Номер 3.126, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.126. Используя график функции $y=x^2$, постройте графики функций:

1) $y=2x^2$;

2) $y=-\frac{1}{2}x^2$;

3) $y=-x^2$;

4) $y=-2x^2$;

5) $y=-\frac{1}{2}x^2$.

Для построения графиков всех указанных функций мы будем использовать базовый график функции $y=x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Все заданные функции имеют вид $y=ax^2$. Преобразование графика $y=x^2$ в график $y=ax^2$ зависит от коэффициента $a$:

• Если $|a| > 1$, график растягивается от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в $|a|$ раз. Парабола становится "уже".
• Если $0 < |a| < 1$, график сжимается к оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в $1/|a|$ раз. Парабола становится "шире".
• Если $a < 0$, график дополнительно отражается симметрично относительно оси $Ox$ (ветви направляются вниз).

1) $y=2x^2$

В этой функции коэффициент $a=2$. Так как $|a|=2 > 1$, график функции $y=2x^2$ получается из графика $y=x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Это означает, что для получения новой точки нужно сохранить ее абсциссу ($x$), а ординату ($y$) умножить на 2.

Найдем координаты нескольких точек для новой параболы, используя точки базовой параболы $y=x^2$ (например, (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)):
Если $x=0$, $y=2 \cdot 0^2=0$. Точка (0, 0).
Если $x=1$, $y=2 \cdot 1^2=2$. Точка (1, 2).
Если $x=-1$, $y=2 \cdot (-1)^2=2$. Точка (-1, 2).
Если $x=2$, $y=2 \cdot 2^2=8$. Точка (2, 8).
Если $x=-2$, $y=2 \cdot (-2)^2=8$. Точка (-2, 8).

Построив эти точки и соединив их плавной линией, мы получим параболу $y=2x^2$. Она также проходит через начало координат, ее ветви направлены вверх, но она более "узкая" (сильнее прижата к оси $Oy$), чем парабола $y=x^2$.

Ответ: График функции $y=2x^2$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Вершина находится в точке (0, 0), ветви направлены вверх.

2) $y=\frac{1}{2}x^2$

Здесь коэффициент $a=\frac{1}{2}$. Так как $|a|=\frac{1}{2} < 1$, график функции $y=\frac{1}{2}x^2$ получается из графика $y=x^2$ путем сжатия вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Ординату каждой точки базовой параболы нужно умножить на $\frac{1}{2}$.

Вычислим координаты точек для $y=\frac{1}{2}x^2$:
Если $x=0$, $y=\frac{1}{2} \cdot 0^2=0$. Точка (0, 0).
Если $x=1$, $y=\frac{1}{2} \cdot 1^2=0.5$. Точка (1, 0.5).
Если $x=-1$, $y=\frac{1}{2} \cdot (-1)^2=0.5$. Точка (-1, 0.5).
Если $x=2$, $y=\frac{1}{2} \cdot 2^2=2$. Точка (2, 2).
Если $x=-2$, $y=\frac{1}{2} \cdot (-2)^2=2$. Точка (-2, 2).

Полученная парабола $y=\frac{1}{2}x^2$ имеет вершину в начале координат, ветви направлены вверх. Она "шире", чем парабола $y=x^2$, так как она сжата к оси $Ox$.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{2}x^2$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Вершина находится в точке (0, 0), ветви направлены вверх.

3) $y=-x^2$

В данном случае коэффициент $a=-1$. Так как $a$ отрицателен, а $|a|=1$, то преобразование заключается в симметричном отражении графика $y=x^2$ относительно оси $Ox$. Ордината каждой точки меняет свой знак на противоположный.

Вычислим координаты точек для $y=-x^2$:
Если $x=0$, $y=-(0^2)=0$. Точка (0, 0).
Если $x=1$, $y=-(1^2)=-1$. Точка (1, -1).
Если $x=-1$, $y=-((-1)^2)=-1$. Точка (-1, -1).
Если $x=2$, $y=-(2^2)=-4$. Точка (2, -4).
Если $x=-2$, $y=-((-2)^2)=-4$. Точка (-2, -4).

График функции $y=-x^2$ — это парабола, симметричная параболе $y=x^2$ относительно оси абсцисс. Ее вершина находится в точке (0, 0), а ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y=-x^2$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ симметричным отражением относительно оси $Ox$. Вершина находится в точке (0, 0), ветви направлены вниз.

4) $y=-2x^2$

Здесь коэффициент $a=-2$. Это преобразование можно выполнить в два шага: сначала растянуть график $y=x^2$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза (так как $|a|=2$), а затем отразить полученный график $y=2x^2$ относительно оси $Ox$ (так как $a<0$). Проще говоря, ординату каждой точки графика $y=x^2$ нужно умножить на -2.

Вычислим координаты точек для $y=-2x^2$:
Если $x=0$, $y=-2 \cdot 0^2=0$. Точка (0, 0).
Если $x=1$, $y=-2 \cdot 1^2=-2$. Точка (1, -2).
Если $x=-1$, $y=-2 \cdot (-1)^2=-2$. Точка (-1, -2).
Если $x=2$, $y=-2 \cdot 2^2=-8$. Точка (2, -8).
Если $x=-2$, $y=-2 \cdot (-2)^2=-8$. Точка (-2, -8).

Получим параболу с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вниз. Она будет "уже", чем парабола $y=-x^2$.

Ответ: График функции $y=-2x^2$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ растяжением вдоль оси $Oy$ в 2 раза и последующим отражением относительно оси $Ox$. Вершина находится в точке (0, 0), ветви направлены вниз.

5) $y=-\frac{1}{2}x^2$

Здесь коэффициент $a=-\frac{1}{2}$. Преобразование состоит из сжатия графика $y=x^2$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза (так как $|a|=\frac{1}{2}$) и последующего отражения относительно оси $Ox$ (так как $a<0$). Ординату каждой точки графика $y=x^2$ нужно умножить на $-\frac{1}{2}$.

Вычислим координаты точек для $y=-\frac{1}{2}x^2$:
Если $x=0$, $y=-\frac{1}{2} \cdot 0^2=0$. Точка (0, 0).
Если $x=1$, $y=-\frac{1}{2} \cdot 1^2=-0.5$. Точка (1, -0.5).
Если $x=-1$, $y=-\frac{1}{2} \cdot (-1)^2=-0.5$. Точка (-1, -0.5).
Если $x=2$, $y=-\frac{1}{2} \cdot 2^2=-2$. Точка (2, -2).
Если $x=-2$, $y=-\frac{1}{2} \cdot (-2)^2=-2$. Точка (-2, -2).

Получим параболу с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вниз. Она будет "шире", чем парабола $y=-x^2$.

Ответ: График функции $y=-\frac{1}{2}x^2$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ сжатием вдоль оси $Oy$ в 2 раза и последующим отражением относительно оси $Ox$. Вершина находится в точке (0, 0), ветви направлены вниз.