Страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.161. Запишите числа в стандартном виде и укажите их значащую часть и порядок:

1) 28 127 000 000;

2) 0,000 019 270;

3) $\frac{4}{7} \cdot 10^{-5}$;

4) $182 \cdot 10^7$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называется значащей частью числа, а число $n$ — порядком числа.

1) 28 127 000 000

Чтобы представить число 28 127 000 000 в стандартном виде, нужно записать его в виде произведения числа $a$ (где $1 \le a < 10$) на степень 10. Перенесем запятую, которая находится в конце числа (28 127 000 000,0), влево так, чтобы перед ней осталась только одна ненулевая цифра — 2.

Переносим запятую влево на 10 позиций, чтобы получить число 2,8127. Так как мы перенесли запятую на 10 позиций влево (уменьшили число), для сохранения равенства нужно умножить его на $10^{10}$.

Таким образом, стандартный вид числа: $2,8127 \cdot 10^{10}$.

Значащая часть числа — это 2,8127. Порядок числа — это 10.

Ответ: стандартный вид: $2,8127 \cdot 10^{10}$; значащая часть: 2,8127; порядок: 10.

2) 0,000 019 270

Чтобы представить число 0,00001927 в стандартном виде, перенесем запятую вправо так, чтобы перед ней оказалась одна ненулевая цифра. Это цифра 1.

Переносим запятую вправо на 5 позиций, чтобы получить число 1,927. Так как мы перенесли запятую на 5 позиций вправо (увеличили число), для сохранения равенства нужно умножить его на $10^{-5}$.

Таким образом, стандартный вид числа: $1,927 \cdot 10^{-5}$.

Значащая часть числа — это 1,927. Порядок числа — это -5.

Ответ: стандартный вид: $1,927 \cdot 10^{-5}$; значащая часть: 1,927; порядок: -5.

3) $\frac{4}{7} \cdot 10^{-5}$

Для приведения числа к стандартному виду, его значащая часть $a$ должна удовлетворять условию $1 \le a < 10$. В данном случае множитель перед степенью десяти равен $\frac{4}{7}$.

Значение дроби $\frac{4}{7} \approx 0,571$, что меньше 1. Чтобы привести значащую часть к требуемому диапазону, преобразуем ее:

$\frac{4}{7} = \frac{4}{7} \cdot \frac{10}{10} = \frac{40}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{40}{7} \cdot 10^{-1}$.

Число $\frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$, оно находится в интервале $[1, 10)$, поэтому может быть значащей частью. Подставим это выражение в исходное:

$(\frac{40}{7} \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-5} = \frac{40}{7} \cdot 10^{-1+(-5)} = \frac{40}{7} \cdot 10^{-6}$.

Таким образом, стандартный вид числа: $\frac{40}{7} \cdot 10^{-6}$.

Значащая часть числа — это $\frac{40}{7}$. Порядок числа — это -6.

Ответ: стандартный вид: $\frac{40}{7} \cdot 10^{-6}$; значащая часть: $\frac{40}{7}$; порядок: -6.

4) $182 \cdot 10^7$

Значащая часть $a$ должна удовлетворять условию $1 \le a < 10$. В данном случае множитель перед степенью десяти равен 182, что больше 10.

Представим число 182 в стандартном виде. Для этого перенесем запятую на 2 позиции влево: $182 = 1,82 \cdot 10^2$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(1,82 \cdot 10^2) \cdot 10^7 = 1,82 \cdot 10^{2+7} = 1,82 \cdot 10^9$.

Таким образом, стандартный вид числа: $1,82 \cdot 10^9$.

Значащая часть числа — это 1,82. Порядок числа — это 9.

Ответ: стандартный вид: $1,82 \cdot 10^9$; значащая часть: 1,82; порядок: 9.

3.162. Решите уравнение:

1) $3,5x - 1,8 = (5,5x + 3,4) - 5,8$

2) $(x + 5a) - 17a = 3a - 2x$

1) Решим уравнение $3,5x - 1,8 = (5,5x + 3,4) - 5,8$.

Сначала упростим правую часть уравнения, раскрыв скобки и объединив числовые слагаемые:

$3,5x - 1,8 = 5,5x + 3,4 - 5,8$

$3,5x - 1,8 = 5,5x - 2,4$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а свободные члены — в другую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный:

$2,4 - 1,8 = 5,5x - 3,5x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0,6 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{0,6}{2}$

$x = 0,3$

Ответ: $x = 0,3$.

2) Решим уравнение $(x + 5a) - 17a = 3a - 2x$. В данном уравнении $a$ является параметром.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$x + 5a - 17a = 3a - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x - 12a = 3a - 2x$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части, а слагаемые с параметром $a$ — в правой. Не забываем менять знаки при переносе:

$x + 2x = 3a + 12a$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$3x = 15a$

Чтобы выразить $x$ через $a$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{15a}{3}$

$x = 5a$

Ответ: $x = 5a$.

3.163. Словесно описанную модель запишите на математическом языке:

1) сумма чисел x и y равна 17;

$x + y = 17$

2) удвоенное произведение двух чисел на 20 больше их суммы.

$2xy = x + y + 20$

1) Чтобы записать данную словесную модель на математическом языке, необходимо перевести каждое понятие в математический символ или выражение. "Сумма чисел x и y" записывается как выражение $x + y$. Условие "равна 17" означает, что это выражение приравнивается к числу 17. Соединяя эти части, получаем итоговое уравнение.
Ответ: $x + y = 17$

2) Обозначим два числа переменными, например, x и y. Тогда "их сумма" будет выражаться как $x + y$. "Произведение двух чисел" записывается как $x \cdot y$, а "удвоенное произведение" — это $2 \cdot (x \cdot y)$ или просто $2xy$. Условие "удвоенное произведение... на 20 больше их суммы" означает, что разница между удвоенным произведением и суммой равна 20, то есть $2xy - (x + y) = 20$. Эту же зависимость можно выразить, приравняв большее значение (удвоенное произведение) к меньшему (сумме), к которому добавлена разница (20).
Ответ: $2xy = x + y + 20$