Номер 3.141, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.141. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2}{xy} = 0;$

2) $\frac{4y - x^2}{4 - x^2} = 0;$

3) $\frac{y - x^3}{y - 8} = 0.$

1)

Данное уравнение $\frac{y-x^2}{xy} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Таким образом, мы имеем систему условий:
$ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ xy \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат.

Второе условие $xy \neq 0$ означает, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Это значит, что точки, лежащие на осях координат, не могут принадлежать графику.

Найдем точки параболы $y = x^2$, которые нужно исключить.
Если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
Если $y = 0$, то $0 = x^2$, откуда $x = 0$. Снова получаем точку $(0, 0)$.

Следовательно, из графика параболы $y = x^2$ необходимо исключить (выколоть) точку $(0, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.

2)

Уравнение $\frac{4y-x^2}{4-x^2} = 0$ равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Составим систему условий:
$ \begin{cases} 4y - x^2 = 0 \\ 4 - x^2 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $4y = x^2$, или $y = \frac{1}{4}x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Из второго условия $4 - x^2 \neq 0$ следует, что $(2-x)(2+x) \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь найдем, какие точки нужно исключить из графика параболы $y = \frac{1}{4}x^2$.
При $x = 2$: $y = \frac{1}{4}(2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Исключаем точку $(2, 1)$.
При $x = -2$: $y = \frac{1}{4}(-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Исключаем точку $(-2, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = \frac{1}{4}x^2$ с выколотыми точками $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

3)

Данное уравнение $\frac{y-x^3}{y-8} = 0$ является дробью, равной нулю. Это возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Запишем систему условий:
$ \begin{cases} y - x^3 = 0 \\ y - 8 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $y = x^3$. Это уравнение кубической параболы, проходящей через начало координат.

Второе условие гласит, что $y \neq 8$.

Найдем точку на графике $y = x^3$, которую необходимо исключить. Для этого подставим $y = 8$ в уравнение графика:
$8 = x^3$
$x = \sqrt[3]{8}$
$x = 2$

Таким образом, из графика функции $y = x^3$ нужно исключить точку с координатами $(2, 8)$.

Ответ: Графиком уравнения является кубическая парабола $y = x^3$ с выколотой точкой $(2, 8)$.