Номер 4.13, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.13. 42 42 41 49 42

41 49 42 41 42

45 42 42 41 49

40 45 41 44 44

41 45 42 43 43

Для анализа представленной выборки данных выполним ряд стандартных статистических процедур. Объем выборки составляет $n=25$ элементов.

Исходный ряд данных:

42, 42, 41, 49, 42, 41, 49, 42, 41, 42, 45, 42, 42, 41, 49, 40, 45, 41, 44, 44, 41, 45, 42, 43, 43.

1. Построение вариационного ряда и таблицы частот

В первую очередь, упорядочим данные по возрастанию, чтобы получить вариационный ряд. Это позволит упростить дальнейшие вычисления.

Вариационный ряд:

40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 49, 49, 49.

Далее сгруппируем данные и составим частотную таблицу, которая показывает, сколько раз каждое значение (варианта) встречается в выборке. В таблицу также добавим относительные частоты.

2. Нахождение моды

Мода ($M_o$) — это значение признака, которое встречается в выборке наиболее часто. Из таблицы частот видно, что значение 42 имеет наибольшую частоту, равную 8.

Ответ: $M_o = 42$.

3. Нахождение медианы

Медиана ($M_e$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Поскольку объем выборки $n = 25$ (нечетное число), порядковый номер медианы вычисляется по формуле $N_{Me} = (n+1)/2$.

$N_{Me} = (25 + 1) / 2 = 13$.

Следовательно, медиана — это 13-й элемент в вариационном ряду. Подсчитав элементы, находим, что 13-й элемент равен 42.

Ответ: $M_e = 42$.

4. Вычисление среднего арифметического

Среднее арифметическое (или выборочное среднее $\bar{x}$) — это отношение суммы всех значений выборки к их числу. Для сгруппированных данных используется формула:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$

Вычислим сумму произведений вариант на их частоты, используя данные из таблицы:

$\sum x_i n_i = (40 \cdot 1) + (41 \cdot 6) + (42 \cdot 8) + (43 \cdot 2) + (44 \cdot 2) + (45 \cdot 3) + (49 \cdot 3) = 40 + 246 + 336 + 86 + 88 + 135 + 147 = 1078$

Теперь найдем среднее значение:

$\bar{x} = \frac{1078}{25} = 43.12$

Ответ: $\bar{x} = 43.12$.

5. Нахождение размаха вариации

Размах вариации ($R$) — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями в выборке. Он дает простейшее представление о разбросе данных.

$R = x_{max} - x_{min} = 49 - 40 = 9$

Ответ: $R = 9$.

6. Вычисление дисперсии

Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных, представляющая собой средний квадрат отклонений значений от их среднего арифметического. Формула для расчета:

$D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$

Используя найденное среднее $\bar{x} = 43.12$, вычислим сумму квадратов отклонений:

$\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i = (40 - 43.12)^2 \cdot 1 + (41 - 43.12)^2 \cdot 6 + (42 - 43.12)^2 \cdot 8 + (43 - 43.12)^2 \cdot 2 + (44 - 43.12)^2 \cdot 2 + (45 - 43.12)^2 \cdot 3 + (49 - 43.12)^2 \cdot 3$

$= 9.7344 + 26.9664 + 10.0352 + 0.0288 + 1.5488 + 10.6032 + 103.7232 = 162.64$

Теперь вычислим дисперсию:

$D = \frac{162.64}{25} = 6.5056$

Ответ: $D = 6.5056$.

7. Вычисление среднего квадратического отклонения

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Этот показатель измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, и показывает среднее отклонение значений от среднего.

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{6.5056} \approx 2.5506$

Ответ: $\sigma \approx 2.55$.