Вопросы, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как строится график функции $y=ax^2$ по сравнению с графиком функции $y=x^2$ при:

а) $a>1$;

б) $0<a<1$;

в) $a<0$?

2. Куда обращены ветви параболы $y=ax^2$ при $a>0$, $a<0$?

Рис. 3.43

3. Как строится график функции $y=ax^3$ по сравнению с графиком функции $y=x^3$ при:

а) $a>1$;

б) $0<a<1$;

в) $a<0$?

4. В каких координатных четвертях расположен график функции $y=ax^3$ при $a>0$, $a<0$?

График функции $y=ax^2$ получается из графика функции $y=x^2$ (стандартной параболы с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх) с помощью геометрических преобразований. Коэффициент $a$ отвечает за вертикальное растяжение/сжатие и отражение относительно оси абсцисс (оси Ox).

а) При $a>1$ происходит растяжение графика функции $y=x^2$ от оси Ox в $a$ раз. Каждая ордината точки на графике $y=x^2$ умножается на число $a$. В результате парабола становится "уже", то есть она прижимается к оси Oy.

б) При $0<a<1$ происходит сжатие графика функции $y=x^2$ к оси Ox в $1/a$ раз. Каждая ордината точки на графике $y=x^2$ умножается на число $a$. В результате парабола становится "шире".

в) При $a<0$ график функции $y=x^2$ сначала отражается симметрично относительно оси Ox, в результате чего ветви параболы направляются вниз. Затем полученный график подвергается растяжению или сжатию в $|a|$ раз (растяжение, если $|a|>1$, и сжатие, если $0<|a|<1$).

Ответ: График функции $y=ax^2$ получается из графика $y=x^2$ путем:
а) при $a>1$ — растяжением от оси Ox в $a$ раз;
б) при $0<a<1$ — сжатием к оси Ox в $1/a$ раз;
в) при $a<0$ — симметричным отражением относительно оси Ox и последующим растяжением/сжатием в $|a|$ раз от/к оси Ox.

Направление ветвей параболы $y=ax^2$ зависит от знака коэффициента $a$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), знак $y$ определяется знаком $a$.

При $a>0$, произведение $ax^2$ будет неотрицательным ($y \ge 0$). Это означает, что все точки параболы (кроме вершины) лежат выше оси абсцисс. Следовательно, ветви параболы обращены вверх.

При $a<0$, произведение $ax^2$ будет неположительным ($y \le 0$). Это означает, что все точки параболы (кроме вершины) лежат ниже оси абсцисс. Следовательно, ветви параболы обращены вниз.

Ответ: При $a>0$ ветви параболы обращены вверх, а при $a<0$ — вниз.

График функции $y=ax^3$ (кубическая парабола) получается из графика функции $y=x^3$ с помощью преобразований. Коэффициент $a$ отвечает за вертикальное растяжение/сжатие и отражение относительно оси Ox.

а) При $a>1$ происходит растяжение графика функции $y=x^3$ от оси Ox в $a$ раз. График становится "круче".

б) При $0<a<1$ происходит сжатие графика функции $y=x^3$ к оси Ox в $1/a$ раз. График становится более "пологим".

в) При $a<0$ график функции $y=x^3$ сначала отражается симметрично относительно оси Ox. Это меняет монотонность функции с возрастающей на убывающую. Затем полученный график подвергается растяжению или сжатию в $|a|$ раз.

Ответ: График функции $y=ax^3$ получается из графика $y=x^3$ путем:
а) при $a>1$ — растяжением от оси Ox в $a$ раз;
б) при $0<a<1$ — сжатием к оси Ox в $1/a$ раз;
в) при $a<0$ — симметричным отражением относительно оси Ox и последующим растяжением/сжатием в $|a|$ раз от/к оси Ox.

Расположение графика функции $y=ax^3$ в координатных четвертях определяется знаком коэффициента $a$.

При $a>0$:
• Если $x>0$, то $x^3>0$, и $y=ax^3$ будет положительным ($y>0$). Эта часть графика находится в I координатной четверти.
• Если $x<0$, то $x^3<0$, и $y=ax^3$ будет отрицательным ($y<0$). Эта часть графика находится в III координатной четверти.

При $a<0$:
• Если $x>0$, то $x^3>0$, и $y=ax^3$ будет отрицательным ($y<0$). Эта часть графика находится в IV координатной четверти.
• Если $x<0$, то $x^3<0$, и $y=ax^3$ будет положительным ($y>0$). Эта часть графика находится во II координатной четверти.

Ответ: При $a>0$ график расположен в I и III координатных четвертях. При $a<0$ график расположен во II и IV координатных четвертях.