Номер 3.140, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.140. В одной системе координат начертите графики функций $y=2x$ и $y = \frac{1}{2} x^3$ и найдите координаты точек их пересечения.

Для решения этой задачи необходимо сначала построить графики обеих функций в одной координатной плоскости, а затем найти координаты их точек пересечения, решив систему уравнений.

Построение графиков функций

1. График функции $y=2x$ — это прямая, проходящая через начало координат. Для её построения достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

Отмечаем точки $(-1, -2)$, $(0, 0)$ и $(2, 4)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

2. График функции $y=\frac{1}{2}x^3$ — это кубическая парабола, также проходящая через начало координат. Для её построения найдём несколько точек. Составим таблицу значений:

Отмечаем точки $(-2, -4)$, $(-1, -0.5)$, $(0, 0)$, $(1, 0.5)$ и $(2, 4)$ на той же координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

При построении видно, что графики пересекаются в трёх точках.

Нахождение координат точек пересечения

Для нахождения точных координат точек пересечения приравняем выражения для $y$ обеих функций:

$2x = \frac{1}{2}x^3$

Перенесём все члены в левую часть уравнения:

$2x - \frac{1}{2}x^3 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4x - x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4 - x^2) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его на множители:

$x(2 - x)(2 + x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$

$2 - x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2$

$2 + x_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -2$

Теперь найдём соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в более простое уравнение $y=2x$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$. Точка пересечения: $(2, 4)$.

При $x_3 = -2$: $y_3 = 2 \cdot (-2) = -4$. Точка пересечения: $(-2, -4)$.

Ответ: Графики функций $y=2x$ и $y=\frac{1}{2}x^3$ пересекаются в трех точках с координатами: $(0, 0)$, $(2, 4)$ и $(-2, -4)$.