Номер 3.138, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.138. Определите координаты точек пересечения графиков функций $y=ax$ и $y=bx^2$. Решите задачу при $a=1, b=\frac{1}{3}$ и начертите графики этих функций в одной системе координат.

Определение координат точек пересечения

Даны две функции: $y = ax$ и $y = bx^2$. Согласно условию, решим задачу при $a=1$ и $b=\frac{1}{3}$.

Подставляем заданные значения в уравнения функций:

1. Линейная функция: $y = x$

2. Квадратичная функция: $y = \frac{1}{3}x^2$

Для нахождения координат точек пересечения графиков необходимо приравнять правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ у обеих функций совпадают.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

Вынесем общий множитель $x$ за скобки для нахождения корней:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

1) $x_1 = 0$

2) $\frac{1}{3}x - 1 = 0 \implies \frac{1}{3}x = 1 \implies x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив полученные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение линейной функции $y=x$:

При $x_1 = 0$ получаем $y_1 = 0$.

При $x_2 = 3$ получаем $y_2 = 3$.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

Построение графиков функций

Для построения графиков в одной системе координат рассмотрим каждую функцию отдельно.

1. График функции $y=x$ — это прямая линия, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Она проходит через начало координат $(0,0)$ и, как мы уже выяснили, через точку $(3,3)$.

2. График функции $y=\frac{1}{3}x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Для более точного построения вычислим значения функции для нескольких точек:

Теперь построим оба графика в одной декартовой системе координат.

На графике синим цветом показан график функции $y=x$, а красным цветом — график функции $y=\frac{1}{3}x^2$. Зелеными точками отмечены их точки пересечения, координаты которых соответствуют найденным алгебраически.

Ответ: Графики функций $y=x$ и $y=\frac{1}{3}x^2$ построены и представлены на рисунке выше.