Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. 45 56 66 42 61 53 62 71 49 62

59 53 57 46 57 71 49 61 51 72

53 46 59 53 59 43 62 52 51 69

51 65 56 39 57 60 59 51 59 69

56 57 44 59 51 51 48 62 53 67

48 62 51 51 59 56 57 46 57 59

51 61 47 56 48 64 51 58 62 66

51 56 59 42 56 57 51 48 61 62

59 48 63 49 53 64 59 63 51 67

56 50 58 53 46 65 49 59 56 58

Для решения задачи проанализируем предоставленную выборку из 100 числовых значений. Объем выборки $n = 100$.

1. Найдем минимальное и максимальное значения в выборке, чтобы определить размах варьирования.
$x_{min} = 39$
$x_{max} = 72$
Размах варьирования: $R = x_{max} - x_{min} = 72 - 39 = 33$.

2. Определим количество интервалов $k$ по формуле Стерджеса:
$k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n) = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$
Округлим до ближайшего целого, примем $k=7$.

3. Найдем ширину интервала $h$:
$h = \frac{R}{k} = \frac{33}{7} \approx 4.71$
Для удобства выберем ширину интервала $h=5$.

4. Определим границы интервалов. Начало первого интервала выберем так, чтобы $x_{min}$ попал в него. Пусть первый интервал начинается с 38. Тогда границы интервалов будут: [38; 43), [43; 48), [48; 53), [53; 58), [58; 63), [63; 68), [68; 73).

5. Подсчитаем частоты $n_i$ (количество значений, попавших в каждый интервал) и составим таблицу интервального ряда распределения.

Ответ: Интервальный ряд распределения построен и представлен в виде таблицы с указанием интервалов, их середин, абсолютных и относительных частот, плотности частоты и накопленных частот.

На основе таблицы интервального ряда можно построить гистограмму и полигон частот.

Гистограмма частот:
Для построения гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы значений, а по оси ординат — плотности частот ($n_i/h$). Для каждого интервала строится прямоугольник, основанием которого служит длина интервала $h$, а высотой — соответствующая плотность частоты.

• Интервал [38, 43): высота 0.6
• Интервал [43, 48): высота 1.6
• Интервал [48, 53): высота 4.4
• Интервал [53, 58): высота 4.8
• Интервал [58, 63): высота 5.4
• Интервал [63, 68): высота 2.0
• Интервал [68, 73): высота 1.2

Площадь гистограммы равна сумме площадей всех прямоугольников: $S = \sum h \cdot (n_i/h) = \sum n_i = n = 100$.

Полигон частот:
Для построения полигона по оси абсцисс откладываются середины интервалов $x'_i$, а по оси ординат — соответствующие частоты $n_i$. Точки с координатами $(x'_i; n_i)$ соединяются отрезками прямых.
Координаты точек для полигона: (40.5; 3), (45.5; 8), (50.5; 22), (55.5; 24), (60.5; 27), (65.5; 10), (70.5; 6).

Ответ: Дано описание построения гистограммы и полигона частот с указанием всех необходимых данных для их построения.

Расчеты будем производить по исходным (негруппированным) данным для большей точности.

1. Выборочное среднее ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$
Сумма всех значений выборки: $\sum x_i = 5621$.
$\bar{x} = \frac{5621}{100} = 56.21$.

2. Мода ($M_o$):
Мода — это значение, которое встречается в выборке чаще всего. Из анализа исходных данных, значение 59 встречается 12 раз, что является наибольшей частотой.
$M_o = 59$.

3. Медиана ($M_e$):
Медиана — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, т.е. 50-го и 51-го.
Проанализировав упорядоченный ряд, находим, что 50-й и 51-й элементы равны 57.
$M_e = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{57 + 57}{2} = 57$.

4. Выборочная дисперсия ($s^2$) и стандартное отклонение ($s$):
Выборочная (несмещенная) дисперсия вычисляется по формуле:
$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2 \right)$
Сумма квадратов значений: $\sum x_i^2 = 324483$.
$s^2 = \frac{1}{100-1} \left( 324483 - 100 \cdot (56.21)^2 \right) = \frac{1}{99} (324483 - 315956.41) = \frac{8526.59}{99} \approx 86.13$
Выборочное стандартное отклонение:
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{86.13} \approx 9.28$.

Ответ:
- Выборочное среднее: $\bar{x} = 56.21$
- Мода: $M_o = 59$
- Медиана: $M_e = 57$
- Выборочная дисперсия: $s^2 \approx 86.13$
- Выборочное стандартное отклонение: $s \approx 9.28$

4.30. 268 273 242 222 236 248 252 232 269 287

253 286 275 235 202 239 225 236 237 224

258 268 277 249 248 263 243 266 212 255

249 288 213 264 247 242 228 277 256 251

267 232 258 246 278 279 257 255 243 268

258 262 267 275 266 246 252 261 269 262

254 244 265 274 252 265 222 269 254 278

249 246 253 296 249 242 258 258 254 245

251 252 249 232 269 263 269 271 245 249

268 286 277 264 278 246 222 258 245 287

Для анализа представленной выборки из $n=100$ наблюдений выполним следующие шаги: построим вариационный и интервальный ряды, рассчитаем основные выборочные характеристики и найдем доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности.

а) Построение вариационного и интервального рядов распределения

1. Вариационный ряд. Упорядочим все наблюдения по возрастанию, чтобы получить вариационный ряд.

Минимальное значение в выборке: $x_{min} = 202$.
Максимальное значение в выборке: $x_{max} = 296$.
Размах выборки: $R = x_{max} - x_{min} = 296 - 202 = 94$.

Полный вариационный ряд ($n=100$):
202, 212, 213, 222, 222, 222, 224, 225, 228, 232, 232, 232, 235, 236, 236, 237, 239, 242, 242, 242, 243, 243, 244, 245, 245, 245, 246, 246, 246, 246, 247, 248, 248, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 251, 251, 252, 252, 252, 252, 253, 253, 254, 254, 254, 255, 255, 256, 257, 258, 258, 258, 258, 258, 258, 261, 262, 262, 263, 263, 264, 264, 265, 265, 266, 266, 267, 267, 268, 268, 268, 268, 269, 269, 269, 269, 269, 271, 273, 274, 275, 275, 277, 277, 277, 278, 278, 278, 279, 286, 286, 287, 287, 288, 296.

2. Интервальный ряд. Для построения интервального ряда определим количество интервалов $k$ по формуле Стерджеса:
$k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n) = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$.
Округлим и выберем $k=8$ интервалов.
Найдем ширину интервала $h$:
$h = \frac{R}{k} = \frac{94}{8} = 11.75$. Округлим до $h=12$ для удобства.
Начало первого интервала выберем равным $x_{start} = x_{min} - \frac{h \cdot k - R}{2} = 202 - \frac{12 \cdot 8 - 94}{2} = 202 - 1 = 201$.
Теперь составим таблицу интервального распределения, подсчитав частоты ($n_i$ - количество значений в интервале), относительные частоты ($w_i = n_i/n$) и накопленные частоты.

На основе этой таблицы можно построить гистограмму и полигон частот.

Ответ: Вариационный и интервальный ряды построены и представлены выше.

б) Расчет основных выборочных характеристик

1. Выборочное среднее ($\bar{x}$). Рассчитывается как среднее арифметическое всех значений выборки.
Сумма всех значений: $\sum_{i=1}^{100} x_i = 25474$.
$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{25474}{100} = 254.74$.

2. Выборочная медиана ($Me$). Так как объем выборки $n=100$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов вариационного ряда (50-го и 51-го).
$x_{50} = 254$, $x_{51} = 255$.
$Me = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{254 + 255}{2} = 254.5$.

3. Выборочная мода ($Mo$). Это значение, которое встречается в выборке чаще всего. В данной выборке два значения имеют максимальную частоту (6 раз): 249 и 258. Следовательно, распределение является бимодальным.
$Mo_1 = 249$, $Mo_2 = 258$.

4. Выборочная дисперсия ($s^2$) и среднее квадратическое отклонение ($s$). Используем несмещенную оценку дисперсии.
Сумма квадратов значений: $\sum_{i=1}^{100} x_i^2 = 6520334$.
$s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2 \right) = \frac{1}{99} \left( 6520334 - 100 \cdot (254.74)^2 \right) = \frac{1}{99} (6520334 - 6489246.76) = \frac{31087.24}{99} \approx 314.01$.
Выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение):
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{314.01} \approx 17.72$.

Ответ: Выборочное среднее $\bar{x} = 254.74$; медиана $Me = 254.5$; мода $Mo_1 = 249, Mo_2 = 258$; дисперсия $s^2 \approx 314.01$; среднее квадратическое отклонение $s \approx 17.72$.

в) Построение доверительного интервала для математического ожидания

Найдем 95%-й доверительный интервал для математического ожидания (среднего) $\mu$ генеральной совокупности. Так как объем выборки $n=100$ велик, а дисперсия генеральной совокупности неизвестна, мы можем использовать Z-распределение (или t-распределение, которое при $n-1=99$ степенях свободы практически совпадает с нормальным).

Формула доверительного интервала: $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$.
Уровень доверия $\gamma = 0.95$, следовательно, уровень значимости $\alpha = 0.05$.
Квантиль нормального распределения $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$.
Рассчитаем предельную ошибку выборки $E$:
$E = z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{17.72}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot 1.772 \approx 3.47$.

Теперь определим границы интервала:
Нижняя граница: $\bar{x} - E = 254.74 - 3.47 = 251.27$.
Верхняя граница: $\bar{x} + E = 254.74 + 3.47 = 258.21$.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное среднее значение генеральной совокупности $\mu$ находится в пределах от 251.27 до 258.21.

Ответ: 95%-й доверительный интервал для математического ожидания: $(251.27; 258.21)$.

4.31. 30 52 72 25 62 45 65 82 39 56

58 45 55 32 55 82 38 63 43 84

46 32 58 45 58 26 65 45 62 78

42 70 52 38 55 60 58 43 58 69

52 55 28 58 43 42 35 64 46 75

35 64 43 42 58 52 55 32 55 59

43 62 34 52 37 68 42 56 65 72

42 52 58 25 52 55 43 35 62 65

58 36 66 38 46 68 58 64 43 74

52 41 45 47 32 69 39 58 52 56

Для решения задачи сначала проанализируем предоставленную выборку. Объем выборки $n=100$. Минимальное значение в выборке $x_{min}=25$, максимальное значение $x_{max}=84$.

а) Построение интервального вариационного ряда

Для построения интервального ряда определим количество интервалов $k$ по формуле Стерджеса:

$k \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n) = 1 + 3.322 \cdot \lg(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$

Примем число интервалов $k=8$.

Определим ширину интервала $h$:

$h = \frac{x_{max} - x_{min}}{k} = \frac{84 - 25}{8} = \frac{59}{8} = 7.375$

Округлим ширину интервала до $h=8$. За начало первого интервала примем $x_{min}=25$.

Подсчитав количество элементов выборки ($n_i$), попадающих в каждый интервал, и вычислив относительные частоты ($w_i = n_i/n$), середины интервалов ($x'_i$), а также накопленные частоты, составим таблицу интервального вариационного ряда.

Ответ: Интервальный вариационный ряд представлен в таблице выше.

б) Построение гистограммы относительных частот

Гистограмма относительных частот строится в виде ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников. Основаниями прямоугольников служат интервалы длиной $h=8$, а высоты равны плотности относительной частоты $w_i/h$.

Вычислим высоты прямоугольников:

• Интервал [25, 33): высота = $0.09 / 8 = 0.01125$
• Интервал [33, 41): высота = $0.11 / 8 = 0.01375$
• Интервал [41, 49): высота = $0.21 / 8 = 0.02625$
• Интервал [49, 57): высота = $0.20 / 8 = 0.02500$
• Интервал [57, 65): высота = $0.21 / 8 = 0.02625$
• Интервал [65, 73): высота = $0.12 / 8 = 0.01500$
• Интервал [73, 81): высота = $0.03 / 8 = 0.00375$
• Интервал [81, 89): высота = $0.03 / 8 = 0.00375$

По этим данным строится гистограмма, где по оси Ox откладываются интервалы, а по оси Oy – вычисленные высоты (плотности относительных частот).
Ответ: Гистограмма строится на основе вычисленных высот прямоугольников для каждого интервала.

в) Вычисление выборочных числовых характеристик

Для большей точности вычислим выборочное среднее и дисперсию по исходным данным, а не по сгруппированным.

Сумма всех элементов выборки: $\sum_{i=1}^{100} x_i = 5289$.

1. Выборочное среднее ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100} x_i = \frac{5289}{100} = 52.89$

2. Выборочная дисперсия ($D_B$):

Сначала найдем сумму квадратов элементов: $\sum_{i=1}^{100} x_i^2 = 300107$.

$D_B = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100} (x_i - \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{100} x_i^2 \right) - (\bar{x})^2 = \frac{300107}{100} - (52.89)^2 = 3001.07 - 2797.3521 = 203.7179$

3. Исправленная выборочная дисперсия ($s^2$):

$s^2 = \frac{n}{n-1} D_B = \frac{100}{99} \cdot 203.7179 \approx 205.7757$

4. Исправленное среднее квадратическое отклонение ($s$):

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{205.7757} \approx 14.3452$

Ответ: Выборочное среднее $\bar{x}=52.89$, выборочная дисперсия $D_B \approx 203.72$, исправленная выборочная дисперсия $s^2 \approx 205.78$.

г) Построение доверительного интервала для математического ожидания

Построим доверительный интервал для генерального среднего (математического ожидания) $a$ с доверительной вероятностью $\gamma = 0.95$. Так как объем выборки $n=100$ большой, а генеральная дисперсия неизвестна, воспользуемся формулой:

$\bar{x} - t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} < a < \bar{x} + t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}}$

Здесь $\bar{x}=52.89$, $s \approx 14.345$, $n=100$.

Значение $t_{\gamma}$ находим из условия $2\Phi(t_{\gamma})=\gamma$, где $\Phi(t)$ - функция Лапласа.$2\Phi(t_{0.95}) = 0.95 \implies \Phi(t_{0.95}) = 0.475$.По таблице значений функции Лапласа находим $t_{0.95} \approx 1.96$.

Вычислим точность оценки $\delta$:

$\delta = t_{\gamma} \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{14.345}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot 1.4345 \approx 2.8116$

Теперь найдем границы доверительного интервала:

Нижняя граница: $52.89 - 2.8116 = 50.0784$

Верхняя граница: $52.89 + 2.8116 = 55.7016$

Таким образом, доверительный интервал: $(50.08, 55.70)$.

Ответ: С надежностью 95% можно утверждать, что математическое ожидание генеральной совокупности находится в интервале $(50.08, 55.70)$.