Страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

1) $9a^2-24ab+16b^2$;

2) $4c^2+12c+9$;

3) $25x^2+10x+1$;

4) $81x^2-18xy+y^2$;

5) $m^2+4n^2-4mn$;

6) $100a^2+b^2+20ab$.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$ и квадрат разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$. В каждом случае нужно определить, что является $A$ и $B$, и проверить, совпадает ли средний член с удвоенным произведением $2AB$.

1) $9a^2-24ab+16b^2$

В данном трехчлене первый член $9a^2$ можно представить как $(3a)^2$, а третий член $16b^2$ как $(4b)^2$. Средний член $24ab$ является удвоенным произведением $2 \cdot (3a) \cdot (4b) = 24ab$. Так как перед средним членом стоит знак минус, мы используем формулу квадрата разности.

$9a^2-24ab+16b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (4b) + (4b)^2 = (3a-4b)^2$.

Ответ: $(3a-4b)^2$

2) $4c^2+12c+9$

Представим первый член $4c^2$ как $(2c)^2$, а третий член $9$ как $3^2$. Проверим средний член: $2 \cdot (2c) \cdot 3 = 12c$. Знак перед ним — плюс, следовательно, применяем формулу квадрата суммы.

$4c^2+12c+9 = (2c)^2 + 2 \cdot (2c) \cdot 3 + 3^2 = (2c+3)^2$.

Ответ: $(2c+3)^2$

3) $25x^2+10x+1$

Первый член $25x^2$ — это $(5x)^2$, третий член $1$ — это $1^2$. Средний член $10x$ равен $2 \cdot (5x) \cdot 1 = 10x$. Используем формулу квадрата суммы, так как знак перед средним членом — плюс.

$25x^2+10x+1 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2 = (5x+1)^2$.

Ответ: $(5x+1)^2$

4) $81x^2-18xy+y^2$

Представим $81x^2$ как $(9x)^2$ и $y^2$ как $(y)^2$. Средний член $18xy$ — это $2 \cdot (9x) \cdot y = 18xy$. Так как знак перед ним — минус, используем формулу квадрата разности.

$81x^2-18xy+y^2 = (9x)^2 - 2 \cdot (9x) \cdot y + y^2 = (9x-y)^2$.

Ответ: $(9x-y)^2$

5) $m^2+4n^2-4mn$

Для удобства переставим члены: $m^2-4mn+4n^2$. Здесь первый член $m^2$ — это $(m)^2$, а третий $4n^2$ — это $(2n)^2$. Средний член $4mn$ — это $2 \cdot m \cdot (2n) = 4mn$. Используем формулу квадрата разности из-за знака минус.

$m^2-4mn+4n^2 = (m)^2 - 2 \cdot m \cdot (2n) + (2n)^2 = (m-2n)^2$.

Ответ: $(m-2n)^2$

6) $100a^2+b^2+20ab$

Переставим члены, чтобы получить стандартный вид: $100a^2+20ab+b^2$. Первый член $100a^2$ — это $(10a)^2$, третий член $b^2$ — это $(b)^2$. Средний член $20ab$ равен $2 \cdot (10a) \cdot b = 20ab$. Используем формулу квадрата суммы, так как все знаки — плюсы.

$100a^2+20ab+b^2 = (10a)^2 + 2 \cdot (10a) \cdot b + b^2 = (10a+b)^2$.

Ответ: $(10a+b)^2$

5.8. Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:

1) $1+a^2-2a;$

2) $4xy+y^2+4x^2;$

3) $28ab+49a^2+4b^2;$

4) $10mn+100m^2+0,25n^2;$

5) $\frac{1}{4} a^2+4b^2-2ab;$

6) $8ab+b^2+16a^2.$

Для преобразования трехчлена в квадрат двучлена используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

1) $1+a^2-2a$
Переставим члены многочлена, чтобы он соответствовал стандартному виду формулы: $a^2 - 2a + 1$.
Здесь первый член — это $a^2$, второй член — это $1^2$, а средний член $-2a$ является удвоенным произведением $a$ и $1$ со знаком минус: $-2 \cdot a \cdot 1 = -2a$.
Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности.
$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Ответ: $(a-1)^2$

2) $4xy+y^2+4x^2$
Переставим члены многочлена: $4x^2 + 4xy + y^2$.
Первый член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, т.е. $(2x)^2$.
Третий член $y^2$ является квадратом $y$.
Средний член $4xy$ является удвоенным произведением $2x$ и $y$: $2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy$.
Так как средний член имеет знак плюс, применяем формулу квадрата суммы.
$4x^2 + 4xy + y^2 = (2x+y)^2$.
Ответ: $(2x+y)^2$

3) $28ab+49a^2+4b^2$
Переставим члены многочлена: $49a^2 + 28ab + 4b^2$.
Первый член $49a^2$ является квадратом $7a$, т.е. $(7a)^2$.
Третий член $4b^2$ является квадратом $2b$, т.е. $(2b)^2$.
Средний член $28ab$ является удвоенным произведением $7a$ и $2b$: $2 \cdot (7a) \cdot (2b) = 28ab$.
Применяем формулу квадрата суммы.
$49a^2 + 28ab + 4b^2 = (7a+2b)^2$.
Ответ: $(7a+2b)^2$

4) $10mn+100m^2+0,25n^2$
Переставим члены многочлена: $100m^2 + 10mn + 0,25n^2$.
Первый член $100m^2$ является квадратом $10m$, т.е. $(10m)^2$.
Третий член $0,25n^2$ является квадратом $0,5n$, т.е. $(0,5n)^2$.
Средний член $10mn$ является удвоенным произведением $10m$ и $0,5n$: $2 \cdot (10m) \cdot (0,5n) = 10mn$.
Применяем формулу квадрата суммы.
$100m^2 + 10mn + 0,25n^2 = (10m+0,5n)^2$.
Ответ: $(10m+0,5n)^2$

5) $\frac{1}{4}a^2+4b^2-2ab$
Переставим члены многочлена: $\frac{1}{4}a^2 - 2ab + 4b^2$.
Первый член $\frac{1}{4}a^2$ является квадратом $\frac{1}{2}a$, т.е. $(\frac{1}{2}a)^2$.
Третий член $4b^2$ является квадратом $2b$, т.е. $(2b)^2$.
Средний член $-2ab$ является удвоенным произведением $\frac{1}{2}a$ и $2b$ со знаком минус: $-2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (2b) = -2ab$.
Применяем формулу квадрата разности.
$\frac{1}{4}a^2 - 2ab + 4b^2 = (\frac{1}{2}a - 2b)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a - 2b)^2$

6) $8ab+b^2+16a^2$
Переставим члены многочлена: $16a^2 + 8ab + b^2$.
Первый член $16a^2$ является квадратом $4a$, т.е. $(4a)^2$.
Третий член $b^2$ является квадратом $b$.
Средний член $8ab$ является удвоенным произведением $4a$ и $b$: $2 \cdot (4a) \cdot b = 8ab$.
Применяем формулу квадрата суммы.
$16a^2 + 8ab + b^2 = (4a+b)^2$.
Ответ: $(4a+b)^2$

5.9. Замените $\square$ одночленом так, чтобы трехчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:

1) $\square + 2ac + c^2;$

2) $m^2 - \square + n^2;$

3) $x^2 - 4xy + \square;$

4) $a^2 + 2ca + \square;$

5) $\square + 14c + 49;$

6) $k^2 - \square + 9.$

1) Для того чтобы трехчлен $☐ + 2ac + c^2$ можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В данном выражении член $c^2$ соответствует $y^2$, следовательно, $y = c$. Средний член $2ac$ соответствует удвоенному произведению $2xy$. Подставив $y=c$, получаем $2xc = 2ac$. Отсюда следует, что $x=a$. Таким образом, недостающий член $☐$ должен быть равен $x^2$, то есть $a^2$. Проверим полученное выражение: $a^2 + 2ac + c^2 = (a+c)^2$. Это действительно квадрат двучлена.

Ответ: $a^2$

2) Трехчлен $m^2 - ☐ + n^2$ должен соответствовать формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, так как между крайними членами стоит знак минус. Первый член $m^2$ соответствует $x^2$, значит, $x=m$. Третий член $n^2$ соответствует $y^2$, значит, $y=n$. Пропущенный член $☐$ соответствует удвоенному произведению $2xy$. Вычисляем его: $2xy = 2 \cdot m \cdot n = 2mn$. Проверим полученное выражение: $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $2mn$

3) Трехчлен $x^2 - 4xy + ☐$ должен соответствовать формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Первый член $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $a=x$. Средний член $-4xy$ соответствует удвоенному произведению $-2ab$. Значит, $2ab = 4xy$. Подставим $a=x$ в это равенство: $2xb = 4xy$. Разделив обе части на $2x$, получим $b = 2y$. Пропущенный член $☐$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем его: $b^2 = (2y)^2 = 4y^2$. Проверим полученное выражение: $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $4y^2$

4) Трехчлен $a^2 + 2ca + ☐$ должен соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Первый член $a^2$ соответствует $x^2$, значит, $x=a$. Средний член $2ca$ соответствует удвоенному произведению $2xy$. Значит, $2xy = 2ca$. Подставим $x=a$: $2ay = 2ca$. Разделив обе части на $2a$, получим $y=c$. Пропущенный член $☐$ должен быть равен $y^2$. Вычисляем его: $y^2 = c^2$. Проверим полученное выражение: $a^2 + 2ca + c^2 = (a+c)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $c^2$

5) Трехчлен $☐ + 14c + 49$ должен соответствовать формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Последний член $49$ является квадратом числа $7$, то есть $b^2 = 49$, откуда $b=7$. Средний член $14c$ соответствует удвоенному произведению $2ab$. Значит, $2ab = 14c$. Подставим $b=7$: $2a \cdot 7 = 14c$, что дает $14a=14c$. Отсюда $a=c$. Пропущенный член $☐$ должен быть равен $a^2$. Вычисляем его: $a^2 = c^2$. Проверим полученное выражение: $c^2 + 14c + 49 = (c+7)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $c^2$

6) Трехчлен $k^2 - ☐ + 9$ должен соответствовать формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Первый член $k^2$ соответствует $a^2$, значит, $a=k$. Третий член $9$ является квадратом числа $3$, то есть $b^2=9$, откуда $b=3$. Пропущенный член $☐$ соответствует удвоенному произведению $2ab$. Вычисляем его: $2ab = 2 \cdot k \cdot 3 = 6k$. Проверим полученное выражение: $k^2 - 6k + 9 = (k-3)^2$. Это квадрат двучлена.

Ответ: $6k$

5.10. Найдите значение выражения:

1) $a^2-2a+1$ при $a=101; -9; 31; 0,4;

2) $x^2+4x+4$ при $x=98; -32; -2,5.$

1)

Чтобы найти значение выражения $a^2-2a+1$, целесообразно сначала упростить его. Данное выражение является полным квадратом разности. Применим формулу сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

В нашем случае $b=1$, поэтому выражение можно представить в виде: $a^2-2a+1 = (a-1)^2$.

Теперь вычислим значение этого выражения для каждого заданного значения $a$, подставляя их в упрощенную формулу $(a-1)^2$.

При $a=101$:
$(101-1)^2 = 100^2 = 10000$.

При $a=-9$:
$(-9-1)^2 = (-10)^2 = 100$.

При $a=31$:
$(31-1)^2 = 30^2 = 900$.

При $a=0,4$:
$(0,4-1)^2 = (-0,6)^2 = 0,36$.

Ответ: 10000; 100; 900; 0,36.

2)

Чтобы найти значение выражения $x^2+4x+4$, также сначала упростим его. Это выражение является полным квадратом суммы. Применим формулу сокращенного умножения: $(x+b)^2 = x^2+2xb+b^2$.

В нашем случае $b=2$, так как $4x = 2 \cdot x \cdot 2$ и $4=2^2$. Таким образом, выражение можно представить в виде: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$.

Теперь вычислим значение этого выражения для каждого заданного значения $x$, подставляя их в упрощенную формулу $(x+2)^2$.

При $x=98$:
$(98+2)^2 = 100^2 = 10000$.

При $x=-32$:
$(-32+2)^2 = (-30)^2 = 900$.

При $x=-2,5$:
$(-2,5+2)^2 = (-0,5)^2 = 0,25$.

Ответ: 10000; 900; 0,25.

5.11. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(0.2a-5y)^2;$

2) $(0.3x+4y)^2;$

3) $(1.3m+2.5n)^2;$

4) $(\frac{3}{4}x-0.5y)^2;$

5) $(\frac{5}{3}c+0.6)^2;$

6) $(\frac{5}{6}p-\frac{3}{5}q)^2.$

1) Для преобразования выражения $(0,2a - 5y)^2$ в многочлен воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x = 0,2a$ и $y = 5y$.
Подставив значения в формулу, получаем:
$(0,2a - 5y)^2 = (0,2a)^2 - 2 \cdot (0,2a) \cdot (5y) + (5y)^2 = 0,04a^2 - 2ay + 25y^2$.
Ответ: $0,04a^2 - 2ay + 25y^2$.

2) Для выражения $(0,3x + 4y)^2$ применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 0,3x$ и $b = 4y$.
Раскрываем скобки по формуле:
$(0,3x + 4y)^2 = (0,3x)^2 + 2 \cdot (0,3x) \cdot (4y) + (4y)^2 = 0,09x^2 + 2,4xy + 16y^2$.
Ответ: $0,09x^2 + 2,4xy + 16y^2$.

3) К выражению $(1,3m + 2,5n)^2$ применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 1,3m$ и $b = 2,5n$.
Выполняем преобразование:
$(1,3m + 2,5n)^2 = (1,3m)^2 + 2 \cdot (1,3m) \cdot (2,5n) + (2,5n)^2 = 1,69m^2 + 6,5mn + 6,25n^2$.
Ответ: $1,69m^2 + 6,5mn + 6,25n^2$.

4) Для выражения $(\frac{3}{4}x - 0,5y)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Выражение принимает вид $(\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}y)^2$.
В этом случае $a = \frac{3}{4}x$ и $b = \frac{1}{2}y$.
$(\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}y)^2 = (\frac{3}{4}x)^2 - 2 \cdot (\frac{3}{4}x) \cdot (\frac{1}{2}y) + (\frac{1}{2}y)^2 = \frac{9}{16}x^2 - \frac{3}{4}xy + \frac{1}{4}y^2$.
Ответ: $\frac{9}{16}x^2 - \frac{3}{4}xy + \frac{1}{4}y^2$.

5) Для выражения $(1\frac{2}{3}c + 0,6)^2$ применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ и $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Выражение становится $(\frac{5}{3}c + \frac{3}{5})^2$.
Здесь $a = \frac{5}{3}c$ и $b = \frac{3}{5}$.
$(\frac{5}{3}c + \frac{3}{5})^2 = (\frac{5}{3}c)^2 + 2 \cdot (\frac{5}{3}c) \cdot (\frac{3}{5}) + (\frac{3}{5})^2 = \frac{25}{9}c^2 + 2c + \frac{9}{25}$.
Ответ: $\frac{25}{9}c^2 + 2c + \frac{9}{25}$.

6) К выражению $(\frac{5}{6}p - \frac{3}{5}q)^2$ применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = \frac{5}{6}p$ и $b = \frac{3}{5}q$.
Выполняем преобразование:
$(\frac{5}{6}p - \frac{3}{5}q)^2 = (\frac{5}{6}p)^2 - 2 \cdot (\frac{5}{6}p) \cdot (\frac{3}{5}q) + (\frac{3}{5}q)^2 = \frac{25}{36}p^2 - \frac{30}{30}pq + \frac{9}{25}q^2 = \frac{25}{36}p^2 - pq + \frac{9}{25}q^2$.
Ответ: $\frac{25}{36}p^2 - pq + \frac{9}{25}q^2$.

5.12. Преобразуйте выражение в многочлен:

1) $(x^2+3y)^2$;

2) $(0,3a^2+4b)^2$;

3) $(0,2m^2-5n)^2$;

4) $(1,3p^3+2,5p^2)^2$;

5) $(2,4c^3-1,5d^2)^2$;

6) $(7x^2y+3xy^2)^2$.

Для преобразования данных выражений в многочлены необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

1) $(x^2+3y)^2$

Применим формулу квадрата суммы. В данном случае $a = x^2$, а $b = 3y$.

$(x^2+3y)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3y + (3y)^2 = x^{2 \cdot 2} + (2 \cdot 3)x^2y + 3^2y^2 = x^4 + 6x^2y + 9y^2$.

Ответ: $x^4+6x^2y+9y^2$

2) $(0,3a^2+4b)^2$

Применим формулу квадрата суммы, где $a = 0,3a^2$ и $b = 4b$.

$(0,3a^2+4b)^2 = (0,3a^2)^2 + 2 \cdot 0,3a^2 \cdot 4b + (4b)^2 = 0,3^2 \cdot (a^2)^2 + (2 \cdot 0,3 \cdot 4)a^2b + 4^2b^2 = 0,09a^4 + 2,4a^2b + 16b^2$.

Ответ: $0,09a^4+2,4a^2b+16b^2$

3) $(0,2m^2-5n)^2$

Применим формулу квадрата разности, где $a = 0,2m^2$ и $b = 5n$.

$(0,2m^2-5n)^2 = (0,2m^2)^2 - 2 \cdot 0,2m^2 \cdot 5n + (5n)^2 = 0,2^2 \cdot (m^2)^2 - (2 \cdot 0,2 \cdot 5)m^2n + 5^2n^2 = 0,04m^4 - 2m^2n + 25n^2$.

Ответ: $0,04m^4-2m^2n+25n^2$

4) $(1,3p^3+2,5p^2)^2$

Применим формулу квадрата суммы, где $a = 1,3p^3$ и $b = 2,5p^2$.

$(1,3p^3+2,5p^2)^2 = (1,3p^3)^2 + 2 \cdot 1,3p^3 \cdot 2,5p^2 + (2,5p^2)^2 = 1,3^2 \cdot (p^3)^2 + (2 \cdot 1,3 \cdot 2,5)p^{3+2} + 2,5^2 \cdot (p^2)^2 = 1,69p^6 + 6,5p^5 + 6,25p^4$.

Ответ: $1,69p^6+6,5p^5+6,25p^4$

5) $(2,4c^3-1,5d^2)^2$

Применим формулу квадрата разности, где $a = 2,4c^3$ и $b = 1,5d^2$.

$(2,4c^3-1,5d^2)^2 = (2,4c^3)^2 - 2 \cdot 2,4c^3 \cdot 1,5d^2 + (1,5d^2)^2 = 2,4^2 \cdot (c^3)^2 - (2 \cdot 2,4 \cdot 1,5)c^3d^2 + 1,5^2 \cdot (d^2)^2 = 5,76c^6 - 7,2c^3d^2 + 2,25d^4$.

Ответ: $5,76c^6-7,2c^3d^2+2,25d^4$

6) $(7x^2y+3xy^2)^2$

Применим формулу квадрата суммы, где $a = 7x^2y$ и $b = 3xy^2$.

$(7x^2y+3xy^2)^2 = (7x^2y)^2 + 2 \cdot (7x^2y) \cdot (3xy^2) + (3xy^2)^2 = 7^2(x^2)^2y^2 + (2 \cdot 7 \cdot 3)x^{2+1}y^{1+2} + 3^2x^2(y^2)^2 = 49x^4y^2 + 42x^3y^3 + 9x^2y^4$.

Ответ: $49x^4y^2+42x^3y^3+9x^2y^4$