Страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.11. Дана таблица относительных частот случайной величины:

$X_i$ 2 $x_2$ 5 7

$m_i$ 0,2 0,3 0,3 $p_4$

Найдите $x_2$ и $p_4$, если $\bar{X} = 4,2$.

Для нахождения неизвестных величин $x_2$ и $p_4$ воспользуемся двумя основными свойствами ряда распределения: сумма относительных частот равна единице, и выборочное среднее вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их относительные частоты.

Сумма всех относительных частот ($m_i$) в распределении должна быть равна 1. Запишем это свойство в виде уравнения: $m_1 + m_2 + m_3 + p_4 = 1$. Подставив известные значения из таблицы, получим: $0,2 + 0,3 + 0,3 + p_4 = 1$. Выполнив сложение, имеем $0,8 + p_4 = 1$. Отсюда находим $p_4$:$p_4 = 1 - 0,8 = 0,2$.

Выборочное среднее ($\bar{X}$) вычисляется по формуле $\bar{X} = X_1 m_1 + X_2 m_2 + X_3 m_3 + X_4 m_4$. В условии дано, что $\bar{X} = 4,2$. Подставим в формулу все известные данные, включая найденное значение $p_4 = 0,2$:$4,2 = (2 \cdot 0,2) + (x_2 \cdot 0,3) + (5 \cdot 0,3) + (7 \cdot 0,2)$.Вычислим известные произведения:$4,2 = 0,4 + 0,3x_2 + 1,5 + 1,4$.Сгруппируем и сложим числовые слагаемые в правой части:$4,2 = (0,4 + 1,5 + 1,4) + 0,3x_2$$4,2 = 3,3 + 0,3x_2$.Теперь решим полученное уравнение относительно $x_2$:$0,3x_2 = 4,2 - 3,3$$0,3x_2 = 0,9$$x_2 = \frac{0,9}{0,3} = 3$.

Ответ: $x_2 = 3$, $p_4 = 0,2$.

4.12. При каком значении y для случайной величины x верно равенство $\bar{X} = 3,8$?

Таблица значений:

$X_i$: 0, y, 4, 6

$\omega_i$: 0,2, 0,1, 0,3, 0,4

В упражнениях 4.13 – 4.14 по данным выборки найдите:

1) таблицу абсолютных частот;

2) таблицу относительных частот;

3) среднее арифметическое значение;

4) моду и медиану.

Среднее арифметическое значение (или математическое ожидание) случайной величины $X$ вычисляется по формуле взвешенной суммы, где весами выступают относительные частоты (вероятности) $\omega_i$:

$ \bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i \cdot \omega_i $

В данном случае нам даны значения $X_i$, их относительные частоты $\omega_i$ и среднее значение $\bar{X} = 3,8$. Подставим известные значения в формулу:

$ 3,8 = (0 \cdot 0,2) + (y \cdot 0,1) + (4 \cdot 0,3) + (6 \cdot 0,4) $

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$ 3,8 = 0 + 0,1y + 1,2 + 2,4 $

Сложим известные числовые значения в правой части уравнения:

$ 3,8 = 0,1y + 3,6 $

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $y$:

$ 0,1y = 3,8 - 3,6 $

$ 0,1y = 0,2 $

$ y = \frac{0,2}{0,1} $

$ y = 2 $

Ответ: $y=2$

4.13. 42 42 41 49 42

41 49 42 41 42

45 42 42 41 49

40 45 41 44 44

41 45 42 43 43

Для анализа представленной выборки данных выполним ряд стандартных статистических процедур. Объем выборки составляет $n=25$ элементов.

Исходный ряд данных:

42, 42, 41, 49, 42, 41, 49, 42, 41, 42, 45, 42, 42, 41, 49, 40, 45, 41, 44, 44, 41, 45, 42, 43, 43.

1. Построение вариационного ряда и таблицы частот

В первую очередь, упорядочим данные по возрастанию, чтобы получить вариационный ряд. Это позволит упростить дальнейшие вычисления.

Вариационный ряд:

40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 49, 49, 49.

Далее сгруппируем данные и составим частотную таблицу, которая показывает, сколько раз каждое значение (варианта) встречается в выборке. В таблицу также добавим относительные частоты.

2. Нахождение моды

Мода ($M_o$) — это значение признака, которое встречается в выборке наиболее часто. Из таблицы частот видно, что значение 42 имеет наибольшую частоту, равную 8.

Ответ: $M_o = 42$.

3. Нахождение медианы

Медиана ($M_e$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Поскольку объем выборки $n = 25$ (нечетное число), порядковый номер медианы вычисляется по формуле $N_{Me} = (n+1)/2$.

$N_{Me} = (25 + 1) / 2 = 13$.

Следовательно, медиана — это 13-й элемент в вариационном ряду. Подсчитав элементы, находим, что 13-й элемент равен 42.

Ответ: $M_e = 42$.

4. Вычисление среднего арифметического

Среднее арифметическое (или выборочное среднее $\bar{x}$) — это отношение суммы всех значений выборки к их числу. Для сгруппированных данных используется формула:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$

Вычислим сумму произведений вариант на их частоты, используя данные из таблицы:

$\sum x_i n_i = (40 \cdot 1) + (41 \cdot 6) + (42 \cdot 8) + (43 \cdot 2) + (44 \cdot 2) + (45 \cdot 3) + (49 \cdot 3) = 40 + 246 + 336 + 86 + 88 + 135 + 147 = 1078$

Теперь найдем среднее значение:

$\bar{x} = \frac{1078}{25} = 43.12$

Ответ: $\bar{x} = 43.12$.

5. Нахождение размаха вариации

Размах вариации ($R$) — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями в выборке. Он дает простейшее представление о разбросе данных.

$R = x_{max} - x_{min} = 49 - 40 = 9$

Ответ: $R = 9$.

6. Вычисление дисперсии

Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных, представляющая собой средний квадрат отклонений значений от их среднего арифметического. Формула для расчета:

$D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$

Используя найденное среднее $\bar{x} = 43.12$, вычислим сумму квадратов отклонений:

$\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i = (40 - 43.12)^2 \cdot 1 + (41 - 43.12)^2 \cdot 6 + (42 - 43.12)^2 \cdot 8 + (43 - 43.12)^2 \cdot 2 + (44 - 43.12)^2 \cdot 2 + (45 - 43.12)^2 \cdot 3 + (49 - 43.12)^2 \cdot 3$

$= 9.7344 + 26.9664 + 10.0352 + 0.0288 + 1.5488 + 10.6032 + 103.7232 = 162.64$

Теперь вычислим дисперсию:

$D = \frac{162.64}{25} = 6.5056$

Ответ: $D = 6.5056$.

7. Вычисление среднего квадратического отклонения

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Этот показатель измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, и показывает среднее отклонение значений от среднего.

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{6.5056} \approx 2.5506$

Ответ: $\sigma \approx 2.55$.

4.14. 55 56 56 58 57
59 57 58 56 58
58 56 59 57 59
57 55 56 59 57
56 58 56 59 59

Для представленной в задаче выборки данных проведем полный статистический анализ, который обычно включает построение вариационных рядов, нахождение мер центральной тенденции и мер разброса.

Исходная выборка содержит 25 элементов ($n=25$):
55, 56, 56, 58, 57, 59, 57, 58, 56, 58, 58, 56, 59, 57, 59, 57, 55, 56, 59, 57, 56, 58, 56, 59, 59.

а) Составить вариационный и статистический ряды

Сначала упорядочим все значения выборки по возрастанию, чтобы получить вариационный (или ранжированный) ряд.

Вариационный ряд:
55, 55, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 59, 59, 59.

Теперь на основе вариационного ряда составим статистический ряд в виде таблицы частот. В ней для каждого уникального значения (варианты $x_i$) указывается, сколько раз оно встречается в выборке (абсолютная частота $n_i$), а также его доля в общем объеме выборки (относительная частота $W_i$).

Статистический ряд (таблица частот):

Ответ: Вариационный ряд и статистический ряд (в виде таблицы частот) построены выше.

б) Найти размах, моду, медиану и среднее значение выборки

Размах выборки ($R$) — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке.
$x_{max} = 59$, $x_{min} = 55$.
$R = x_{max} - x_{min} = 59 - 55 = 4$.

Мода ($Mo$) — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Из таблицы частот видно, что варианта 56 имеет наибольшую частоту $n_i=7$.
$Mo = 56$.

Медиана ($Me$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Объем выборки $n = 25$ (нечетное число), поэтому медиана — это элемент с номером $(n+1)/2$.
Номер медианного элемента: $(25+1)/2 = 13$.
Используя вариационный ряд, найдем 13-й элемент. Первые 2 элемента — 55. Следующие 7 элементов — 56 (в сумме 9 элементов). Значит, элементы с 10-го по 14-й равны 57. 13-й элемент попадает в эту группу.
$Me = 57$.

Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется по формуле для сгруппированных данных:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$
$\bar{x} = \frac{55 \cdot 2 + 56 \cdot 7 + 57 \cdot 5 + 58 \cdot 5 + 59 \cdot 6}{25} = \frac{110 + 392 + 285 + 290 + 354}{25} = \frac{1431}{25} = 57.24$.

Ответ: Размах $R=4$; Мода $Mo=56$; Медиана $Me=57$; Среднее арифметическое $\bar{x}=57.24$.

в) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Дисперсия ($D$) — это средний квадрат отклонений значений выборки от их среднего арифметического. Она показывает, насколько сильно данные разбросаны вокруг среднего. Формула для вычисления:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$
Используя найденное среднее $\bar{x}=57.24$:
$D = \frac{(55-57.24)^2 \cdot 2 + (56-57.24)^2 \cdot 7 + (57-57.24)^2 \cdot 5 + (58-57.24)^2 \cdot 5 + (59-57.24)^2 \cdot 6}{25}$
$D = \frac{(-2.24)^2 \cdot 2 + (-1.24)^2 \cdot 7 + (-0.24)^2 \cdot 5 + (0.76)^2 \cdot 5 + (1.76)^2 \cdot 6}{25}$
$D = \frac{5.0176 \cdot 2 + 1.5376 \cdot 7 + 0.0576 \cdot 5 + 0.5776 \cdot 5 + 3.0976 \cdot 6}{25}$
$D = \frac{10.0352 + 10.7632 + 0.288 + 2.888 + 18.5856}{25} = \frac{42.56}{25} = 1.7024$.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{1.7024} \approx 1.3048$.

Ответ: Дисперсия $D=1.7024$; Среднее квадратическое отклонение $\sigma \approx 1.3048$.

4.15*. Выборка с объемом 10 состоит из двух элементов $x_1$ и $x_2$. Здесь $x_1 < x_2$, абсолютная частота элемента $x_1$ равна 6. Найдите $x_1$ и $x_2$, если среднее арифметическое значение равно $\bar{X} = 1,4$, а мода равна $M_0 = 1$.

По условию задачи, объем выборки $n=10$. Выборка состоит из двух различных элементов $x_1$ и $x_2$, причем $x_1 < x_2$.

Абсолютная частота элемента $x_1$ равна $n_1 = 6$.

Так как общий объем выборки $n = n_1 + n_2$, то абсолютная частота элемента $x_2$ равна $n_2 = n - n_1 = 10 - 6 = 4$.

Мода ($M_0$) — это значение в выборке, которое встречается наиболее часто. Сравним частоты элементов: $n_1 = 6$ и $n_2 = 4$. Поскольку $n_1 > n_2$, то модой является элемент $x_1$.

По условию, мода $M_0 = 1$. Следовательно, $x_1 = 1$.

Среднее арифметическое значение выборки ($\bar{X}$) вычисляется по формуле:

$\bar{X} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2}{n}$

Из условия известно, что $\bar{X} = 1.4$. Подставим все известные значения в формулу:

$1.4 = \frac{1 \cdot 6 + x_2 \cdot 4}{10}$

Решим полученное уравнение относительно $x_2$:

$1.4 \cdot 10 = 6 + 4x_2$

$14 = 6 + 4x_2$

$4x_2 = 14 - 6$

$4x_2 = 8$

$x_2 = \frac{8}{4}$

$x_2 = 2$

Таким образом, мы получили $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим выполнение условия $x_1 < x_2$: $1 < 2$. Условие выполняется.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.