(-2a^3b^2)^2 = (-2)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 4 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = 4a^6b^4$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$-0,7a^5b \cdot 4a^6b^4$.

Далее перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней их показатели складываются $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$(-0,7 \cdot 4) \cdot (a^5 \cdot a^6) \cdot (b^1 \cdot b^4) = -2,8 \cdot a^{5+6} \cdot b^{1+4} = -2,8a^{11}b^5$.

Ответ: $-2,8a^{11}b^5$.

2) Для упрощения выражения $22a^5b^6 : (-2ab^2)^3$ выполним действия по порядку.

Сначала возведем в куб одночлен в скобках:

$(-2ab^2)^3 = (-2)^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = -8 \cdot a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = -8a^3b^6$.

Теперь выполним деление. Запишем выражение в виде дроби:

$22a^5b^6 : (-8a^3b^6) = \frac{22a^5b^6}{-8a^3b^6}$.

Разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При делении степеней их показатели вычитаются $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{22}{-8} \cdot \frac{a^5}{a^3} \cdot \frac{b^6}{b^6} = -\frac{11}{4} \cdot a^{5-3} \cdot b^{6-6} = -2,75 \cdot a^2 \cdot b^0$.

Поскольку любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице ($b^0 = 1$), окончательное выражение будет:

$-2,75a^2 \cdot 1 = -2,75a^2$.

Ответ: $-2,75a^2$.