Номер 3.137, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.137. Сколько точек пересечения могут иметь графики функций $y=ax^2$ и $y=bx^3$? Здесь $a$ и $b$ – заданные коэффициенты. Определите координаты этих точек при:

1) $a=2$; $b=-2$;

2) $a=\frac{1}{2}$; $b=\frac{1}{3}$.

Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций $y=ax^2$ и $y=bx^3$, необходимо найти общие решения для этой системы уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$:

$ax^2 = bx^3$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ax^2 - bx^3 = 0$

$x^2(a - bx) = 0$

Данное уравнение имеет решения, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$.

2) $a - bx = 0 \implies bx = a$.

Из первого уравнения мы всегда получаем корень $x=0$. Это означает, что графики всегда пересекаются в начале координат, в точке $(0,0)$, так как при $x=0$ обе функции принимают значение $y=0$.

Рассмотрим второе уравнение, $bx=a$.

• Если коэффициенты $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a}{b}$. В этом случае, поскольку $x = \frac{a}{b} \neq 0$, мы получаем вторую точку пересечения. Итого две точки пересечения.
• Если $a \neq 0$, а $b=0$, то уравнение принимает вид $0=a$, что является неверным равенством. Решений нет. В этом случае есть только одна точка пересечения $x=0$. Итого одна точка пересечения.
• Если $a = 0$, а $b \neq 0$, то $x = \frac{0}{b} = 0$. Этот корень совпадает с уже найденным. Итого одна точка пересечения.
• Если $a=0$ и $b=0$, то обе функции имеют вид $y=0$. Их графики совпадают (оба являются осью абсцисс), и они имеют бесконечно много точек пересечения.

Таким образом, в зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$, графики могут иметь одну, две или бесконечно много точек пересечения.

Теперь найдем координаты точек для заданных значений коэффициентов.

1) a=2; b=-2

Подставляем значения $a$ и $b$ в уравнение $x^2(a - bx) = 0$:

$x^2(2 - (-2)x) = 0$

$x^2(2 + 2x) = 0$

$2x^2(1 + x) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x^2=0 \implies x_1 = 0$

$1+x=0 \implies x_2 = -1$

Теперь находим соответствующие ординаты (координаты $y$), подставляя значения $x$ в любую из исходных функций, например, в $y=2x^2$.

Для $x_1=0$: $y_1 = 2 \cdot 0^2 = 0$. Координаты первой точки: $(0, 0)$.

Для $x_2=-1$: $y_2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$. Координаты второй точки: $(-1, 2)$.

Ответ: Две точки пересечения: $(0, 0)$ и $(-1, 2)$.

2) a = $\frac{1}{2}$; b = $\frac{1}{3}$

Подставляем значения $a$ и $b$ в уравнение $x^2(a - bx) = 0$:

$x^2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}x\right) = 0$

Находим абсциссы точек пересечения:

$x^2=0 \implies x_1 = 0$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}x = 0 \implies \frac{1}{3}x = \frac{1}{2} \implies x_2 = \frac{3}{2}$

Теперь находим соответствующие ординаты, подставляя значения $x$ в $y = \frac{1}{2}x^2$.

Для $x_1=0$: $y_1 = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$. Координаты первой точки: $(0, 0)$.

Для $x_2=\frac{3}{2}$: $y_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$. Координаты второй точки: $(\frac{3}{2}, \frac{9}{8})$.

Ответ: Две точки пересечения: $(0, 0)$ и $(\frac{3}{2}, \frac{9}{8})$.