Страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.131. Значение функции $y=2x^2$ равно: 1) 8; 2) 50. Найдите соответствующие ему значения аргумента.

Для нахождения соответствующих значений аргумента ($x$) для заданных значений функции ($y$) необходимо подставить каждое значение $y$ в уравнение функции $y=2x^2$ и решить его относительно $x$.

1) Найдём значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно 8.

Подставим $y = 8$ в уравнение:

$8 = 2x^2$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = \frac{8}{2}$

$x^2 = 4$

Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

$x = \pm\sqrt{4}$

Следовательно, получаем два значения аргумента: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: -2; 2.

2) Найдём значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно 50.

Подставим $y = 50$ в уравнение:

$50 = 2x^2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = \frac{50}{2}$

$x^2 = 25$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{25}$

Получаем два значения аргумента: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Ответ: -5; 5.

3.132. Значение функции $y=-2x^3$ равно:

1) 54;

2) 128.

Найдите соответствующие ему значения аргумента.

Для нахождения соответствующих значений аргумента (x) необходимо подставить заданные значения функции (y) в уравнение $y = -2x^3$ и решить его относительно x.

Пусть значение функции равно 54, то есть $y = 54$. Подставим это значение в уравнение функции:

$54 = -2x^3$

Чтобы найти $x^3$, разделим обе части уравнения на -2:

$x^3 = \frac{54}{-2}$

$x^3 = -27$

Теперь найдем x, извлекая кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{-27}$

$x = -3$

Ответ: -3

Пусть значение функции равно 128, то есть $y = 128$. Подставим это значение в уравнение функции:

$128 = -2x^3$

Чтобы найти $x^3$, разделим обе части уравнения на -2:

$x^3 = \frac{128}{-2}$

$x^3 = -64$

Теперь найдем x, извлекая кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{-64}$

$x = -4$

Ответ: -4

3.133. При каких значениях a точка A(3;a) принадлежит графику функции:

1) $y=3x^2$

2) $y=-2x^2$

3) $y=-\frac{1}{4}x^2$

4) $y=\frac{1}{5}x^2$

Для того чтобы точка $A(3;a)$ принадлежала графику функции, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Мы должны подставить координаты точки, $x=3$ и $y=a$, в уравнение каждой функции и найти соответствующее значение $a$.

1) $y=3x^2$
Подставляем координаты точки $A(3;a)$ в уравнение функции:
$a = 3 \cdot (3)^2$
$a = 3 \cdot 9$
$a = 27$
Ответ: $27$

2) $y=-2x^2$
Подставляем координаты точки $A(3;a)$ в уравнение функции:
$a = -2 \cdot (3)^2$
$a = -2 \cdot 9$
$a = -18$
Ответ: $-18$

3) $y=-\frac{1}{4}x^2$
Подставляем координаты точки $A(3;a)$ в уравнение функции:
$a = -\frac{1}{4} \cdot (3)^2$
$a = -\frac{1}{4} \cdot 9$
$a = -\frac{9}{4}$
Ответ: $-\frac{9}{4}$

4) $y=\frac{1}{5}x^2$
Подставляем координаты точки $A(3;a)$ в уравнение функции:
$a = \frac{1}{5} \cdot (3)^2$
$a = \frac{1}{5} \cdot 9$
$a = \frac{9}{5}$
Ответ: $\frac{9}{5}$

3.134. При каких значениях $a$ точка $B(2; a)$ принадлежит графику функции:

1) $y=2x^3$;

2) $y=-x^3$;

3) $y=-\frac{1}{3}x^3$;

4) $y=\frac{1}{8}x^3$?

Для того чтобы точка B(2; a) принадлежала графику функции, её координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это означает, что если мы подставим значение абсциссы $x=2$ и значение ординаты $y=a$ в уравнение функции, мы получим верное равенство. Используем это для нахождения значения 'a' в каждом из четырех случаев.

1) $y=2x^3$

Подставим координаты точки B(2; a) в уравнение функции, где $x=2$ и $y=a$:

$a = 2 \cdot (2)^3$

Сначала вычислим значение $2^3$:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Теперь найдем значение 'a', подставив результат в уравнение:

$a = 2 \cdot 8 = 16$

Таким образом, при $a=16$ точка B(2; 16) принадлежит графику функции $y=2x^3$.

Ответ: $a = 16$.

2) $y=-x^3$

Подставим координаты точки B(2; a) в уравнение функции, где $x=2$ и $y=a$:

$a = -(2)^3$

Вычислим значение $2^3$:

$2^3 = 8$

Теперь найдем значение 'a':

$a = -8$

Таким образом, при $a=-8$ точка B(2; -8) принадлежит графику функции $y=-x^3$.

Ответ: $a = -8$.

3) $y = -\frac{1}{3}x^3$

Подставим координаты точки B(2; a) в уравнение функции, где $x=2$ и $y=a$:

$a = -\frac{1}{3} \cdot (2)^3$

Вычислим $2^3$:

$2^3 = 8$

Теперь найдем значение 'a':

$a = -\frac{1}{3} \cdot 8 = -\frac{8}{3}$

Таким образом, при $a = -\frac{8}{3}$ точка B(2; -8/3) принадлежит графику функции $y = -\frac{1}{3}x^3$.

Ответ: $a = -\frac{8}{3}$.

4) $y = -\frac{1}{8}x^3$

Подставим координаты точки B(2; a) в уравнение функции, где $x=2$ и $y=a$:

$a = -\frac{1}{8} \cdot (2)^3$

Вычислим $2^3$:

$2^3 = 8$

Теперь найдем значение 'a':

$a = -\frac{1}{8} \cdot 8 = -1$

Таким образом, при $a=-1$ точка B(2; -1) принадлежит графику функции $y = -\frac{1}{8}x^3$.

Ответ: $a = -1$.

3.135. При каких значениях $a$ график функции $y=ax^2$ проходит через точку:

1) A(2; 2);

2) B(2; -2);

3) C(-3; 6);

4) D(-3; -6);

5) E($-\frac{1}{2}$; 1,5);

6) F($-\frac{2}{3}$; $\frac{4}{3}$)?

Для того чтобы график функции $y=ax^2$ проходил через заданную точку с координатами $(x_0; y_0)$, необходимо, чтобы эти координаты удовлетворяли уравнению функции. То есть, при подстановке $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$, равенство должно быть верным. Из этого условия мы можем найти искомое значение параметра $a$. Общая формула для нахождения $a$ будет выглядеть так: $y_0 = a \cdot (x_0)^2$, откуда $a = \frac{y_0}{(x_0)^2}$ (при $x_0 \neq 0$).

1) A(2; 2)

Подставим координаты точки $A(2; 2)$ в уравнение функции $y=ax^2$. Здесь $x=2$ и $y=2$.

$2 = a \cdot (2)^2$

$2 = a \cdot 4$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 4:

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

2) B(2; -2)

Подставим координаты точки $B(2; -2)$ в уравнение функции. Здесь $x=2$ и $y=-2$.

$-2 = a \cdot (2)^2$

$-2 = a \cdot 4$

Найдем $a$:

$a = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $a = -\frac{1}{2}$.

3) C(-3; 6)

Подставим координаты точки $C(-3; 6)$ в уравнение функции. Здесь $x=-3$ и $y=6$.

$6 = a \cdot (-3)^2$

$6 = a \cdot 9$

Найдем $a$:

$a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $a = \frac{2}{3}$.

4) D(-3; -6)

Подставим координаты точки $D(-3; -6)$ в уравнение функции. Здесь $x=-3$ и $y=-6$.

$-6 = a \cdot (-3)^2$

$-6 = a \cdot 9$

Найдем $a$:

$a = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $a = -\frac{2}{3}$.

5) E($\frac{1}{2}$; 1,5)

Подставим координаты точки $E(\frac{1}{2}; 1,5)$ в уравнение функции. Представим $1,5$ в виде дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$. Таким образом, $x=\frac{1}{2}$ и $y=\frac{3}{2}$.

$\frac{3}{2} = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$\frac{3}{2} = a \cdot \frac{1}{4}$

Чтобы найти $a$, умножим обе части уравнения на 4:

$a = \frac{3}{2} \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: $a = 6$.

6) F($-\frac{2}{3}$; $\frac{4}{3}$)

Подставим координаты точки $F(-\frac{2}{3}; \frac{4}{3})$ в уравнение функции. Здесь $x=-\frac{2}{3}$ и $y=\frac{4}{3}$.

$\frac{4}{3} = a \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2$

$\frac{4}{3} = a \cdot \frac{4}{9}$

Чтобы найти $a$, разделим обе части на $\frac{4}{9}$ (что равносильно умножению на обратную дробь $\frac{9}{4}$):

$a = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{36}{12} = 3$

Ответ: $a = 3$.

3.136. При каких значениях $a$ график функции $y=ax^3$ проходит через точку?

1) A(2; 2)

2) B(2; -2)

3) C($\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$)

4) D($-\frac{1}{2}$; $-\frac{1}{4}$)

Для того чтобы график функции $y=ax³$ проходил через определенную точку, координаты этой точки $(x_0; y_0)$ должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что при подстановке $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$, мы должны получить верное равенство. Используя это свойство, мы можем найти неизвестный коэффициент $a$ для каждого случая.

1) A(2; 2)

Подставим координаты точки $A(2; 2)$, где $x=2$ и $y=2$, в уравнение функции $y=ax³$:

$2 = a \cdot (2)³$

Вычислим куб числа 2:

$2 = a \cdot 8$

Теперь выразим $a$ из этого уравнения:

$a = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $a = \frac{1}{4}$.

2) B(2; -2)

Подставим координаты точки $B(2; -2)$, где $x=2$ и $y=-2$, в уравнение функции $y=ax³$:

$-2 = a \cdot (2)³$

$-2 = a \cdot 8$

Найдем $a$:

$a = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $a = -\frac{1}{4}$.

3) C($\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$)

Подставим координаты точки $C(\frac{1}{3}; \frac{1}{9})$, где $x=\frac{1}{3}$ и $y=\frac{1}{9}$, в уравнение функции $y=ax³$:

$\frac{1}{9} = a \cdot \left(\frac{1}{3}\right)³$

Вычислим куб дроби:

$\frac{1}{9} = a \cdot \frac{1³}{3³} = a \cdot \frac{1}{27}$

Выразим $a$:

$a = \frac{1}{9} \div \frac{1}{27} = \frac{1}{9} \cdot \frac{27}{1} = \frac{27}{9} = 3$

Ответ: $a=3$.

4) D($-\frac{1}{2}$; $-\frac{1}{4}$)

Подставим координаты точки $D(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4})$, где $x=-\frac{1}{2}$ и $y=-\frac{1}{4}$, в уравнение функции $y=ax³$:

$-\frac{1}{4} = a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)³$

Вычислим куб отрицательной дроби:

$-\frac{1}{4} = a \cdot \left(-\frac{1³}{2³}\right) = a \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)$

Найдем $a$:

$a = \left(-\frac{1}{4}\right) \div \left(-\frac{1}{8}\right) = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{8}{1}\right) = \frac{8}{4} = 2$

Ответ: $a=2$.

3.137. Сколько точек пересечения могут иметь графики функций $y=ax^2$ и $y=bx^3$? Здесь $a$ и $b$ – заданные коэффициенты. Определите координаты этих точек при:

1) $a=2$; $b=-2$;

2) $a=\frac{1}{2}$; $b=\frac{1}{3}$.

Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций $y=ax^2$ и $y=bx^3$, необходимо найти общие решения для этой системы уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$:

$ax^2 = bx^3$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ax^2 - bx^3 = 0$

$x^2(a - bx) = 0$

Данное уравнение имеет решения, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$.

2) $a - bx = 0 \implies bx = a$.

Из первого уравнения мы всегда получаем корень $x=0$. Это означает, что графики всегда пересекаются в начале координат, в точке $(0,0)$, так как при $x=0$ обе функции принимают значение $y=0$.

Рассмотрим второе уравнение, $bx=a$.

• Если коэффициенты $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a}{b}$. В этом случае, поскольку $x = \frac{a}{b} \neq 0$, мы получаем вторую точку пересечения. Итого две точки пересечения.
• Если $a \neq 0$, а $b=0$, то уравнение принимает вид $0=a$, что является неверным равенством. Решений нет. В этом случае есть только одна точка пересечения $x=0$. Итого одна точка пересечения.
• Если $a = 0$, а $b \neq 0$, то $x = \frac{0}{b} = 0$. Этот корень совпадает с уже найденным. Итого одна точка пересечения.
• Если $a=0$ и $b=0$, то обе функции имеют вид $y=0$. Их графики совпадают (оба являются осью абсцисс), и они имеют бесконечно много точек пересечения.

Таким образом, в зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$, графики могут иметь одну, две или бесконечно много точек пересечения.

Теперь найдем координаты точек для заданных значений коэффициентов.

1) a=2; b=-2

Подставляем значения $a$ и $b$ в уравнение $x^2(a - bx) = 0$:

$x^2(2 - (-2)x) = 0$

$x^2(2 + 2x) = 0$

$2x^2(1 + x) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x^2=0 \implies x_1 = 0$

$1+x=0 \implies x_2 = -1$

Теперь находим соответствующие ординаты (координаты $y$), подставляя значения $x$ в любую из исходных функций, например, в $y=2x^2$.

Для $x_1=0$: $y_1 = 2 \cdot 0^2 = 0$. Координаты первой точки: $(0, 0)$.

Для $x_2=-1$: $y_2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$. Координаты второй точки: $(-1, 2)$.

Ответ: Две точки пересечения: $(0, 0)$ и $(-1, 2)$.

2) a = $\frac{1}{2}$; b = $\frac{1}{3}$

Подставляем значения $a$ и $b$ в уравнение $x^2(a - bx) = 0$:

$x^2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}x\right) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x^2=0 \implies x_1 = 0$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}x = 0 \implies \frac{1}{3}x = \frac{1}{2} \implies x_2 = \frac{3}{2}$

Теперь находим соответствующие ординаты, подставляя значения $x$ в $y = \frac{1}{2}x^2$.

Для $x_1=0$: $y_1 = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$. Координаты первой точки: $(0, 0)$.

Для $x_2=\frac{3}{2}$: $y_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$. Координаты второй точки: $(\frac{3}{2}, \frac{9}{8})$.

Ответ: Две точки пересечения: $(0, 0)$ и $(\frac{3}{2}, \frac{9}{8})$.

3.138. Определите координаты точек пересечения графиков функций $y=ax$ и $y=bx^2$. Решите задачу при $a=1, b=\frac{1}{3}$ и начертите графики этих функций в одной системе координат.

Определение координат точек пересечения

Даны две функции: $y = ax$ и $y = bx^2$. Согласно условию, решим задачу при $a=1$ и $b=\frac{1}{3}$.

Подставляем заданные значения в уравнения функций:

1. Линейная функция: $y = x$

2. Квадратичная функция: $y = \frac{1}{3}x^2$

Для нахождения координат точек пересечения графиков необходимо приравнять правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ у обеих функций совпадают.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

Вынесем общий множитель $x$ за скобки для нахождения корней:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

1) $x_1 = 0$

2) $\frac{1}{3}x - 1 = 0 \implies \frac{1}{3}x = 1 \implies x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив полученные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение линейной функции $y=x$:

При $x_1 = 0$ получаем $y_1 = 0$.

При $x_2 = 3$ получаем $y_2 = 3$.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

Построение графиков функций

Для построения графиков в одной системе координат рассмотрим каждую функцию отдельно.

1. График функции $y=x$ — это прямая линия, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Она проходит через начало координат $(0,0)$ и, как мы уже выяснили, через точку $(3,3)$.

2. График функции $y=\frac{1}{3}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Для более точного построения вычислим значения функции для нескольких точек:

Теперь построим оба графика в одной декартовой системе координат.

На графике синим цветом показан график функции $y=x$, а красным цветом — график функции $y=\frac{1}{3}x^2$. Зелеными точками отмечены их точки пересечения, координаты которых соответствуют найденным алгебраически.

Ответ: Графики функций $y=x$ и $y=\frac{1}{3}x^2$ построены и представлены на рисунке выше.

3.139. Сколько точек пересечения имеют графики функций $y=a^2x$ и $y=b^2x^3$? Найдите координаты этих точек.

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y=a^2x$ и $y=b^2x^3$ необходимо решить систему уравнений, приравняв выражения для $y$:

$a^2x = b^2x^3$

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$b^2x^3 - a^2x = 0$

$x(b^2x^2 - a^2) = 0$

Это уравнение имеет решения $x = 0$ или $b^2x^2 - a^2 = 0$. Количество и координаты точек пересечения зависят от значений параметров $a$ и $b$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $a \ne 0$ и $b \ne 0$

В этом случае $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$. Уравнение $x(b^2x^2 - a^2) = 0$ имеет три различных корня. Первый корень: $x_1 = 0$. Второй и третий корни находим из уравнения $b^2x^2 = a^2$, откуда $x^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Так как $\frac{a^2}{b^2} > 0$, получаем $x_2 = \frac{a}{b}$ и $x_3 = -\frac{a}{b}$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y=a^2x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = a^2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = \frac{a}{b}$, $y_2 = a^2 \cdot (\frac{a}{b}) = \frac{a^3}{b}$. Точка пересечения: $(\frac{a}{b}, \frac{a^3}{b})$.

При $x_3 = -\frac{a}{b}$, $y_3 = a^2 \cdot (-\frac{a}{b}) = -\frac{a^3}{b}$. Точка пересечения: $(-\frac{a}{b}, -\frac{a^3}{b})$.

Ответ: Если $a \ne 0$ и $b \ne 0$, графики имеют три точки пересечения с координатами $(0, 0)$, $(\frac{a}{b}, \frac{a^3}{b})$ и $(-\frac{a}{b}, -\frac{a^3}{b})$.

Случай 2: Ровно один из параметров, $a$ или $b$, равен нулю

Если $a=0, b \ne 0$, уравнение принимает вид $b^2x^3 = 0$. Так как $b \ne 0$, единственным решением является $x=0$.

Если $a \ne 0, b=0$, уравнение принимает вид $-a^2x = 0$. Так как $a \ne 0$, единственным решением является $x=0$.

В обоих подслучаях единственная абсцисса точки пересечения — $x=0$. Соответствующая ордината $y = a^2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: Если ровно один из параметров ($a$ или $b$) равен нулю, графики имеют одну точку пересечения с координатами $(0, 0)$.

Случай 3: $a = 0$ и $b = 0$

В этом случае оба уравнения функций принимают вид $y=0$. Графики обеих функций совпадают с осью абсцисс (Ox). Следовательно, любая точка на этой оси является точкой пересечения.

Ответ: Если $a=0$ и $b=0$, графики функций совпадают, и у них бесконечно много точек пересечения. Координаты этих точек $(x, 0)$ для любого действительного числа $x$.

3.140. В одной системе координат начертите графики функций $y=2x$ и $y = \frac{1}{2} x^3$ и найдите координаты точек их пересечения.

Для решения этой задачи необходимо сначала построить графики обеих функций в одной координатной плоскости, а затем найти координаты их точек пересечения, решив систему уравнений.

Построение графиков функций

1. График функции $y=2x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Для её построения достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

Отмечаем точки $(-1, -2)$, $(0, 0)$ и $(2, 4)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

2. График функции $y=\frac{1}{2}x^3$ — это кубическая парабола, также проходящая через начало координат. Для её построения найдём несколько точек. Составим таблицу значений:

Отмечаем точки $(-2, -4)$, $(-1, -0.5)$, $(0, 0)$, $(1, 0.5)$ и $(2, 4)$ на той же координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

При построении видно, что графики пересекаются в трёх точках.

Нахождение координат точек пересечения

Для нахождения точных координат точек пересечения приравняем выражения для $y$ обеих функций:

$2x = \frac{1}{2}x^3$

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

$2x - \frac{1}{2}x^3 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4x - x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4 - x^2) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его на множители:

$x(2 - x)(2 + x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$

$2 - x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2$

$2 + x_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -2$

Теперь найдём соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в более простое уравнение $y=2x$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$. Точка пересечения: $(2, 4)$.

При $x_3 = -2$: $y_3 = 2 \cdot (-2) = -4$. Точка пересечения: $(-2, -4)$.

Ответ: Графики функций $y=2x$ и $y=\frac{1}{2}x^3$ пересекаются в трех точках с координатами: $(0, 0)$, $(2, 4)$ и $(-2, -4)$.

3.141. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2}{xy} = 0;$

2) $\frac{4y - x^2}{4 - x^2} = 0;$

3) $\frac{y - x^3}{y - 8} = 0.$

1)

Данное уравнение $\frac{y-x^2}{xy} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Таким образом, мы имеем систему условий:
$ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ xy \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат.

Второе условие $xy \neq 0$ означает, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Это значит, что точки, лежащие на осях координат, не могут принадлежать графику.

Найдем точки параболы $y = x^2$, которые нужно исключить.
Если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
Если $y = 0$, то $0 = x^2$, откуда $x = 0$. Снова получаем точку $(0, 0)$.

Следовательно, из графика параболы $y = x^2$ необходимо исключить (выколоть) точку $(0, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.

2)

Уравнение $\frac{4y-x^2}{4-x^2} = 0$ равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Составим систему условий:
$ \begin{cases} 4y - x^2 = 0 \\ 4 - x^2 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $4y = x^2$, или $y = \frac{1}{4}x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Из второго условия $4 - x^2 \neq 0$ следует, что $(2-x)(2+x) \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь найдем, какие точки нужно исключить из графика параболы $y = \frac{1}{4}x^2$.
При $x = 2$: $y = \frac{1}{4}(2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Исключаем точку $(2, 1)$.
При $x = -2$: $y = \frac{1}{4}(-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Исключаем точку $(-2, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = \frac{1}{4}x^2$ с выколотыми точками $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

3)

Данное уравнение $\frac{y-x^3}{y-8} = 0$ является дробью, равной нулю. Это возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Запишем систему условий:
$ \begin{cases} y - x^3 = 0 \\ y - 8 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $y = x^3$. Это уравнение кубической параболы, проходящей через начало координат.

Второе условие гласит, что $y \neq 8$.

Найдем точку на графике $y = x^3$, которую необходимо исключить. Для этого подставим $y = 8$ в уравнение графика:
$8 = x^3$
$x = \sqrt[3]{8}$
$x = 2$

Таким образом, из графика функции $y = x^3$ нужно исключить точку с координатами $(2, 8)$.

Ответ: Графиком уравнения является кубическая парабола $y = x^3$ с выколотой точкой $(2, 8)$.