Вопросы, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. В каких координатных четвертях расположен график функции $y=\frac{k}{x}$

при:

а) $k>0$;

б) $k<0$?

2. Как расположены графики функций $y=\frac{k_1}{x}$ и $y=\frac{k_2}{x}$ при $0<k_1<k_2$?

1.

График функции $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола. Расположение ее ветвей зависит от знака коэффициента $k$. Для определения четвертей можно проанализировать знаки переменных $x$ и $y$ из соотношения $xy = k$.

а) При $k > 0$ произведение $xy$ должно быть положительным. Это возможно в двух случаях:

1. Когда $x > 0$ и $y > 0$. Это соответствует I координатной четверти.

2. Когда $x < 0$ и $y < 0$. Это соответствует III координатной четверти.

Ответ: При $k>0$ график функции расположен в I и III координатных четвертях.

б) При $k < 0$ произведение $xy$ должно быть отрицательным. Это возможно в двух случаях:

1. Когда $x < 0$ и $y > 0$. Это соответствует II координатной четверти.

2. Когда $x > 0$ и $y < 0$. Это соответствует IV координатной четверти.

Ответ: При $k<0$ график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

2.

Рассматриваются функции $y_1 = \frac{k_1}{x}$ и $y_2 = \frac{k_2}{x}$ при условии $0 < k_1 < k_2$.

Так как оба коэффициента $k_1$ и $k_2$ положительны, графики обеих функций, согласно решению в пункте 1(а), расположены в I и III координатных четвертях.

Для определения их взаимного расположения сравним значения функций при одинаковом значении аргумента $x \ne 0$. Возьмем исходное неравенство $k_1 < k_2$.

В I четверти, где $x > 0$, при делении обеих частей неравенства на $x$ знак неравенства сохраняется: $\frac{k_1}{x} < \frac{k_2}{x}$, то есть $y_1 < y_2$. Это означает, что в I четверти график функции $y = \frac{k_2}{x}$ расположен выше (дальше от оси Ox) графика $y = \frac{k_1}{x}$.

В III четверти, где $x < 0$, при делении обеих частей неравенства на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{k_1}{x} > \frac{k_2}{x}$, то есть $y_1 > y_2$. Поскольку в этой четверти оба значения $y$ отрицательны, это означает, что график $y = \frac{k_2}{x}$ расположен ниже (дальше от оси Ox) графика $y = \frac{k_1}{x}$.

Таким образом, ветви гиперболы $y=\frac{k_2}{x}$ (с большим коэффициентом) расположены дальше от осей координат, чем ветви гиперболы $y=\frac{k_1}{x}$.

Ответ: Оба графика расположены в I и III координатных четвертях. График функции $y = \frac{k_2}{x}$ расположен дальше от осей координат, чем график функции $y = \frac{k_1}{x}$.