Номер 3.119, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.119. Известно, что точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции:

1) $y=x^2$;

2) $y=x^3$.

Принадлежат ли этому графику точки $B(-a;b)$; $C(a;-b)$; $D(-a;-b)$?

Для решения задачи мы будем использовать тот факт, что если точка с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, то при подстановке ее координат в уравнение функции мы получим верное равенство: $y_0 = f(x_0)$.

По условию, точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции. Это означает, что для данной функции выполняется равенство $b = f(a)$. Мы будем использовать это равенство для проверки принадлежности других точек.

1) y=x²

Поскольку точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции $y=x^2$, выполняется равенство: $b = a^2$.

• Проверим точку $B(-a;b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение функции: $y = (-a)^2 = a^2$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $b = a^2$. По условию это так. Следовательно, точка $B$ принадлежит графику.

• Проверим точку $C(a;-b)$.
  Подставим ее координаты: $y = a^2$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-b = a^2$. Так как мы знаем, что $b = a^2$, то получаем $-a^2 = a^2$. Это равенство верно только если $a=0$ (и, соответственно, $b=0$). В общем случае, если $a \ne 0$, точка $C$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $D(-a;-b)$.
  Подставим ее координаты: $y = (-a)^2 = a^2$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-b = a^2$. Как и в предыдущем пункте, это равенство в общем случае неверно. Следовательно, точка $D$ не принадлежит графику (за исключением случая $a=0, b=0$).

Ответ: Точка $B$ принадлежит графику; точки $C$ и $D$ в общем случае не принадлежат.

2) y=x³

Поскольку точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции $y=x^3$, выполняется равенство: $b = a^3$.

• Проверим точку $B(-a;b)$.
  Подставим ее координаты в уравнение функции: $y = (-a)^3 = -a^3$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $b = -a^3$. Мы знаем, что $b = a^3$, поэтому получаем $a^3 = -a^3$. Это равенство верно только если $a=0$. В общем случае точка $B$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $C(a;-b)$.
  Подставим ее координаты: $y = a^3$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-b = a^3$. Так как $b = a^3$, получаем $-a^3 = a^3$. Это равенство верно только если $a=0$. В общем случае точка $C$ не принадлежит графику.

• Проверим точку $D(-a;-b)$.
  Подставим ее координаты: $y = (-a)^3 = -a^3$.
  Нам нужно проверить, выполняется ли равенство $-b = -a^3$. Мы знаем, что $b=a^3$, поэтому равенство $-b = -a^3$ является верным для любых $a$. Следовательно, точка $D$ принадлежит графику.

Ответ: Точка $D$ принадлежит графику; точки $B$ и $C$ в общем случае не принадлежат.