Номер 3.128, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.128. Используя график функции $y=x^3$, постройте графики функций:

1) $y=-x^3$;

2) $y=2x^3$;

3) $y=-2x^3$;

4) $y=\frac{1}{2}x^3$;

5) $y=-\frac{1}{2}x^3$.

Для построения графиков всех указанных функций мы будем использовать преобразования графика базовой функции $y=x^3$. График функции $y=x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно начала координат. Для построения мы будем использовать несколько опорных точек: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

1) $y=-x^3$

График функции $y=-x^3$ получается из графика функции $y=x^3$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$). Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y=x^3$, соответствующая точка $(x_0, -y_0)$ будет лежать на графике $y=-x^3$.

Преобразуем опорные точки:

Точка $(-2, -8)$ на графике $y=x^3$ переходит в точку $(-2, -(-8)) = (-2, 8)$.
Точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, -(-1)) = (-1, 1)$.
Точка $(0, 0)$ остается на месте $(0, 0)$.
Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, -1)$.
Точка $(2, 8)$ переходит в точку $(2, -8)$.

Построив эти новые точки и соединив их плавной линией, мы получим график функции $y=-x^3$.

Ответ: График функции $y=-x^3$ получается из графика $y=x^3$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

2) $y=2x^3$

График функции $y=2x^3$ получается из графика функции $y=x^3$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 2 раза. Это означает, что абсциссы точек остаются теми же, а их ординаты умножаются на 2. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=x^3$ переходит в точку $(x_0, 2y_0)$.

Преобразуем опорные точки:

Точка $(-2, -8)$ переходит в точку $(-2, 2 \cdot (-8)) = (-2, -16)$.
Точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, 2 \cdot (-1)) = (-1, -2)$.
Точка $(0, 0)$ остается на месте $(0, 0)$.
Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 2 \cdot 1) = (1, 2)$.
Точка $(2, 8)$ переходит в точку $(2, 2 \cdot 8) = (2, 16)$.

График становится "круче", так как значения функции растут быстрее.

Ответ: График функции $y=2x^3$ получается из графика $y=x^3$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2 раза.

3) $y=-2x^3$

Построение этого графика можно выполнить в два шага: сначала растянуть график $y=x^3$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза (получив $y=2x^3$), а затем отразить результат симметрично относительно оси $Ox$. Иными словами, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика $y=x^3$ преобразуется в точку $(x_0, -2y_0)$.

Преобразуем опорные точки:

Точка $(-2, -8)$ переходит в точку $(-2, -2 \cdot (-8)) = (-2, 16)$.
Точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, -2 \cdot (-1)) = (-1, 2)$.
Точка $(0, 0)$ остается на месте $(0, 0)$.
Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, -2 \cdot 1) = (1, -2)$.
Точка $(2, 8)$ переходит в точку $(2, -2 \cdot 8) = (2, -16)$.

Ответ: График функции $y=-2x^3$ получается из графика $y=x^3$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

4) $y=\frac{1}{2}x^3$

График функции $y=\frac{1}{2}x^3$ получается из графика функции $y=x^3$ путем сжатия вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 2 раза. Это означает, что абсциссы точек остаются теми же, а их ординаты умножаются на $\frac{1}{2}$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=x^3$ переходит в точку $(x_0, \frac{1}{2}y_0)$.

Преобразуем опорные точки:

Точка $(-2, -8)$ переходит в точку $(-2, \frac{1}{2} \cdot (-8)) = (-2, -4)$.
Точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, \frac{1}{2} \cdot (-1)) = (-1, -0.5)$.
Точка $(0, 0)$ остается на месте $(0, 0)$.
Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, \frac{1}{2} \cdot 1) = (1, 0.5)$.
Точка $(2, 8)$ переходит в точку $(2, \frac{1}{2} \cdot 8) = (2, 4)$.

График становится более "пологим", так как значения функции растут медленнее.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{2}x^3$ получается из графика $y=x^3$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 2 раза.

5) $y=-\frac{1}{2}x^3$

Построение этого графика можно выполнить в два шага: сначала сжать график $y=x^3$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза (получив $y=\frac{1}{2}x^3$), а затем отразить результат симметрично относительно оси $Ox$. Иными словами, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика $y=x^3$ преобразуется в точку $(x_0, -\frac{1}{2}y_0)$.

Преобразуем опорные точки:

Точка $(-2, -8)$ переходит в точку $(-2, -\frac{1}{2} \cdot (-8)) = (-2, 4)$.
Точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, -\frac{1}{2} \cdot (-1)) = (-1, 0.5)$.
Точка $(0, 0)$ остается на месте $(0, 0)$.
Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, -\frac{1}{2} \cdot 1) = (1, -0.5)$.
Точка $(2, 8)$ переходит в точку $(2, -\frac{1}{2} \cdot 8) = (2, -4)$.

Ответ: График функции $y=-\frac{1}{2}x^3$ получается из графика $y=x^3$ путем сжатия вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.