Номер 4.9, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.9. Найдите $m$ и объем выборки, если среднее арифметическое значение выборки из следующей таблицы равно $\bar{X} = -0,3$.

$X_i$: -5, 2, 3, 4

$m_i$: 4, 3, 1, $m$

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения среднего арифметического значения выборки, представленной в виде частотной таблицы (среднее взвешенное):

$ \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} X_i m_i}{n} $

где $X_i$ — значения вариант (элементов выборки), $m_i$ — их частоты (сколько раз значение встречается в выборке), а $n$ — объем выборки, который равен сумме всех частот: $n = \sum_{i=1}^{k} m_i$.

Из таблицы и условия задачи нам известны следующие данные:

• $X_1 = -5$, $m_1 = 4$
• $X_2 = 2$, $m_2 = 3$
• $X_3 = 3$, $m_3 = 1$
• $X_4 = 4$, $m_4 = m$
• Среднее арифметическое значение $\bar{X} = -0,3$.

Сначала найдем выражения для числителя и знаменателя формулы среднего арифметического, используя данные из таблицы.

Сумма произведений значений на их частоты (числитель):

$\sum X_i m_i = (-5) \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot m = -20 + 6 + 3 + 4m = -11 + 4m$

Объем выборки $n$ (знаменатель) равен сумме частот:

$n = \sum m_i = 4 + 3 + 1 + m = 8 + m$

Теперь подставим эти выражения и известное значение $\bar{X}$ в формулу, чтобы составить уравнение для нахождения неизвестной частоты $m$:

$\bar{X} = \frac{\sum X_i m_i}{n} \implies -0,3 = \frac{-11 + 4m}{8 + m}$

Решим полученное уравнение относительно $m$:

$-0,3 \cdot (8 + m) = -11 + 4m$

$-2,4 - 0,3m = -11 + 4m$

Перенесем слагаемые с $m$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$4m + 0,3m = 11 - 2,4$

$4,3m = 8,6$

$m = \frac{8,6}{4,3}$

$m = 2$

Теперь, зная значение $m$, мы можем найти объем выборки $n$:

$n = 8 + m = 8 + 2 = 10$

Ответ: $m=2$, объем выборки равен 10.