Номер 3.139, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.139. Сколько точек пересечения имеют графики функций $y=a^2x$ и $y=b^2x^3$? Найдите координаты этих точек.

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y=a^2x$ и $y=b^2x^3$ необходимо решить систему уравнений, приравняв выражения для $y$:

$a^2x = b^2x^3$

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$b^2x^3 - a^2x = 0$

$x(b^2x^2 - a^2) = 0$

Это уравнение имеет решения $x = 0$ или $b^2x^2 - a^2 = 0$. Количество и координаты точек пересечения зависят от значений параметров $a$ и $b$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $a \ne 0$ и $b \ne 0$

В этом случае $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$. Уравнение $x(b^2x^2 - a^2) = 0$ имеет три различных корня. Первый корень: $x_1 = 0$. Второй и третий корни находим из уравнения $b^2x^2 = a^2$, откуда $x^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Так как $\frac{a^2}{b^2} > 0$, получаем $x_2 = \frac{a}{b}$ и $x_3 = -\frac{a}{b}$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y=a^2x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = a^2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = \frac{a}{b}$, $y_2 = a^2 \cdot (\frac{a}{b}) = \frac{a^3}{b}$. Точка пересечения: $(\frac{a}{b}, \frac{a^3}{b})$.

При $x_3 = -\frac{a}{b}$, $y_3 = a^2 \cdot (-\frac{a}{b}) = -\frac{a^3}{b}$. Точка пересечения: $(-\frac{a}{b}, -\frac{a^3}{b})$.

Ответ: Если $a \ne 0$ и $b \ne 0$, графики имеют три точки пересечения с координатами $(0, 0)$, $(\frac{a}{b}, \frac{a^3}{b})$ и $(-\frac{a}{b}, -\frac{a^3}{b})$.

Случай 2: Ровно один из параметров, $a$ или $b$, равен нулю

Если $a=0, b \ne 0$, уравнение принимает вид $b^2x^3 = 0$. Так как $b \ne 0$, единственным решением является $x=0$.

Если $a \ne 0, b=0$, уравнение принимает вид $-a^2x = 0$. Так как $a \ne 0$, единственным решением является $x=0$.

В обоих подслучаях единственная абсцисса точки пересечения — $x=0$. Соответствующая ордината $y = a^2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: Если ровно один из параметров ($a$ или $b$) равен нулю, графики имеют одну точку пересечения с координатами $(0, 0)$.

Случай 3: $a = 0$ и $b = 0$

В этом случае оба уравнения функций принимают вид $y=0$. Графики обеих функций совпадают с осью абсцисс (Ox). Следовательно, любая точка на этой оси является точкой пересечения.

Ответ: Если $a=0$ и $b=0$, графики функций совпадают, и у них бесконечно много точек пересечения. Координаты этих точек $(x, 0)$ для любого действительного числа $x$.