Номер 3.120, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.120. Расположите в порядке возрастания числа $a$, $a^2$ и $a^3$, если:

1) $0 < a < 1$;

2) $a > 1$;

3) $-1 < a < 0$;

4) $a < -1$.

Чтобы расположить числа $a, a^2$ и $a^3$ в порядке возрастания, необходимо рассмотреть четыре случая, в зависимости от значения $a$.

1) $0 < a < 1$
В этом интервале $a$ является положительной правильной дробью. При возведении такой дроби в степень ее значение уменьшается, так как мы умножаем число, меньшее 1, само на себя.
Для примера возьмем $a = \frac{1}{2}$: $a = 0.5$, $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$, $a^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0.125$.
Сравнивая эти значения, получаем $0.125 < 0.25 < 0.5$, то есть $a^3 < a^2 < a$.
В общем виде: так как $0 < a < 1$, то $a$ — положительное число. Умножим неравенство $a < 1$ на $a$: $a \cdot a < 1 \cdot a \implies a^2 < a$. Теперь умножим $a < 1$ на положительное число $a^2$: $a \cdot a^2 < 1 \cdot a^2 \implies a^3 < a^2$.
Объединив неравенства, получаем: $a^3 < a^2 < a$.
Ответ: $a^3, a^2, a$.

2) $a > 1$
Если $a$ больше единицы, то при возведении в степень его значение будет увеличиваться.
Для примера возьмем $a = 2$: $a = 2$, $a^2 = 2^2 = 4$, $a^3 = 2^3 = 8$.
Сравнивая, получаем $2 < 4 < 8$, то есть $a < a^2 < a^3$.
В общем виде: так как $a > 1$, то $a$ — положительное число. Умножим неравенство $a > 1$ на $a$: $a \cdot a > 1 \cdot a \implies a^2 > a$. Теперь умножим $a > 1$ на положительное число $a^2$: $a \cdot a^2 > 1 \cdot a^2 \implies a^3 > a^2$.
Объединив неравенства, получаем: $a < a^2 < a^3$.
Ответ: $a, a^2, a^3$.

3) $-1 < a < 0$
В этом случае $a$ — отрицательное число. Это означает, что $a < 0$, $a^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа положителен), $a^3 < 0$ (куб отрицательного числа отрицателен). Таким образом, $a^2$ является наибольшим из трех чисел.
Осталось сравнить отрицательные числа $a$ и $a^3$. Возьмем для примера $a = -\frac{1}{2}$: $a = -0.5$, $a^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8} = -0.125$.
Так как $-0.5 < -0.125$, то $a < a^3$.
В общем виде: рассмотрим разность $a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a-1)(a+1)$.
На интервале $-1 < a < 0$: множитель $a$ отрицателен; множитель $(a-1)$ отрицателен; множитель $(a+1)$ положителен. Произведение двух отрицательных и одного положительного числа положительно, значит $a^3 - a > 0$, откуда $a^3 > a$.
Объединив неравенства, получаем: $a < a^3 < a^2$.
Ответ: $a, a^3, a^2$.

4) $a < -1$
В этом случае $a$ также отрицательное число. Как и в предыдущем пункте, $a < 0$, $a^2 > 0$, $a^3 < 0$. Наибольшим числом снова будет $a^2$.
Сравним отрицательные числа $a$ и $a^3$. Возьмем для примера $a = -2$: $a = -2$, $a^3 = (-2)^3 = -8$.
Так как $-8 < -2$, то $a^3 < a$.
В общем виде: рассмотрим разность $a^3 - a = a(a-1)(a+1)$.
При $a < -1$: множитель $a$ отрицателен; множитель $(a-1)$ отрицателен; множитель $(a+1)$ отрицателен. Произведение трех отрицательных чисел отрицательно, значит $a^3 - a < 0$, откуда $a^3 < a$.
Объединив неравенства, получаем: $a^3 < a < a^2$.
Ответ: $a^3, a, a^2$.