Страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 4.1–4.6 по заданным таблицам абсолютных частот или относительных частот найдите:

1) арифметическое среднее значение;

2) моду и медиану.

4.1.

X: 2, 5, 7, 8

$m_i$: 1, 3, 2, 4

1) арифметическое среднее значение;

Для нахождения среднего арифметического значения для данных, представленных в виде таблицы абсолютных частот, используется формула взвешенного среднего:

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} X_i \cdot m_i}{\sum_{i=1}^{k} m_i}$

где $X_i$ – значения вариант (в данном случае 2, 5, 7, 8), а $m_i$ – соответствующие им абсолютные частоты (1, 3, 2, 4).

Сначала найдем общий объем выборки $n$, который равен сумме всех частот:

$n = \sum m_i = 1 + 3 + 2 + 4 = 10$

Далее вычислим сумму произведений каждого значения на его частоту:

$\sum X_i \cdot m_i = (2 \cdot 1) + (5 \cdot 3) + (7 \cdot 2) + (8 \cdot 4) = 2 + 15 + 14 + 32 = 63$

Теперь подставим найденные значения в формулу для среднего арифметического:

$\bar{X} = \frac{63}{10} = 6.3$

Ответ: среднее арифметическое значение равно 6.3.

2) моду и медиану.

Мода

Мода ($Мо$) – это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В таблице частот это значение, которому соответствует наибольшая частота.

В данном случае частоты равны 1, 3, 2 и 4. Наибольшая частота равна 4, и она соответствует значению $X = 8$.

Следовательно, мода выборки $Мо = 8$.

Медиана

Медиана ($Ме$) – это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию ряда данных.

Сначала представим данные в виде упорядоченного (вариационного) ряда, выписав каждое значение столько раз, какова его частота:

2, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 8

Общее количество элементов в ряду $n=10$. Так как количество элементов четное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Номера этих элементов определяются как $n/2$ и $n/2 + 1$.

Для нашей выборки это 5-й ($10/2=5$) и 6-й ($10/2 + 1 = 6$) элементы ряда.

В упорядоченном ряду 5-й элемент равен 7, и 6-й элемент также равен 7.

Рассчитаем медиану:

$Ме = \frac{7 + 7}{2} = 7$

Следовательно, медиана выборки равна 7.

Ответ: мода равна 8, медиана равна 7.

4.2. $X$ | 4 | 7 | 8

$m_i$ | 5 | 2 | 3

В задаче представлен дискретный вариационный ряд в виде таблицы распределения. В верхней строке ($X$) указаны значения вариант (наблюдаемые значения), а в нижней строке ($m_i$) — их частоты (сколько раз каждое значение встречается в выборке). Для полного анализа этого ряда необходимо найти его основные статистические характеристики.

а) Нахождение объема выборки и выборочного среднего

Объем выборки $n$ — это общее количество наблюдений, которое равно сумме всех частот:
$n = \sum m_i = 5 + 2 + 3 = 10$.
Выборочное среднее (или среднее арифметическое) $\bar{x}$ для дискретного ряда вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i m_i}{n}$
Подставим значения из таблицы:
$\bar{x} = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 8 \cdot 3}{10} = \frac{20 + 14 + 24}{10} = \frac{58}{10} = 5.8$.
Ответ: Объем выборки $n = 10$, выборочное среднее $\bar{x} = 5.8$.

б) Нахождение моды и медианы

Мода ($Mo$) — это значение из выборки, которое встречается наиболее часто. Из таблицы частот видно, что наибольшая частота $m=5$ соответствует значению $X=4$.
Следовательно, мода выборки равна 4.
Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Для ее нахождения сначала выпишем все значения выборки в порядке возрастания (ранжированный ряд):
4, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 8, 8, 8.
Объем выборки $n = 10$ является четным числом. В этом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов ряда. Номера этих элементов — $n/2$ и $n/2 + 1$.
То есть, нам нужны 5-й и 6-й элементы ряда.
Пятый элемент ряда $x_5 = 4$. Шестой элемент ряда $x_6 = 7$.
Вычисляем медиану:
$Me = \frac{x_5 + x_6}{2} = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$.
Ответ: Мода $Mo = 4$, медиана $Me = 5.5$.

в) Нахождение выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения

Выборочная дисперсия является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Различают смещенную и несмещенную (исправленную) выборочные дисперсии.
Смещенная выборочная дисперсия ($D_B$) вычисляется по формуле:
$D_B = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 m_i}{n}$
Рассчитаем сумму квадратов отклонений от среднего, используя найденное значение $\bar{x} = 5.8$:
$\sum (x_i - \bar{x})^2 m_i = (4 - 5.8)^2 \cdot 5 + (7 - 5.8)^2 \cdot 2 + (8 - 5.8)^2 \cdot 3$
$= (-1.8)^2 \cdot 5 + (1.2)^2 \cdot 2 + (2.2)^2 \cdot 3$
$= 3.24 \cdot 5 + 1.44 \cdot 2 + 4.84 \cdot 3 = 16.2 + 2.88 + 14.52 = 33.6$.
Теперь находим смещенную дисперсию:
$D_B = \frac{33.6}{10} = 3.36$.
Несмещенная (исправленная) выборочная дисперсия ($s^2$) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности и вычисляется по формуле:
$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 m_i}{n-1} = \frac{33.6}{10-1} = \frac{33.6}{9} = \frac{56}{15} \approx 3.73$.
Среднее квадратическое отклонение — это корень квадратный из дисперсии, который показывает, насколько в среднем значения отклоняются от центра распределения.
Смещенное среднее квадратическое отклонение:
$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{3.36} \approx 1.83$.
Несмещенное (исправленное) среднее квадратическое отклонение:
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{56}{15}} \approx \sqrt{3.733...} \approx 1.93$.
Ответ: Смещенная выборочная дисперсия $D_B = 3.36$; несмещенная выборочная дисперсия $s^2 = \frac{56}{15} \approx 3.73$. Смещенное среднее квадратическое отклонение $\sigma_B \approx 1.83$; несмещенное среднее квадратическое отклонение $s \approx 1.93$.

4.3. $X$, 2, 3, 5, 6

$m_i$, 10, 15, 5, 20

На основе предоставленной таблицы распределения частот найдем основные статистические характеристики выборки.

Объем выборки $n$ равен сумме всех частот $m_i$. В данном случае имеем частоты для каждого значения $X$:

• Для $X=2$, частота $m_1 = 10$
• Для $X=3$, частота $m_2 = 15$
• Для $X=5$, частота $m_3 = 5$
• Для $X=6$, частота $m_4 = 20$

Следовательно, объем выборки равен:

$n = \sum m_i = 10 + 15 + 5 + 20 = 50$

Ответ: Объем выборки равен 50.

Мода ($Mo$) — это значение признака ($X$), которое встречается в выборке наиболее часто. Для нахождения моды необходимо найти наибольшую частоту $m_i$ в таблице.

Среди данных частот (10, 15, 5, 20) наибольшей является частота 20.

Это значение частоты соответствует значению $X = 6$.

Ответ: Мода $Mo = 6$.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную по возрастанию выборку на две равные по количеству части. Так как объем выборки $n=50$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, то есть элементов, стоящих на позициях $n/2$ и $n/2 + 1$.

Номера позиций: $50/2 = 25$ и $50/2 + 1 = 26$.

Чтобы найти значения этих элементов, составим таблицу накопленных частот:

• Значение $X=2$ (частота 10) занимает позиции в упорядоченном ряду с 1 по 10.
• Значение $X=3$ (частота 15) занимает позиции с 11 по $10+15=25$.
• Значение $X=5$ (частота 5) занимает позиции с 26 по $25+5=30$.
• Значение $X=6$ (частота 20) занимает позиции с 31 по $30+20=50$.

Из таблицы накопленных частот видно, что 25-й элемент выборки равен 3, а 26-й элемент равен 5.

Тогда медиана вычисляется как:

$Me = \frac{x_{25} + x_{26}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Ответ: Медиана $Me = 4$.

Выборочное среднее ($\bar{X}$) вычисляется по формуле:

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i m_i}{n}$

где $x_i$ — значения вариант, $m_i$ — их частоты, $n$ — объем выборки.

Найдем сумму произведений значений на их частоты:

$\sum x_i m_i = (2 \cdot 10) + (3 \cdot 15) + (5 \cdot 5) + (6 \cdot 20) = 20 + 45 + 25 + 120 = 210$

Подставим известные значения в формулу среднего:

$\bar{X} = \frac{210}{50} = 4.2$

Ответ: Выборочное среднее $\bar{X} = 4.2$.

Выборочная дисперсия ($D_B$) — это мера разброса данных, равная среднему арифметическому квадратов отклонений значений выборки от их среднего. Она вычисляется по формуле:

$D_B = \overline{X^2} - (\bar{X})^2 = \frac{\sum x_i^2 m_i}{n} - (\bar{X})^2$

Воспользуемся этой формулой, так как она удобнее для расчетов. Сначала найдем $\overline{X^2}$ (среднее значение квадратов вариант):

$\sum x_i^2 m_i = (2^2 \cdot 10) + (3^2 \cdot 15) + (5^2 \cdot 5) + (6^2 \cdot 20) = (4 \cdot 10) + (9 \cdot 15) + (25 \cdot 5) + (36 \cdot 20) = 40 + 135 + 125 + 720 = 1020$

Теперь вычислим $\overline{X^2}$:

$\overline{X^2} = \frac{1020}{50} = 20.4$

Мы уже знаем, что $\bar{X} = 4.2$, следовательно, $(\bar{X})^2 = (4.2)^2 = 17.64$.

Теперь можем найти дисперсию:

$D_B = 20.4 - 17.64 = 2.76$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma_B$) — это корень квадратный из дисперсии, показывающий, насколько в среднем значения отклоняются от среднего.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{2.76} \approx 1.661$

Округлим до сотых: $\sigma_B \approx 1.66$.

Ответ: Выборочная дисперсия $D_B = 2.76$; среднее квадратическое отклонение $\sigma_B \approx 1.66$.

4.4. X 15 20 25 30 5

$m_i$ 10 15 30 20 5

На изображении представлен дискретный статистический ряд распределения. Первая строка таблицы (X) — это значения (варианты) случайной величины, а вторая строка ($m_i$) — их частоты. Для полного анализа этого ряда необходимо вычислить его основные статистические характеристики.

Исходные данные:

а) Построение вариационного ряда и определение объема выборки

Для удобства расчетов и анализа упорядочим значения X по возрастанию. Такой ряд называется вариационным.

Объем выборки $n$ равен сумме всех частот: $n = \sum m_i = 5 + 10 + 15 + 30 + 20 = 80$.

Ответ: Вариационный ряд представлен в таблице выше, объем выборки $n = 80$.

б) Нахождение моды и медианы

Мода ($Mo$) — это значение с наибольшей частотой. Из вариационного ряда видно, что максимальная частота $m_{max} = 30$ соответствует значению $x = 25$.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Объем выборки $n = 80$ — четное число, поэтому медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов с номерами $n/2=40$ и $n/2+1=41$. Для их нахождения составим таблицу накопленных частот:

Из таблицы следует, что элементы с 31-го по 60-й равны 25. Таким образом, 40-й и 41-й элементы выборки равны 25. $Me = \frac{25 + 25}{2} = 25$.

Ответ: Мода $Mo = 25$, медиана $Me = 25$.

в) Вычисление выборочной средней

Выборочная средняя ($\bar{x}$) вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{\sum x_i m_i}{n}$.

Вычислим сумму произведений значений на их частоты, используя данные из вариационного ряда: $\sum x_i m_i = (5 \cdot 5) + (15 \cdot 10) + (20 \cdot 15) + (25 \cdot 30) + (30 \cdot 20) = 25 + 150 + 300 + 750 + 600 = 1825$.

Найдем среднее, разделив сумму на объем выборки $n = 80$: $\bar{x} = \frac{1825}{80} = 22.8125$.

Ответ: Выборочная средняя $\bar{x} = 22.8125$.

г) Вычисление выборочной дисперсии и стандартного отклонения

Выборочная (несмещенная) дисперсия ($s^2$) является мерой разброса данных и вычисляется по формуле: $s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum m_i x_i^2 - n \bar{x}^2 \right)$.

Сначала найдем сумму произведений квадратов значений на их частоты: $\sum m_i x_i^2 = 5 \cdot 5^2 + 10 \cdot 15^2 + 15 \cdot 20^2 + 30 \cdot 25^2 + 20 \cdot 30^2$ $= 125 + 2250 + 6000 + 18750 + 18000 = 45125$.

Теперь подставим все значения в формулу для дисперсии: $s^2 = \frac{1}{80-1} \left( 45125 - 80 \cdot (22.8125)^2 \right) = \frac{1}{79} \left( 45125 - 41632.8125 \right) = \frac{3492.1875}{79} \approx 44.2049$.

Выборочное стандартное (среднее квадратическое) отклонение ($s$) — это квадратный корень из дисперсии: $s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{44.2049} \approx 6.6487$.

Ответ: Выборочная дисперсия $s^2 \approx 44.20$, выборочное стандартное отклонение $s \approx 6.65$.

4.5. $X$: 2, 4, 5, 7, 10

$w_i$: 0,15, 0,2, 0,1, 0,1, 0,45

Для заданного в таблице ряда распределения дискретной случайной величины X найдем ее основные числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Вначале выполним проверку корректности ряда распределения. Сумма всех относительных частот (вероятностей) $ω_i$ должна быть равна единице.

$\sum ω_i = 0,15 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,45 = 1,0$

Условие выполняется, следовательно, ряд распределения задан верно.

а) Найти математическое ожидание $M(X)$

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Формула для расчета:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot ω_i$

Подставляем значения из таблицы:

$M(X) = 2 \cdot 0,15 + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,1 + 10 \cdot 0,45 = 0,3 + 0,8 + 0,5 + 0,7 + 4,5 = 6,8$

Ответ: $M(X) = 6,8$

б) Найти дисперсию $D(X)$

Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Для ее вычисления воспользуемся формулой:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot ω_i$

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,15 + 4^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,1 + 7^2 \cdot 0,1 + 10^2 \cdot 0,45$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,15 + 16 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,1 + 49 \cdot 0,1 + 100 \cdot 0,45 = 0,6 + 3,2 + 2,5 + 4,9 + 45 = 56,2$

Теперь, используя найденные значения $M(X) = 6,8$ и $M(X^2) = 56,2$, вычисляем дисперсию:

$D(X) = 56,2 - (6,8)^2 = 56,2 - 46,24 = 9,96$

Ответ: $D(X) = 9,96$

в) Найти среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряет разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина.

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставляем ранее вычисленное значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{9,96} \approx 3,156$

Ответ: $\sigma(X) \approx 3,156$

4.6. X: 1, 4, 5, 8, 9

$\omega_i$: 0,15, 0,25, 0,3, 0,2, 0,1

В задаче 4.6 представлен закон распределения дискретной случайной величины X. Поскольку конкретный вопрос отсутствует, найдем ее основные числовые характеристики и построим функцию распределения.

Закон распределения задан таблицей:

Проверим корректность задания закона распределения. Сумма всех вероятностей (относительных частот) $\omega_i$ должна быть равна единице.
$\sum \omega_i = 0,15 + 0,25 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1,0$.
Условие выполняется, распределение задано корректно.

Математическое ожидание M(X)

Математическое ожидание (или среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Формула:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \omega_i$
Подставим значения из таблицы:
$M(X) = 1 \cdot 0,15 + 4 \cdot 0,25 + 5 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,1$
$M(X) = 0,15 + 1,0 + 1,5 + 1,6 + 0,9 = 5,15$
Ответ: $M(X) = 5,15$.

Дисперсия D(X)

Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Формула для вычисления:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$
Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot \omega_i$
$M(X^2) = 1^2 \cdot 0,15 + 4^2 \cdot 0,25 + 5^2 \cdot 0,3 + 8^2 \cdot 0,2 + 9^2 \cdot 0,1$
$M(X^2) = (1 \cdot 0,15) + (16 \cdot 0,25) + (25 \cdot 0,3) + (64 \cdot 0,2) + (81 \cdot 0,1)$
$M(X^2) = 0,15 + 4,0 + 7,5 + 12,8 + 8,1 = 32,55$
Теперь, используя найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$, вычислим дисперсию:
$D(X) = 32,55 - (5,15)^2 = 32,55 - 26,5225 = 6,0275$
Ответ: $D(X) = 6,0275$.

Среднеквадратическое отклонение $\sigma(X)$

Среднеквадратическое (или стандартное) отклонение — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина.
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$
$\sigma(X) = \sqrt{6,0275} \approx 2,4551$
Ответ: $\sigma(X) \approx 2,4551$.

Мода (Mo) и медиана (Me)

Мода (Mo) — это наиболее вероятное значение случайной величины. Из таблицы видно, что наибольшую вероятность $\omega_{max} = 0,3$ имеет значение $X=5$.
Медиана (Me) — это такое значение $x_k$, что вероятность того, что случайная величина примет значение не больше $x_k$, не меньше 0,5, и вероятность того, что она примет значение не меньше $x_k$, также не меньше 0,5. Для нахождения медианы вычислим накопленные вероятности:
$P(X \le 1) = 0,15$
$P(X \le 4) = 0,15 + 0,25 = 0,40$
$P(X \le 5) = 0,40 + 0,30 = 0,70$
Поскольку $P(X \le 4) = 0,40 < 0,5$, а $P(X \le 5) = 0,70 \ge 0,5$, медианой является значение $Me=5$.
Ответ: Мода $Mo = 5$, Медиана $Me = 5$.

Интегральная функция распределения F(x)

Интегральная функция распределения $F(x)$ определяет для каждого значения $x$ вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное $x$.
Найдем значения функции $F(x)$ для всех действительных $x$:
- при $x \le 1$, $F(x) = P(X \le x) = 0$.
- при $1 < x \le 4$, $F(x) = P(X \le x) = P(X=1) = 0,15$.
- при $4 < x \le 5$, $F(x) = P(X \le x) = P(X=1) + P(X=4) = 0,15 + 0,25 = 0,40$.
- при $5 < x \le 8$, $F(x) = P(X \le x) = 0,40 + P(X=5) = 0,40 + 0,3 = 0,70$.
- при $8 < x \le 9$, $F(x) = P(X \le x) = 0,70 + P(X=8) = 0,70 + 0,2 = 0,90$.
- при $x > 9$, $F(x) = P(X \le x) = 0,90 + P(X=9) = 0,90 + 0,1 = 1,0$.
Таким образом, функция распределения имеет ступенчатый вид:
$ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \le 1 \\ 0,15, & \text{при } 1 < x \le 4 \\ 0,40, & \text{при } 4 < x \le 5 \\ 0,70, & \text{при } 5 < x \le 8 \\ 0,90, & \text{при } 8 < x \le 9 \\ 1, & \text{при } x > 9 \end{cases} $
Ответ: Функция распределения $F(x)$ задается приведенной выше системой.

4.7. Длиной слова называется количество букв, из которых оно состоит. Из всех длин слов в тексте гимна Казахстана составьте:

1) таблицу абсолютных частот;

2) таблицу относительных частот;

3) объем и размах выборки;

4) арифметическое среднее значение;

5) моду и медиану.

Для выполнения задания сначала необходимо получить исходные данные — длины слов в тексте государственного гимна Республики Казахстан. Официальный текст гимна на казахском языке (на кириллице):

Алтын күн аспаны,

Алтын дән даласы,

Ерліктің дастаны,

Еліме қарашы!

Ежелден ер деген,

Даңқымыз шықты ғой,

Намысын бермеген,

Қазағым мықты ғой!

Қайырмасы:

Менің елім, менің елім,

Гүлің болып егілемін,

Жырың болып төгілемін, елім!

Туған жерім менің — Қазақстаным!

Подсчитаем количество букв в каждом слове, игнорируя знаки препинания и слово "Қайырмасы" (Припев), так как оно является структурным элементом, а не частью лирики. Слово "Қазақстаным", написанное через тире, считаем одним словом.

Получим следующий набор длин слов (статистическую выборку):

5, 3, 6, 5, 3, 6, 8, 8, 5, 6, 7, 2, 5, 8, 5, 3, 7, 8, 7, 5, 3, 5, 4, 5, 4, 5, 5, 8, 5, 5, 9, 4, 5, 5, 5, 11.

Теперь упорядочим этот ряд по возрастанию:

2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 11.

На основе этих данных выполним все пункты задания.

1) таблицу абсолютных частот;

Абсолютная частота — это количество повторений каждого уникального значения (длины слова) в выборке. Составим таблицу, где $x_i$ — длина слова, а $n_i$ — абсолютная частота.

Ответ: Таблица абсолютных частот представлена выше.

2) таблицу относительных частот;

Относительная частота ($W_i$) вычисляется как отношение абсолютной частоты к общему объему выборки ($N$). В данном случае, объем выборки $N = 36$. Формула: $W_i = \frac{n_i}{N}$.

Ответ: Таблица относительных частот представлена выше.

3) объем и размах выборки;

Объем выборки ($N$) — это общее количество элементов в выборке. Мы подсчитали 36 слов в тексте гимна.

$N = 36$

Размах выборки ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке.

Минимальная длина слова: $x_{min} = 2$.

Максимальная длина слова: $x_{max} = 11$.

Размах вычисляется по формуле: $R = x_{max} - x_{min}$.

$R = 11 - 2 = 9$

Ответ: Объем выборки равен 36, размах выборки равен 9.

4) арифметическое среднее значение;

Арифметическое среднее значение ($\bar{x}$) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество. Удобнее использовать взвешенную формулу с использованием таблицы частот: $\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}$.

Вычислим сумму произведений длин слов на их частоты:

$\sum (x_i \cdot n_i) = (2 \cdot 1) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 3) + (5 \cdot 15) + (6 \cdot 3) + (7 \cdot 3) + (8 \cdot 5) + (9 \cdot 1) + (11 \cdot 1)$

$\sum (x_i \cdot n_i) = 2 + 12 + 12 + 75 + 18 + 21 + 40 + 9 + 11 = 200$

Теперь разделим эту сумму на объем выборки $N = 36$:

$\bar{x} = \frac{200}{36} = \frac{50}{9} \approx 5.56$

Ответ: Арифметическое среднее значение длины слова в гимне равно $\frac{50}{9}$ или примерно 5.56.

5) моду и медиану.

Мода ($Mo$) — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. Обратившись к таблице абсолютных частот, мы видим, что длина слова "5" имеет наибольшую частоту (15).

$Mo = 5$

Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Поскольку у нас четное число элементов ($N = 36$), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Их номера: $\frac{N}{2}$ и $\frac{N}{2} + 1$.

Это 18-й и 19-й элементы упорядоченного ряда.

Наш упорядоченный ряд: 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 11.

18-й элемент равен 5.

19-й элемент равен 5.

Вычисляем медиану:

$Me = \frac{5 + 5}{2} = 5$

Ответ: Мода выборки равна 5, медиана выборки равна 5.

4.8. Выпишите все свои оценки по каждому предмету за II-ю четверть и с их помощью составьте (по каждому предмету):

1) таблицу абсолютных частот;

2) таблицу относительных частот;

3) арифметическое среднее значение.

Поскольку ваши личные оценки неизвестны, в качестве примера будет рассмотрено решение задачи на вымышленных данных по нескольким предметам. Вы можете следовать этому образцу, подставив свои предметы и оценки.

Предмет: Математика

Допустим, за II четверть по математике были получены следующие оценки (всего $10$ штук): 5, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 2, 4, 5.

1) таблицу абсолютных частот

Абсолютная частота — это количество раз, которое встречается каждая оценка в ряду данных. Подсчитаем для нашего примера и составим таблицу:

Ответ: таблица абсолютных частот для оценок по математике представлена выше.

2) таблицу относительных частот

Относительная частота — это отношение абсолютной частоты к общему числу данных. Она вычисляется по формуле: $W = \frac{f}{N}$, где $f$ — абсолютная частота, а $N$ — общее количество оценок (в нашем случае $N=10$).

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1: $0.1 + 0.1 + 0.4 + 0.4 = 1.0$.

Ответ: таблица относительных частот для оценок по математике представлена выше.

3) арифметическое среднее значение

Арифметическое среднее (или средний балл) — это сумма всех оценок, деленная на их количество. Формула: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$.

Сумма всех оценок: $5 + 4 + 5 + 3 + 4 + 4 + 5 + 2 + 4 + 5 = 41$.

Количество оценок: $N = 10$.

Среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{41}{10} = 4.1$.

Ответ: арифметическое среднее значение оценок по математике равно $4.1$.

Предмет: Русский язык

Допустим, за II четверть были получены следующие оценки (всего $9$ штук): 4, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 5, 4.

1) таблицу абсолютных частот

Ответ: таблица абсолютных частот для оценок по русскому языку представлена выше.

2) таблицу относительных частот

Рассчитаем относительные частоты для $N=9$:

Сумма частот: $0.111 + 0.556 + 0.333 = 1.0$.

Ответ: таблица относительных частот для оценок по русскому языку представлена выше.

3) арифметическое среднее значение

Сумма всех оценок: $4 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 4 + 5 + 4 = 38$.

Количество оценок: $N = 9$.

Среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{38}{9} \approx 4.222$.

Ответ: арифметическое среднее значение оценок по русскому языку примерно равно $4.22$.

4.9. Найдите $m$ и объем выборки, если среднее арифметическое значение выборки из следующей таблицы равно $\bar{X} = -0,3$.

$X_i$: -5, 2, 3, 4

$m_i$: 4, 3, 1, $m$

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения среднего арифметического значения выборки, представленной в виде частотной таблицы (среднее взвешенное):

$ \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} X_i m_i}{n} $

где $X_i$ — значения вариант (элементов выборки), $m_i$ — их частоты (сколько раз значение встречается в выборке), а $n$ — объем выборки, который равен сумме всех частот: $n = \sum_{i=1}^{k} m_i$.

Из таблицы и условия задачи нам известны следующие данные:

• $X_1 = -5$, $m_1 = 4$
• $X_2 = 2$, $m_2 = 3$
• $X_3 = 3$, $m_3 = 1$
• $X_4 = 4$, $m_4 = m$
• Среднее арифметическое значение $\bar{X} = -0,3$.

Сначала найдем выражения для числителя и знаменателя формулы среднего арифметического, используя данные из таблицы.

Сумма произведений значений на их частоты (числитель):

$\sum X_i m_i = (-5) \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot m = -20 + 6 + 3 + 4m = -11 + 4m$

Объем выборки $n$ (знаменатель) равен сумме частот:

$n = \sum m_i = 4 + 3 + 1 + m = 8 + m$

Теперь подставим эти выражения и известное значение $\bar{X}$ в формулу, чтобы составить уравнение для нахождения неизвестной частоты $m$:

$\bar{X} = \frac{\sum X_i m_i}{n} \implies -0,3 = \frac{-11 + 4m}{8 + m}$

Решим полученное уравнение относительно $m$:

$-0,3 \cdot (8 + m) = -11 + 4m$

$-2,4 - 0,3m = -11 + 4m$

Перенесем слагаемые с $m$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$4m + 0,3m = 11 - 2,4$

$4,3m = 8,6$

$m = \frac{8,6}{4,3}$

$m = 2$

Теперь, зная значение $m$, мы можем найти объем выборки $n$:

$n = 8 + m = 8 + 2 = 10$

Ответ: $m=2$, объем выборки равен 10.

4.10. Дана таблица относительных частот случайной величины:

$X_i$ | -2 | -1 | 1 | $x_4$
$\omega_i$ | 0,3 | 0,1 | 0,2 | $p$

Найдите $p$ и $x_4$, если $\bar{X}=1,1$.

Для решения данной задачи необходимо использовать два свойства распределения относительных частот: сумму относительных частот и формулу для нахождения выборочного среднего.

Нахождение p

Сумма всех относительных частот ($\omega_i$) в любом распределении всегда равна 1. Это можно выразить формулой: $\sum \omega_i = 1$.

Применим это свойство к данным из таблицы:

$\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4 = 1$

$0,3 + 0,1 + 0,2 + p = 1$

Сложим известные значения:

$0,6 + p = 1$

Отсюда найдем $p$:

$p = 1 - 0,6$

$p = 0,4$

Ответ: $p = 0,4$.

Нахождение x₄

Выборочное среднее ($\bar{X}$) случайной величины вычисляется как сумма произведений каждого значения величины ($X_i$) на его относительную частоту ($\omega_i$). Формула для выборочного среднего:

$\bar{X} = \sum X_i \omega_i$

По условию, $\bar{X} = 1,1$. Подставим в формулу все известные значения из таблицы, а также найденное значение $p = 0,4$:

$\bar{X} = X_1 \omega_1 + X_2 \omega_2 + X_3 \omega_3 + X_4 \omega_4$

$1,1 = (-2) \cdot 0,3 + (-1) \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + x_4 \cdot 0,4$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$1,1 = -0,6 - 0,1 + 0,2 + 0,4x_4$

$1,1 = -0,7 + 0,2 + 0,4x_4$

$1,1 = -0,5 + 0,4x_4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x_4$:

$0,4x_4 = 1,1 + 0,5$

$0,4x_4 = 1,6$

$x_4 = \frac{1,6}{0,4}$

$x_4 = 4$

Ответ: $x_4 = 4$.