Страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. В каких координатных четвертях расположен график функции $y=\frac{k}{x}$

при:

а) $k>0$;

б) $k<0$?

2. Как расположены графики функций $y=\frac{k_1}{x}$ и $y=\frac{k_2}{x}$ при $0<k_1<k_2$?

1.

График функции $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола. Расположение ее ветвей зависит от знака коэффициента $k$. Для определения четвертей можно проанализировать знаки переменных $x$ и $y$ из соотношения $xy = k$.

а) При $k > 0$ произведение $xy$ должно быть положительным. Это возможно в двух случаях:

1. Когда $x > 0$ и $y > 0$. Это соответствует I координатной четверти.

2. Когда $x < 0$ и $y < 0$. Это соответствует III координатной четверти.

Ответ: При $k>0$ график функции расположен в I и III координатных четвертях.

б) При $k < 0$ произведение $xy$ должно быть отрицательным. Это возможно в двух случаях:

1. Когда $x < 0$ и $y > 0$. Это соответствует II координатной четверти.

2. Когда $x > 0$ и $y < 0$. Это соответствует IV координатной четверти.

Ответ: При $k<0$ график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

2.

Рассматриваются функции $y_1 = \frac{k_1}{x}$ и $y_2 = \frac{k_2}{x}$ при условии $0 < k_1 < k_2$.

Так как оба коэффициента $k_1$ и $k_2$ положительны, графики обеих функций, согласно решению в пункте 1(а), расположены в I и III координатных четвертях.

Для определения их взаимного расположения сравним значения функций при одинаковом значении аргумента $x \ne 0$. Возьмем исходное неравенство $k_1 < k_2$.

В I четверти, где $x > 0$, при делении обеих частей неравенства на $x$ знак неравенства сохраняется: $\frac{k_1}{x} < \frac{k_2}{x}$, то есть $y_1 < y_2$. Это означает, что в I четверти график функции $y = \frac{k_2}{x}$ расположен выше (дальше от оси Ox) графика $y = \frac{k_1}{x}$.

В III четверти, где $x < 0$, при делении обеих частей неравенства на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{k_1}{x} > \frac{k_2}{x}$, то есть $y_1 > y_2$. Поскольку в этой четверти оба значения $y$ отрицательны, это означает, что график $y = \frac{k_2}{x}$ расположен ниже (дальше от оси Ox) графика $y = \frac{k_1}{x}$.

Таким образом, ветви гиперболы $y=\frac{k_2}{x}$ (с большим коэффициентом) расположены дальше от осей координат, чем ветви гиперболы $y=\frac{k_1}{x}$.

Ответ: Оба графика расположены в I и III координатных четвертях. График функции $y = \frac{k_2}{x}$ расположен дальше от осей координат, чем график функции $y = \frac{k_1}{x}$.

3.145. Дана функция $y = \frac{4}{x}$. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо использовать заданную функцию $y = \frac{4}{x}$. Для каждого столбца таблицы, где одна из ячеек пуста, мы вычислим недостающее значение, подставив известное значение в формулу.

Если известно значение аргумента $x$, то значение функции $y$ находится по формуле $y = \frac{4}{x}$.

Если известно значение функции $y$, то значение аргумента $x$ можно выразить из исходной формулы: $x \cdot y = 4$, откуда $x = \frac{4}{y}$.

Последовательно рассчитаем значения для всех пустых ячеек таблицы:

1. В первом столбце дан $x = -4$. Находим соответствующий $y$: $y = \frac{4}{-4} = -1$.

2. Во втором столбце дан $y = -2$. Находим соответствующий $x$: $x = \frac{4}{-2} = -2$.

3. В третьем столбце дан $x = -1$. Находим $y$: $y = \frac{4}{-1} = -4$.

4. В четвертом столбце дан $x = -0,5$. Находим $y$: $y = \frac{4}{-0,5} = -8$.

5. В пятом столбце дан $y = -16$. Находим $x$: $x = \frac{4}{-16} = -\frac{1}{4} = -0,25$.

6. В шестом столбце даны оба значения: $x = -0,25$ и $y = 8$. Эти значения не удовлетворяют уравнению функции, так как $\frac{4}{-0,25} = -16 \neq 8$. Поскольку в этом столбце нет пустых ячеек, мы оставляем его без изменений, предполагая наличие опечатки в условии задачи.

7. В седьмом столбце дан $y = 4$. Находим $x$: $x = \frac{4}{4} = 1$.

8. В восьмом столбце дан $y = 2$. Находим $x$: $x = \frac{4}{2} = 2$.

9. В девятом, последнем столбце дан $x = 4$. Находим $y$: $y = \frac{4}{4} = 1$.

Внесем все вычисленные и исходные значения в итоговую таблицу.

Ответ:

3.146. Принадлежат ли точки A(-0,05; -200), B(-0,1; 100), C(400; 0,25) и D(500; -0,02) графику функции $y = \frac{10}{x}$?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты $x$ и $y$ в уравнение функции $y = \frac{10}{x}$. Если в результате получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

A(-0,05; -200)

Подставляем $x = -0,05$ и $y = -200$ в уравнение функции:

$-200 = \frac{10}{-0,05}$

$-200 = -\frac{10}{5/100}$

$-200 = -\frac{10 \cdot 100}{5}$

$-200 = -\frac{1000}{5}$

$-200 = -200$

Получено верное равенство, следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

B(-0,1; 100)

Подставляем $x = -0,1$ и $y = 100$ в уравнение функции:

$100 = \frac{10}{-0,1}$

$100 = -100$

Получено неверное равенство, следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

C(400; 0,25)

Подставляем $x = 400$ и $y = 0,25$ в уравнение функции:

$0,25 = \frac{10}{400}$

$0,25 = \frac{1}{40}$

$0,25 = 0,025$

Получено неверное равенство, следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

D(500; -0,02)

Подставляем $x = 500$ и $y = -0,02$ в уравнение функции:

$-0,02 = \frac{10}{500}$

$-0,02 = \frac{1}{50}$

$-0,02 = 0,02$

Получено неверное равенство, следовательно, точка D не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

3.147. Используя график функции $y = \frac{2}{x}$, изображенный на рисунке 3.47, найдите:

1) значения $y$, соответствующие значениям $x$, равным $-4$; $-\frac{1}{2}$; $2$;

2) значения $x$, которым соответствуют значения $y$, равные $-2$; $0,5$; $4$.

Рис. 3.47

1) значения у, соответствующие значениям х, равным -4; $-\frac{1}{2}$; 2;

Чтобы найти значение y по заданному значению x, нужно найти на горизонтальной оси (оси x) заданную точку, затем провести из нее вертикальную линию до пересечения с графиком функции. От точки пересечения с графиком провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси y). Значение в точке пересечения с осью y и будет искомым. Для дополнительной проверки можно подставить значение x в формулу функции $y = \frac{2}{x}$.

- При $x = -4$: Находим на оси x значение -4. Двигаемся вертикально вниз до пересечения с графиком, а затем горизонтально вправо до оси y. Получаем значение $y = -0,5$.
Проверка по формуле: $y = \frac{2}{-4} = -0,5$.

- При $x = -\frac{1}{2}$ (или -0,5): Находим на оси x значение -0,5. Двигаемся вертикально вниз до пересечения с графиком, а затем горизонтально влево до оси y. Получаем значение $y = -4$.
Проверка по формуле: $y = \frac{2}{-1/2} = 2 \cdot (-2) = -4$.

- При $x = 2$: Находим на оси x значение 2. Двигаемся вертикально вверх до пересечения с графиком, а затем горизонтально влево до оси y. Получаем значение $y = 1$.
Проверка по формуле: $y = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: если $x=-4$, то $y=-0,5$; если $x=-\frac{1}{2}$, то $y=-4$; если $x=2$, то $y=1$.

2) значения х, которым соответствуют значения у, равные -2; 0,5; 4.

Чтобы найти значение x по заданному значению y, нужно найти на вертикальной оси (оси y) заданную точку, затем провести из нее горизонтальную линию до пересечения с графиком функции. От точки пересечения с графиком провести вертикальную линию до горизонтальной оси (оси x). Значение в точке пересечения с осью x и будет искомым. Для проверки можно выразить x из формулы функции $x = \frac{2}{y}$ и подставить заданное значение y.

- При $y = -2$: Находим на оси y значение -2. Двигаемся горизонтально вправо до пересечения с графиком, а затем вертикально вверх до оси x. Получаем значение $x = -1$.
Проверка по формуле: $x = \frac{2}{-2} = -1$.

- При $y = 0,5$: Находим на оси y значение 0,5. Двигаемся горизонтально вправо до пересечения с графиком, а затем вертикально вниз до оси x. Получаем значение $x = 4$.
Проверка по формуле: $x = \frac{2}{0,5} = 4$.

- При $y = 4$: Находим на оси y значение 4. Двигаемся горизонтально вправо до пересечения с графиком, а затем вертикально вниз до оси x. Получаем значение $x = 0,5$.
Проверка по формуле: $x = \frac{2}{4} = 0,5$.

Ответ: если $y=-2$, то $x=-1$; если $y=0,5$, то $x=4$; если $y=4$, то $x=0,5$.

3.148. Определите знак коэффициента k, если

график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен в:

1) I и III;

2) II и IV координатных четвертях.

Функция $y = \frac{k}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность. Её график — гипербола. Положение ветвей гиперболы на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$. Знак $k$ можно определить, проанализировав знаки координат $x$ и $y$ в соответствующих четвертях. Из уравнения функции следует, что $k = xy$.

1) График расположен в I и III координатных четвертях

В I координатной четверти абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) всех точек положительны, то есть $x > 0$ и $y > 0$. Следовательно, их произведение $k = xy$ также будет положительным: $k > 0$.

В III координатной четверти абсциссы и ординаты всех точек отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому $k = xy$ будет положительным: $k > 0$.

Таким образом, если ветви гиперболы находятся в I и III четвертях, коэффициент $k$ должен быть положительным.

Ответ: $k > 0$.

2) График расположен во II и IV координатных четвертях

Во II координатной четверти абсциссы точек отрицательны ($x < 0$), а ординаты положительны ($y > 0$). Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом, поэтому $k = xy$ будет отрицательным: $k < 0$.

В IV координатной четверти абсциссы точек положительны ($x > 0$), а ординаты отрицательны ($y < 0$). Произведение положительного и отрицательного чисел также является отрицательным числом, поэтому $k = xy$ будет отрицательным: $k < 0$.

Таким образом, если ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях, коэффициент $k$ должен быть отрицательным.

Ответ: $k < 0$.