Номер 4.14, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.14. 55 56 56 58 57
59 57 58 56 58
58 56 59 57 59
57 55 56 59 57
56 58 56 59 59

Для представленной в задаче выборки данных проведем полный статистический анализ, который обычно включает построение вариационных рядов, нахождение мер центральной тенденции и мер разброса.

Исходная выборка содержит 25 элементов ($n=25$):
55, 56, 56, 58, 57, 59, 57, 58, 56, 58, 58, 56, 59, 57, 59, 57, 55, 56, 59, 57, 56, 58, 56, 59, 59.

а) Составить вариационный и статистический ряды

Сначала упорядочим все значения выборки по возрастанию, чтобы получить вариационный (или ранжированный) ряд.

Вариационный ряд:
55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59.

Теперь на основе вариационного ряда составим статистический ряд в виде таблицы частот. В ней для каждого уникального значения (варианты $x_i$) указывается, сколько раз оно встречается в выборке (абсолютная частота $n_i$), а также его доля в общем объеме выборки (относительная частота $W_i$).

Статистический ряд (таблица частот):

Ответ: Вариационный ряд и статистический ряд (в виде таблицы частот) построены выше.

б) Найти размах, моду, медиану и среднее значение выборки

Размах выборки ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке.
$x_{max} = 59$, $x_{min} = 55$.
$R = x_{max} - x_{min} = 59 - 55 = 4$.

Мода ($Mo$) — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Из таблицы частот видно, что варианта 56 имеет наибольшую частоту $n_i=7$.
$Mo = 56$.

Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Объем выборки $n = 25$ (нечетное число), поэтому медиана — это элемент с номером $(n+1)/2$.
Номер медианного элемента: $(25+1)/2 = 13$.
Используя вариационный ряд, найдем 13-й элемент. Первые 2 элемента — 55. Следующие 7 элементов — 56 (в сумме 9 элементов). Значит, элементы с 10-го по 14-й равны 57. 13-й элемент попадает в эту группу.
$Me = 57$.

Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется по формуле для сгруппированных данных:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$
$\bar{x} = \frac{55 \cdot 2 + 56 \cdot 7 + 57 \cdot 5 + 58 \cdot 5 + 59 \cdot 6}{25} = \frac{110 + 392 + 285 + 290 + 354}{25} = \frac{1431}{25} = 57.24$.

Ответ: Размах $R=4$; Мода $Mo=56$; Медиана $Me=57$; Среднее арифметическое $\bar{x}=57.24$.

в) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Дисперсия ($D$) — это средний квадрат отклонений значений выборки от их среднего арифметического. Она показывает, насколько сильно данные разбросаны вокруг среднего. Формула для вычисления:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$
Используя найденное среднее $\bar{x}=57.24$:
$D = \frac{(55-57.24)^2 \cdot 2 + (56-57.24)^2 \cdot 7 + (57-57.24)^2 \cdot 5 + (58-57.24)^2 \cdot 5 + (59-57.24)^2 \cdot 6}{25}$
$D = \frac{(-2.24)^2 \cdot 2 + (-1.24)^2 \cdot 7 + (-0.24)^2 \cdot 5 + (0.76)^2 \cdot 5 + (1.76)^2 \cdot 6}{25}$
$D = \frac{5.0176 \cdot 2 + 1.5376 \cdot 7 + 0.0576 \cdot 5 + 0.5776 \cdot 5 + 3.0976 \cdot 6}{25}$
$D = \frac{10.0352 + 10.7632 + 0.288 + 2.888 + 18.5856}{25} = \frac{42.56}{25} = 1.7024$.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{1.7024} \approx 1.3048$.

Ответ: Дисперсия $D=1.7024$; Среднее квадратическое отклонение $\sigma \approx 1.3048$.