Страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.45. С помощью рисунка 5.3 разъясните геометрический смысл формулы $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для положительных $a$ и $b$ $(a>b)$.

Рис. 5.3

Геометрический смысл формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для положительных $a$ и $b$ (при $a > b$) можно разъяснить с помощью анализа площадей фигур, представленных на рисунке 5.3.

1. Интерпретация выражения $a^2 - b^2$

Рассмотрим весь большой квадрат, изображенный на рисунке. Его стороны состоят из двух отрезков длиной $a-b$ и $b$. Таким образом, длина каждой стороны большого квадрата равна $(a-b)+b=a$. Площадь этого большого квадрата составляет $S_{большого} = a \cdot a = a^2$.

В правом нижнем углу этого квадрата расположен меньший квадрат со стороной $b$. Его площадь равна $S_{малого} = b \cdot b = b^2$.

Выражение $a^2 - b^2$ представляет собой разность площадей этих двух квадратов. Геометрически это площадь фигуры, которая остается после того, как из большого квадрата со стороной $a$ вырезали малый квадрат со стороной $b$. Эта оставшаяся фигура имеет Г-образную форму и на рисунке состоит из трех меньших областей (одного белого квадрата и двух заштрихованных прямоугольников).

2. Интерпретация выражения $(a-b)(a+b)$

Теперь найдем площадь той же Г-образной фигуры другим способом, сложив площади трех составляющих ее частей. Согласно разметке на рисунке, эта фигура состоит из:

• Квадрата в левом верхнем углу со сторонами $a-b$. Его площадь равна $S_1 = (a-b)(a-b) = (a-b)^2$.
• Прямоугольника в правом верхнем углу со сторонами $b$ и $a-b$. Его площадь равна $S_2 = b(a-b)$.
• Прямоугольника в левом нижнем углу со сторонами $a-b$ и $b$. Его площадь равна $S_3 = (a-b)b$.

Общая площадь Г-образной фигуры равна сумме площадей этих трех частей:

$S_{фигуры} = S_1 + S_2 + S_3 = (a-b)^2 + b(a-b) + b(a-b)$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$S_{фигуры} = (a-b) \cdot [(a-b) + b + b]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$S_{фигуры} = (a-b) \cdot (a+b)$

Геометрически это означает, что три части Г-образной фигуры можно переставить так, чтобы образовать один прямоугольник со сторонами $a-b$ и $a+b$. Его площадь, соответственно, равна $(a-b)(a+b)$.

3. Заключение

Мы рассмотрели площадь одной и той же Г-образной фигуры двумя разными способами. В первом случае мы получили, что ее площадь равна $a^2 - b^2$. Во втором случае, суммируя площади ее частей, мы получили, что ее площадь равна $(a-b)(a+b)$. Поскольку речь идет об одной и той же площади, мы можем приравнять эти два выражения.

Ответ: Таким образом, с помощью рисунка 5.3 мы геометрически показали, что площадь, равная разности площадей двух квадратов ($a^2 - b^2$), эквивалентна площади прямоугольника со сторонами $a-b$ и $a+b$, то есть $(a-b)(a+b)$, что и доказывает тождество $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

5.46. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(2xy-1)(2xy+1);$

2) $(1+3ab)(1-3ab);$

3) $(8ab+5)(5-8ab);$

4) $(10cx-6)(10cx+6);$

5) $(8+9cd)(9cd-8);$

6) $(0,2t-0,5u)(0,2t+0,5u).$

1) Чтобы представить данное выражение в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

В выражении $(2xy-1)(2xy+1)$, $a = 2xy$ и $b = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2xy-1)(2xy+1) = (2xy)^2 - 1^2 = 2^2x^2y^2 - 1 = 4x^2y^2 - 1$.

Ответ: $4x^2y^2 - 1$.

2) Здесь также применяется формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

В выражении $(1+3ab)(1-3ab)$, $a = 1$ и $b = 3ab$.

Применим формулу:

$(1+3ab)(1-3ab) = 1^2 - (3ab)^2 = 1 - 3^2a^2b^2 = 1 - 9a^2b^2$.

Ответ: $1 - 9a^2b^2$.

3) Для удобства применения формулы разности квадратов, изменим порядок слагаемых в скобках. Выражение $(8ab+5)(5-8ab)$ можно записать как $(5+8ab)(5-8ab)$.

Теперь это соответствует виду $(a+b)(a-b)$, где $a = 5$ и $b = 8ab$.

Применим формулу $a^2-b^2$:

$(5+8ab)(5-8ab) = 5^2 - (8ab)^2 = 25 - 8^2a^2b^2 = 25 - 64a^2b^2$.

Ответ: $25 - 64a^2b^2$.

4) Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

В выражении $(10cx-6)(10cx+6)$, $a = 10cx$ и $b = 6$.

Подставляем в формулу:

$(10cx-6)(10cx+6) = (10cx)^2 - 6^2 = 10^2c^2x^2 - 36 = 100c^2x^2 - 36$.

Ответ: $100c^2x^2 - 36$.

5) Преобразуем выражение, поменяв слагаемые в первой скобке местами, чтобы было удобнее применить формулу: $(8+9cd)(9cd-8) = (9cd+8)(9cd-8)$.

Теперь выражение соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)$, где $a = 9cd$ и $b = 8$.

Применяем формулу $a^2-b^2$:

$(9cd+8)(9cd-8) = (9cd)^2 - 8^2 = 9^2c^2d^2 - 64 = 81c^2d^2 - 64$.

Ответ: $81c^2d^2 - 64$.

6) Данное выражение $(0,2t-0,5u)(0,2t+0,5u)$ также является произведением разности и суммы двух выражений. Используем формулу $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Здесь $a = 0,2t$ и $b = 0,5u$.

Выполним преобразование:

$(0,2t-0,5u)(0,2t+0,5u) = (0,2t)^2 - (0,5u)^2 = 0,04t^2 - 0,25u^2$.

Ответ: $0,04t^2 - 0,25u^2$.

5.47. Выполните умножение:

1) $ (a^2-5)(a^2+5); $

2) $ (4-x^2)(4+x^2); $

3) $ (9x-y^2)(9x+y^2); $

4) $ (5a^2-3b)(5a^2+3b); $

5) $ (4m^2+6n)(4m^2-6n); $

6) $ (1.3ab-1.1c)(1.3ab+1.1c). $

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x$ соответствует $a^2$, а $y$ соответствует $5$. Подставим эти значения в формулу:
$(a^2-5)(a^2+5) = (a^2)^2 - 5^2 = a^{2 \cdot 2} - 25 = a^4 - 25$.
Ответ: $a^4 - 25$.

2) Применим ту же формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = 4$ и $y = x^2$.
$(4-x^2)(4+x^2) = 4^2 - (x^2)^2 = 16 - x^{2 \cdot 2} = 16 - x^4$.
Ответ: $16 - x^4$.

3) Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном выражении $x = 9x$, а $y = y^2$.
$(9x-y^2)(9x+y^2) = (9x)^2 - (y^2)^2 = 9^2x^2 - y^{2 \cdot 2} = 81x^2 - y^4$.
Ответ: $81x^2 - y^4$.

4) Выполним умножение, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = 5a^2$ и $y = 3b$.
$(5a^2-3b)(5a^2+3b) = (5a^2)^2 - (3b)^2 = 5^2(a^2)^2 - 3^2b^2 = 25a^4 - 9b^2$.
Ответ: $25a^4 - 9b^2$.

5) Это выражение также является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В этом примере $x = 4m^2$ и $y = 6n$.
$(4m^2+6n)(4m^2-6n) = (4m^2)^2 - (6n)^2 = 4^2(m^2)^2 - 6^2n^2 = 16m^4 - 36n^2$.
Ответ: $16m^4 - 36n^2$.

6) Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = 1,3ab$ и $y = 1,1c$.
$(1,3ab-1,1c)(1,3ab+1,1c) = (1,3ab)^2 - (1,1c)^2 = 1,3^2a^2b^2 - 1,1^2c^2 = 1,69a^2b^2 - 1,21c^2$.
Ответ: $1,69a^2b^2 - 1,21c^2$.

5.48. Выполните действия:

1) $(a^2+b^2)(a^2-b^2);$

2) $(c^3-d^3)(c^3+d^3);$

3) $(10m^2-n^2)(10m^2+n^2);$

4) $(c^4+d^2)(c^4-d^2);$

5) $(5x^2+2y^3)(2y^3-5x^2);$

6) $(1{,}4c-0{,}7a^3)(1{,}4c+0{,}7a^3).$

Для выполнения данных действий во всех примерах используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

1) В выражении $(a^2+b^2)(a^2-b^2)$ мы имеем произведение суммы и разности двух одночленов: $a^2$ и $b^2$. Применяя формулу разности квадратов, где в качестве $a$ выступает $a^2$, а в качестве $b$ выступает $b^2$, получаем:
$(a^2+b^2)(a^2-b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^{2 \cdot 2} - b^{2 \cdot 2} = a^4 - b^4$.
Ответ: $a^4 - b^4$.

2) В выражении $(c^3-d^3)(c^3+d^3)$ множители представляют собой разность и сумму одночленов $c^3$ и $d^3$. Применяем ту же формулу:
$(c^3-d^3)(c^3+d^3) = (c^3)^2 - (d^3)^2 = c^{3 \cdot 2} - d^{3 \cdot 2} = c^6 - d^6$.
Ответ: $c^6 - d^6$.

3) Выражение $(10m^2-n^2)(10m^2+n^2)$ также является произведением разности и суммы. Здесь в роли $a$ выступает $10m^2$, а в роли $b$ — $n^2$.
$(10m^2-n^2)(10m^2+n^2) = (10m^2)^2 - (n^2)^2 = 10^2(m^2)^2 - (n^2)^2 = 100m^4 - n^4$.
Ответ: $100m^4 - n^4$.

4) В выражении $(c^4+d^2)(c^4-d^2)$ имеем произведение суммы и разности одночленов $c^4$ и $d^2$. Применяем формулу:
$(c^4+d^2)(c^4-d^2) = (c^4)^2 - (d^2)^2 = c^{4 \cdot 2} - d^{2 \cdot 2} = c^8 - d^4$.
Ответ: $c^8 - d^4$.

5) В выражении $(5x^2+2y^3)(2y^3-5x^2)$ необходимо сначала преобразовать его к виду $(a+b)(a-b)$. Заметим, что $(5x^2+2y^3)$ можно записать как $(2y^3+5x^2)$ из-за коммутативности сложения.
Получаем: $(2y^3+5x^2)(2y^3-5x^2)$.
Теперь это произведение суммы и разности выражений $2y^3$ и $5x^2$. Применяем формулу:
$(2y^3)^2 - (5x^2)^2 = 2^2(y^3)^2 - 5^2(x^2)^2 = 4y^6 - 25x^4$.
Ответ: $4y^6 - 25x^4$.

6) В выражении $(1,4c-0,7a^3)(1,4c+0,7a^3)$ имеем произведение разности и суммы выражений $1,4c$ и $0,7a^3$. Применяем формулу, возводя в квадрат каждый член:
$(1,4c-0,7a^3)(1,4c+0,7a^3) = (1,4c)^2 - (0,7a^3)^2 = 1,4^2 \cdot c^2 - 0,7^2 \cdot (a^3)^2 = 1,96c^2 - 0,49a^6$.
Ответ: $1,96c^2 - 0,49a^6$.

5.49. Выполните умножение:

1) $(x^n+y^n)(x^n-y^n)$;

2) $(a^k-b)(a^k+b)$;

3) $(p^m-q^n)(p^m+q^n)$;

4) $(a-2)(a+2)(a^2+4)$;

5) $(5-x)(5+x)(25+x^2)$;

6) $(a-2)^2(a+2)^2$.

1) Для решения данного примера используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В нашем случае, заменим $a$ на $x^n$ и $b$ на $y^n$.
$(x^n+y^n)(x^n-y^n) = (x^n)^2 - (y^n)^2$.
Используя свойство степени $(a^m)^k=a^{mk}$, получаем:
$(x^n)^2 - (y^n)^2 = x^{2n} - y^{2n}$.
Ответ: $x^{2n} - y^{2n}$

2) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Здесь в качестве первого члена выступает $a^k$, а в качестве второго — $b$.
$(a^k-b)(a^k+b) = (a^k)^2 - b^2 = a^{2k} - b^2$.
Ответ: $a^{2k} - b^2$

3) Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В этом выражении $a = p^m$ и $b = q^n$.
$(p^m-q^n)(p^m+q^n) = (p^m)^2 - (q^n)^2 = p^{2m} - q^{2n}$.
Ответ: $p^{2m} - q^{2n}$

4) В этом примере формула разности квадратов используется последовательно.
Сначала перемножим первые две скобки: $(a-2)(a+2)$.
$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $(a^2-4)(a^2+4)$.
Это снова разность квадратов, где первый член равен $a^2$, а второй — 4.
$(a^2-4)(a^2+4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.
Ответ: $a^4 - 16$

5) Решение аналогично предыдущему примеру. Выполним умножение по шагам.
Шаг 1: перемножим $(5-x)(5+x)$ по формуле разности квадратов.
$(5-x)(5+x) = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
Шаг 2: подставим полученный результат в исходное выражение и снова применим ту же формулу.
$(25-x^2)(25+x^2) = 25^2 - (x^2)^2 = 625 - x^4$.
Ответ: $625 - x^4$

6) Для решения этого примера удобно использовать свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$ в обратном порядке: $x^n y^n = (xy)^n$.
$(a-2)^2(a+2)^2 = ((a-2)(a+2))^2$.
Выражение во внутренних скобках является разностью квадратов: $(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2-4$.
Теперь исходное выражение равно $(a^2-4)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(a^2-4)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = a^4 - 8a^2 + 16$.
Ответ: $a^4 - 8a^2 + 16$

5.50. Представьте выражение в виде произведения:

1) $(2a+5)^2-49;$

2) $(5x-2y)^2-9y^2;$

3) $p^2-(3p+1)^2;$

4) $(2a+b)^2-(a-2b)^2;$

5) $(x+y)^2-(x-y)^2;$

6) $(4p-q)^2-(2p+3q)^2.$

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1) Представим выражение $(2a+5)^2-49$ в виде разности квадратов. В данном случае $A = 2a+5$ и $B^2 = 49$, следовательно, $B = \sqrt{49} = 7$. Применим формулу:
$(2a+5)^2 - 7^2 = ((2a+5) - 7)((2a+5) + 7)$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(2a + 5 - 7)(2a + 5 + 7) = (2a - 2)(2a + 12)$.
Можно вынести общий множитель 2 из каждой скобки:
$2(a - 1) \cdot 2(a + 6) = 4(a - 1)(a + 6)$.
Ответ: $4(a - 1)(a + 6)$.

2) Рассмотрим выражение $(5x-2y)^2-9y^2$. Здесь $A = 5x-2y$ и $B^2 = 9y^2$, значит $B = \sqrt{9y^2} = 3y$. Подставим в формулу разности квадратов:
$(5x-2y)^2 - (3y)^2 = ((5x-2y) - 3y)((5x-2y) + 3y)$.
Приведем подобные слагаемые в скобках:
$(5x - 2y - 3y)(5x - 2y + 3y) = (5x - 5y)(5x + y)$.
Вынесем общий множитель 5 из первой скобки:
$5(x - y)(5x + y)$.
Ответ: $5(x - y)(5x + y)$.

3) Разложим на множители выражение $p^2-(3p+1)^2$. В этом случае $A = p$ и $B = 3p+1$. Применим формулу:
$p^2 - (3p+1)^2 = (p - (3p+1))(p + (3p+1))$.
Раскроем внутренние скобки, обращая внимание на знаки, и упростим:
$(p - 3p - 1)(p + 3p + 1) = (-2p - 1)(4p + 1)$.
Ответ: $(-2p - 1)(4p + 1)$.

4) Представим в виде произведения $(2a+b)^2-(a-2b)^2$. Это разность квадратов, где $A = 2a+b$ и $B = a-2b$. Используем формулу:
$((2a+b) - (a-2b))((2a+b) + (a-2b))$.
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые в каждом множителе:
Первый множитель: $(2a+b - a + 2b) = (a + 3b)$.
Второй множитель: $(2a+b + a - 2b) = (3a - b)$.
В результате получаем произведение:
$(a + 3b)(3a - b)$.
Ответ: $(a + 3b)(3a - b)$.

5) Разложим на множители $(x+y)^2-(x-y)^2$. Здесь $A = x+y$ и $B = x-y$. Применим формулу разности квадратов:
$((x+y) - (x-y))((x+y) + (x-y))$.
Упростим выражения в скобках:
$(x+y - x + y)(x+y + x - y) = (2y)(2x)$.
Перемножим полученные одночлены:
$4xy$.
Ответ: $4xy$.

6) Представим в виде произведения $(4p-q)^2-(2p+3q)^2$. Используем формулу разности квадратов, где $A = 4p-q$ и $B = 2p+3q$.
$((4p-q) - (2p+3q))((4p-q) + (2p+3q))$.
Упростим каждый множитель:
$(4p-q - 2p - 3q)(4p-q + 2p + 3q) = (2p - 4q)(6p + 2q)$.
Вынесем общие множители из каждой скобки для окончательного упрощения:
$2(p - 2q) \cdot 2(3p + q) = 4(p - 2q)(3p + q)$.
Ответ: $4(p - 2q)(3p + q)$.

5.51. Представьте выражение в виде произведения:

1) $c^6 - 9x^4;$

2) $x^4y^2 - 1;$

3) $25a^2b^2 - 16x^4;$

4) $100x^2 - y^8.$

1) Для того чтобы представить выражение $c^6 - 9x^4$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата: $c^6 = (c^3)^2$ и $9x^4 = (3x^2)^2$. Таким образом, исходное выражение можно записать как $(c^3)^2 - (3x^2)^2$. Применив формулу, где $a = c^3$ и $b = 3x^2$, получаем: $(c^3 - 3x^2)(c^3 + 3x^2)$.
Ответ: $(c^3 - 3x^2)(c^3 + 3x^2)$.

2) Выражение $x^4y^2 - 1$ также является разностью квадратов. Представим его члены в виде квадратов: $x^4y^2 = (x^2y)^2$ и $1 = 1^2$. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2y$ и $b = 1$, получаем: $(x^2y - 1)(x^2y + 1)$.
Ответ: $(x^2y - 1)(x^2y + 1)$.

3) Для выражения $25a^2b^2 - 16x^4$ применим тот же метод. Представим члены выражения как квадраты: $25a^2b^2 = (5ab)^2$ и $16x^4 = (4x^2)^2$. По формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5ab$ и $b = 4x^2$, разложение будет выглядеть так: $(5ab - 4x^2)(5ab + 4x^2)$.
Ответ: $(5ab - 4x^2)(5ab + 4x^2)$.

4) Рассмотрим выражение $100x^2 - y^8$. Представим его члены в виде квадратов: $100x^2 = (10x)^2$ и $y^8 = (y^4)^2$. Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 10x$ и $b = y^4$, получаем произведение: $(10x - y^4)(10x + y^4)$.
Ответ: $(10x - y^4)(10x + y^4)$.

5.52. Разложите на множители:

1) $81y^2-a^8;$ 3) $25m^2-49n^2;$ 5) $1-64a^8;$ 7) $\frac{m^4n^6}{9}-\frac{p^4}{16};$

2) $16x^2y^4-81z^2;$ 4) $0,49p^4-m^2q^6;$ 6) $a^4-a^8;$ 8) $\frac{4a^2x^4}{25}-\frac{9y^4}{16}.$

Для решения всех заданий используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $81y^2 - a^8$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$81y^2 = (9y)^2$

$a^8 = (a^4)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$81y^2 - a^8 = (9y)^2 - (a^4)^2 = (9y - a^4)(9y + a^4)$

Ответ: $(9y - a^4)(9y + a^4)$

2) $16x^2y^4 - 81z^2$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$16x^2y^4 = (4xy^2)^2$

$81z^2 = (9z)^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$16x^2y^4 - 81z^2 = (4xy^2)^2 - (9z)^2 = (4xy^2 - 9z)(4xy^2 + 9z)$

Ответ: $(4xy^2 - 9z)(4xy^2 + 9z)$

3) $25m^2 - 49n^2$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$25m^2 = (5m)^2$

$49n^2 = (7n)^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$25m^2 - 49n^2 = (5m)^2 - (7n)^2 = (5m - 7n)(5m + 7n)$

Ответ: $(5m - 7n)(5m + 7n)$

4) $0,49p^4 - m^2q^6$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$0,49p^4 = (0,7p^2)^2$

$m^2q^6 = (mq^3)^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$0,49p^4 - m^2q^6 = (0,7p^2)^2 - (mq^3)^2 = (0,7p^2 - mq^3)(0,7p^2 + mq^3)$

Ответ: $(0,7p^2 - mq^3)(0,7p^2 + mq^3)$

5) $1 - 64a^8$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$1 = 1^2$

$64a^8 = (8a^4)^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$1 - 64a^8 = 1^2 - (8a^4)^2 = (1 - 8a^4)(1 + 8a^4)$

Ответ: $(1 - 8a^4)(1 + 8a^4)$

6) $a^4 - a^8$

Сначала вынесем общий множитель $a^4$ за скобки:

$a^4 - a^8 = a^4(1 - a^4)$

Выражение в скобках $(1 - a^4)$ является разностью квадратов, где $1 = 1^2$ и $a^4 = (a^2)^2$.

$a^4(1 - a^4) = a^4(1^2 - (a^2)^2) = a^4(1 - a^2)(1 + a^2)$

Выражение $(1 - a^2)$ также является разностью квадратов. Разложим его:

$1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$

Подставим обратно в выражение:

$a^4(1 - a^2)(1 + a^2) = a^4(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)$

Ответ: $a^4(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)$

7) $\frac{m^4n^6}{9} - \frac{p^4}{16}$

Представим каждую дробь в виде квадрата:

$\frac{m^4n^6}{9} = (\frac{m^2n^3}{3})^2$

$\frac{p^4}{16} = (\frac{p^2}{4})^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$\frac{m^4n^6}{9} - \frac{p^4}{16} = (\frac{m^2n^3}{3})^2 - (\frac{p^2}{4})^2 = (\frac{m^2n^3}{3} - \frac{p^2}{4})(\frac{m^2n^3}{3} + \frac{p^2}{4})$

Ответ: $(\frac{m^2n^3}{3} - \frac{p^2}{4})(\frac{m^2n^3}{3} + \frac{p^2}{4})$

8) $\frac{4a^2x^4}{25} - \frac{9y^4}{16}$

Представим каждую дробь в виде квадрата:

$\frac{4a^2x^4}{25} = (\frac{2ax^2}{5})^2$

$\frac{9y^4}{16} = (\frac{3y^2}{4})^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$\frac{4a^2x^4}{25} - \frac{9y^4}{16} = (\frac{2ax^2}{5})^2 - (\frac{3y^2}{4})^2 = (\frac{2ax^2}{5} - \frac{3y^2}{4})(\frac{2ax^2}{5} + \frac{3y^2}{4})$

Ответ: $(\frac{2ax^2}{5} - \frac{3y^2}{4})(\frac{2ax^2}{5} + \frac{3y^2}{4})$