Номер 3.116, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.116. В одной и той же системе координат постройте графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$, где $x>0$. Пользуясь построенными графиками, сравните числа:

1) $0,5^2$ и $0,5^3$;

2) $1,5^2$ и $1,5^3$.

Для решения задачи необходимо построить и проанализировать графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при условии $x>0$.

1. Построение графиков.
Функция $y=x^2$ является параболой с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Функция $y=x^3$ — кубическая парабола. Поскольку мы рассматриваем область $x>0$, нас интересуют только части графиков, расположенные в первой координатной четверти.

2. Нахождение точек пересечения.
Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для $y$:
$x^2 = x^3$
$x^3 - x^2 = 0$
$x^2(x - 1) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=1$. Так как по условию $x>0$, графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна $x=1$. Ордината этой точки $y = 1^2 = 1^3 = 1$. Точка пересечения — $(1; 1)$.

3. Анализ взаимного расположения графиков.
Точка пересечения $(1; 1)$ делит рассматриваемую область на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(0; 1)$, если взять любое число, например $x=0,5$, то $y=x^2=0,5^2=0,25$, а $y=x^3=0,5^3=0,125$. Поскольку $0,25 > 0,125$, график функции $y=x^2$ на этом интервале лежит выше графика $y=x^3$.
- На интервале $(1; +\infty)$, если взять любое число, например $x=2$, то $y=x^2=2^2=4$, а $y=x^3=2^3=8$. Поскольку $8 > 4$, график функции $y=x^3$ на этом интервале лежит выше графика $y=x^2$.

Теперь, пользуясь этим анализом, сравним заданные числа.

1) 0,5² и 0,5³
Значения $0,5^2$ и $0,5^3$ — это ординаты точек на графиках функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,5$.
Поскольку $x=0,5$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, на котором график $y=x^2$ расположен выше графика $y=x^3$, то значение $0,5^2$ будет больше значения $0,5^3$.
Следовательно, $0,5^2 > 0,5^3$.
Ответ: $0,5^2 > 0,5^3$.

2) 1,5² и 1,5³
Значения $1,5^2$ и $1,5^3$ — это ординаты точек на графиках функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=1,5$.
Поскольку $x=1,5$ принадлежит интервалу $(1; +\infty)$, на котором график $y=x^3$ расположен выше графика $y=x^2$, то значение $1,5^3$ будет больше значения $1,5^2$.
Следовательно, $1,5^2 < 1,5^3$.
Ответ: $1,5^2 < 1,5^3$.