Страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу суммы кубов двух выражений.

2. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений.

3. Напишите формулу разности кубов двух выражений.

4. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений.

5. Докажите формулы (5) и (6).

1. Напишите формулу суммы кубов двух выражений.

Формула для разложения на множители суммы кубов двух произвольных выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

2. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений.

Это правило является словесным выражением формулы суммы кубов.

Ответ: Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

3. Напишите формулу разности кубов двух выражений.

Формула для разложения на множители разности кубов двух произвольных выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

4. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений.

Это правило является словесным выражением формулы разности кубов.

Ответ: Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

5. Докажите формулы (5) и (6).

Предположим, что под формулой (5) имеется в виду формула суммы кубов, а под формулой (6) — формула разности кубов. Для доказательства этих тождеств достаточно раскрыть скобки в их правых частях и убедиться, что полученные выражения равны левым частям.

Доказательство формулы (5) — суммы кубов:
Необходимо доказать, что $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
Выполним умножение многочленов в левой части:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$.
Левая часть равна правой, следовательно, формула верна.

Доказательство формулы (6) — разности кубов:
Необходимо доказать, что $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Выполним умножение многочленов в левой части:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$.
Левая часть равна правой, следовательно, формула верна.

Ответ: Доказательство обеих формул основано на тождественном преобразовании их правых частей. Путем раскрытия скобок и приведения подобных членов правая часть каждой формулы приводится к виду, идентичному ее левой части, что подтверждает верность равенств.

5.72. Разложите многочлен на множители:

1) $x^3+y^3$;

2) $x^3-y^3$;

3) $m^3-n^3$;

4) $m^3+n^3$;

5) $p^3+q^3$;

6) $p^3-q^3$;

7) $a^3+8$;

8) $a^3-8$;

9) $m^3+27$;

10) $n^3-27$;

11) $1-x^3$;

12) $1+y^3$.

Для разложения данных многочленов на множители используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) Для разложения многочлена $x^3+y^3$ на множители применим формулу суммы кубов. В данном случае $a=x$ и $b=y$.
$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Ответ: $(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

2) Для разложения многочлена $x^3-y^3$ на множители применим формулу разности кубов. В данном случае $a=x$ и $b=y$.
$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Ответ: $(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

3) Для разложения многочлена $m^3-n^3$ на множители применим формулу разности кубов. В данном случае $a=m$ и $b=n$.
$m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$.
Ответ: $(m-n)(m^2+mn+n^2)$.

4) Для разложения многочлена $m^3+n^3$ на множители применим формулу суммы кубов. В данном случае $a=m$ и $b=n$.
$m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$.
Ответ: $(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

5) Для разложения многочлена $p^3+q^3$ на множители применим формулу суммы кубов. В данном случае $a=p$ и $b=q$.
$p^3+q^3 = (p+q)(p^2-pq+q^2)$.
Ответ: $(p+q)(p^2-pq+q^2)$.

6) Для разложения многочлена $p^3-q^3$ на множители применим формулу разности кубов. В данном случае $a=p$ и $b=q$.
$p^3-q^3 = (p-q)(p^2+pq+q^2)$.
Ответ: $(p-q)(p^2+pq+q^2)$.

7) Представим многочлен $a^3+8$ в виде суммы кубов. Поскольку $8 = 2^3$, имеем $a^3+2^3$. Теперь применим формулу суммы кубов, где в качестве $a$ выступает $a$, а в качестве $b$ - число $2$.
$a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Ответ: $(a+2)(a^2-2a+4)$.

8) Представим многочлен $a^3-8$ в виде разности кубов. Поскольку $8 = 2^3$, имеем $a^3-2^3$. Теперь применим формулу разности кубов, где $a=a$ и $b=2$.
$a^3-8 = a^3-2^3 = (a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a-2)(a^2+2a+4)$.
Ответ: $(a-2)(a^2+2a+4)$.

9) Представим многочлен $m^3+27$ в виде суммы кубов. Поскольку $27 = 3^3$, имеем $m^3+3^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a=m$ и $b=3$.
$m^3+27 = m^3+3^3 = (m+3)(m^2 - m \cdot 3 + 3^2) = (m+3)(m^2-3m+9)$.
Ответ: $(m+3)(m^2-3m+9)$.

10) Представим многочлен $n^3-27$ в виде разности кубов. Поскольку $27 = 3^3$, имеем $n^3-3^3$. Применим формулу разности кубов, где $a=n$ и $b=3$.
$n^3-27 = n^3-3^3 = (n-3)(n^2 + n \cdot 3 + 3^2) = (n-3)(n^2+3n+9)$.
Ответ: $(n-3)(n^2+3n+9)$.

11) Представим многочлен $1-x^3$ в виде разности кубов. Поскольку $1 = 1^3$, имеем $1^3-x^3$. Применим формулу разности кубов, где $a=1$ и $b=x$.
$1-x^3 = 1^3-x^3 = (1-x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1-x)(1+x+x^2)$.
Ответ: $(1-x)(1+x+x^2)$.

12) Представим многочлен $1+y^3$ в виде суммы кубов. Поскольку $1 = 1^3$, имеем $1^3+y^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a=1$ и $b=y$.
$1+y^3 = 1^3+y^3 = (1+y)(1^2 - 1 \cdot y + y^2) = (1+y)(1-y+y^2)$.
Ответ: $(1+y)(1-y+y^2)$.

5.73. Разложите многочлен на множители:

1) $27-8a^3$;

2) $8x^3+y^3$;

3) $27a^3-8b^3$;

4) $1+64y^3$;

5) $125x^3-27y^3$;

6) $1-8b^3$;

7) $8+\frac{1}{8}a^3$;

8) $\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125}$.

Для решения всех пунктов этого задания используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

1) $27-8a^3$

Представим многочлен в виде разности кубов. Заметим, что $27 = 3^3$ и $8a^3 = (2a)^3$.
Применяем формулу разности кубов, где $a$ заменяется на $3$, а $b$ на $2a$:
$27 - 8a^3 = 3^3 - (2a)^3 = (3-2a)(3^2 + 3 \cdot 2a + (2a)^2) = (3-2a)(9+6a+4a^2)$.
Ответ: $(3-2a)(9+6a+4a^2)$.

2) $8x^3+y^3$

Представим многочлен в виде суммы кубов. Заметим, что $8x^3 = (2x)^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a$ заменяется на $2x$, а $b$ на $y$:
$8x^3+y^3 = (2x)^3+y^3 = (2x+y)((2x)^2 - 2x \cdot y + y^2) = (2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.
Ответ: $(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.

3) $27a^3-8b^3$

Представим многочлен в виде разности кубов. Заметим, что $27a^3 = (3a)^3$ и $8b^3 = (2b)^3$.
Применяем формулу разности кубов, где $a$ заменяется на $3a$, а $b$ на $2b$:
$27a^3-8b^3 = (3a)^3 - (2b)^3 = (3a-2b)((3a)^2 + 3a \cdot 2b + (2b)^2) = (3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$.
Ответ: $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$.

4) $1+64y^3$

Представим многочлен в виде суммы кубов. Заметим, что $1 = 1^3$ и $64y^3 = (4y)^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a$ заменяется на $1$, а $b$ на $4y$:
$1+64y^3 = 1^3 + (4y)^3 = (1+4y)(1^2 - 1 \cdot 4y + (4y)^2) = (1+4y)(1-4y+16y^2)$.
Ответ: $(1+4y)(1-4y+16y^2)$.

5) $125x^3-27y^3$

Представим многочлен в виде разности кубов. Заметим, что $125x^3 = (5x)^3$ и $27y^3 = (3y)^3$.
Применяем формулу разности кубов, где $a$ заменяется на $5x$, а $b$ на $3y$:
$125x^3-27y^3 = (5x)^3 - (3y)^3 = (5x-3y)((5x)^2 + 5x \cdot 3y + (3y)^2) = (5x-3y)(25x^2+15xy+9y^2)$.
Ответ: $(5x-3y)(25x^2+15xy+9y^2)$.

6) $1-8b^3$

Представим многочлен в виде разности кубов. Заметим, что $1 = 1^3$ и $8b^3 = (2b)^3$.
Применяем формулу разности кубов, где $a$ заменяется на $1$, а $b$ на $2b$:
$1-8b^3 = 1^3 - (2b)^3 = (1-2b)(1^2 + 1 \cdot 2b + (2b)^2) = (1-2b)(1+2b+4b^2)$.
Ответ: $(1-2b)(1+2b+4b^2)$.

7) $8+\frac{1}{8}a^3$

Представим многочлен в виде суммы кубов. Заметим, что $8 = 2^3$ и $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a$ заменяется на $2$, а $b$ на $\frac{1}{2}a$:
$8+\frac{1}{8}a^3 = 2^3 + (\frac{1}{2}a)^3 = (2+\frac{1}{2}a)(2^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2) = (2+\frac{1}{2}a)(4-a+\frac{1}{4}a^2)$.
Ответ: $(2+\frac{1}{2}a)(4-a+\frac{1}{4}a^2)$.

8) $\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125}$

Представим многочлен в виде суммы кубов. Заметим, что $64=4^3$ и $125=5^3$, следовательно $\frac{m^3}{64} = (\frac{m}{4})^3$ и $\frac{n^3}{125} = (\frac{n}{5})^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a$ заменяется на $\frac{m}{4}$, а $b$ на $\frac{n}{5}$:
$\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125} = (\frac{m}{4})^3 + (\frac{n}{5})^3 = (\frac{m}{4}+\frac{n}{5})((\frac{m}{4})^2 - \frac{m}{4} \cdot \frac{n}{5} + (\frac{n}{5})^2) = (\frac{m}{4}+\frac{n}{5})(\frac{m^2}{16}-\frac{mn}{20}+\frac{n^2}{25})$.
Ответ: $(\frac{m}{4}+\frac{n}{5})(\frac{m^2}{16}-\frac{mn}{20}+\frac{n^2}{25})$.

5.74. Запишите выражение в виде произведения:

1) $-a^3+b^3;$

2) $-a^6+\frac{1}{8};$

3) $x^6+27;$

4) $-64-y^3;$

5) $-\frac{b^3}{27}-1;$

6) $m^6+n^6.$

1) Чтобы записать выражение $-a^3+b^3$ в виде произведения, поменяем слагаемые местами, чтобы получить более привычный вид: $b^3-a^3$. Это выражение является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. В нашем случае $x=b$ и $y=a$.
Подставляем наши значения в формулу:
$b^3-a^3=(b-a)(b^2+ba+a^2)$.
Для стандартного вида упорядочим переменные во второй скобке: $(b-a)(a^2+ab+b^2)$.
Ответ: $(b-a)(a^2+ab+b^2)$.

2) Перепишем выражение $-a^6 + \frac{1}{8}$ в виде $\frac{1}{8} - a^6$. Это выражение можно представить как разность кубов. Для этого заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $a^6 = (a^2)^3$.
Таким образом, мы получаем выражение $(\frac{1}{2})^3 - (a^2)^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=\frac{1}{2}$ и $y=a^2$:
$(\frac{1}{2}-a^2)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot a^2 + (a^2)^2) = (\frac{1}{2}-a^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a^2+a^4)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}-a^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a^2+a^4)$.

3) Выражение $x^6+27$ представляет собой сумму. Мы можем представить его как сумму кубов, так как $x^6 = (x^2)^3$ и $27 = 3^3$.
Таким образом, выражение преобразуется в $(x^2)^3+3^3$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x^2$ и $b=3$:
$(x^2+3)((x^2)^2 - x^2 \cdot 3 + 3^2) = (x^2+3)(x^4-3x^2+9)$.
Ответ: $(x^2+3)(x^4-3x^2+9)$.

4) В выражении $-64-y^3$ вынесем знак минус за скобки: $-(64+y^3)$.
Теперь выражение в скобках, $64+y^3$, является суммой кубов, поскольку $64=4^3$.
Получаем $-(4^3+y^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=4$ и $b=y$:
$-(4+y)(4^2-4y+y^2) = -(4+y)(16-4y+y^2)$.
Упорядочим слагаемые для стандартного вида: $-(y+4)(y^2-4y+16)$.
Ответ: $-(y+4)(y^2-4y+16)$.

5) В выражении $-\frac{b^3}{27} - 1$ вынесем общий множитель -1 за скобки: $-(\frac{b^3}{27} + 1)$.
Выражение в скобках является суммой кубов, так как $\frac{b^3}{27}=(\frac{b}{3})^3$ и $1=1^3$.
Получаем выражение $-((\frac{b}{3})^3+1^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=\frac{b}{3}$ и $b=1$:
$-(\frac{b}{3}+1)((\frac{b}{3})^2-\frac{b}{3} \cdot 1+1^2) = -(\frac{b}{3}+1)(\frac{b^2}{9}-\frac{b}{3}+1)$.
Ответ: $-(\frac{b}{3}+1)(\frac{b^2}{9}-\frac{b}{3}+1)$.

6) Выражение $m^6+n^6$ можно представить как сумму кубов. Для этого запишем $m^6=(m^2)^3$ и $n^6=(n^2)^3$.
Тогда исходное выражение примет вид $(m^2)^3+(n^2)^3$.
Теперь воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=m^2$ и $b=n^2$:
$(m^2+n^2)((m^2)^2 - m^2n^2 + (n^2)^2) = (m^2+n^2)(m^4-m^2n^2+n^4)$.
Ответ: $(m^2+n^2)(m^4-m^2n^2+n^4)$.

5.75. Запишите выражение в виде суммы или разности кубов одночленов:

1) $(a-2)(a^2+2a+4);$

2) $(x+2y)(x^2-2xy+4y^2);$

3) $(4+b)(16-4b+b^2);$

4) $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2).$

1) Для преобразования данного выражения используется формула сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В выражении $(a-2)(a^2+2a+4)$ мы можем определить $x=a$ и $y=2$.
Проверим соответствие второго множителя $(a^2+2a+4)$ формуле $(x^2+xy+y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = a^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = a \cdot 2 = 2a$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу разности кубов:
$(a-2)(a^2+2a+4) = a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.
Ответ: $a^3 - 8$.

2) Для преобразования данного выражения используется формула сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В выражении $(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$ мы можем определить $x=x$ и $y=2y$.
Проверим соответствие второго множителя $(x^2-2xy+4y^2)$ формуле $(x^2-xy+y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = x^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = x \cdot (2y) = 2xy$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (2y)^2 = 4y^2$.

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу суммы кубов:
$(x+2y)(x^2-2xy+4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$.
Ответ: $x^3 + 8y^3$.

3) Для преобразования данного выражения используется формула сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В выражении $(4+b)(16-4b+b^2)$ мы можем определить $x=4$ и $y=b$.
Проверим соответствие второго множителя $(16-4b+b^2)$ формуле $(x^2-xy+y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = 4^2 = 16$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = 4 \cdot b = 4b$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = b^2$.

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу суммы кубов:
$(4+b)(16-4b+b^2) = 4^3 + b^3 = 64 + b^3$.
Ответ: $64 + b^3$.

4) Для преобразования данного выражения используется формула сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В выражении $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$ мы можем определить $x=3a$ и $y=2b$.
Проверим соответствие второго множителя $(9a^2+6ab+4b^2)$ формуле $(x^2+xy+y^2)$:

• Квадрат первого члена: $x^2 = (3a)^2 = 9a^2$.
• Произведение первого и второго членов: $xy = (3a) \cdot (2b) = 6ab$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу разности кубов:
$(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2) = (3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3 - 8b^3$.
Ответ: $27a^3 - 8b^3$.

5.76. Упростите выражение:

1) $(a+1)(a^2-a+1)-a^3;$

2) $(x+y)(x^2-xy+y^2)-x(x^2+y^2);$

3) $(m-2)(m^2+2m+4)+8;$

4) $(c+3)(c^2-3c+9)-27.$

1) Для упрощения выражения $(a+1)(a^2-a+1)-a^3$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.
В данном выражении $x=a$ и $y=1$. Применяя формулу к произведению $(a+1)(a^2-a+1)$, получаем:
$(a+1)(a^2-a \cdot 1+1^2) = a^3+1^3 = a^3+1$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(a^3+1) - a^3 = a^3 - a^3 + 1 = 1$.
Ответ: $1$.

2) Рассмотрим выражение $(x+y)(x^2-xy+y^2)-x(x^2+y^2)$.
Первая часть выражения, $(x+y)(x^2-xy+y^2)$, является формулой суммы кубов, которая равна $x^3+y^3$.
Вторая часть выражения, $-x(x^2+y^2)$, упрощается путем раскрытия скобок (умножаем $-x$ на каждый член в скобках):
$-x(x^2+y^2) = -x \cdot x^2 - x \cdot y^2 = -x^3 - xy^2$.
Теперь объединим обе упрощенные части:
$(x^3+y^3) + (-x^3 - xy^2) = x^3+y^3-x^3-xy^2$.
Приводим подобные слагаемые: $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются.
В результате остается: $y^3-xy^2$.
Ответ: $y^3-xy^2$.

3) Для упрощения выражения $(m-2)(m^2+2m+4)+8$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.
В нашем случае $x=m$ и $y=2$. Применяя формулу к произведению $(m-2)(m^2+2m+4)$, получаем:
$(m-2)(m^2+m \cdot 2+2^2) = m^3-2^3 = m^3-8$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$(m^3-8)+8 = m^3-8+8 = m^3$.
Ответ: $m^3$.

4) Рассмотрим выражение $(c+3)(c^2-3c+9)-27$.
Произведение $(c+3)(c^2-3c+9)$ соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$, где $x=c$ и $y=3$.
Применяя эту формулу, получаем:
$(c+3)(c^2-c \cdot 3+3^2) = c^3+3^3 = c^3+27$.
Теперь подставим это в исходное выражение и выполним вычитание:
$(c^3+27)-27 = c^3+27-27 = c^3$.
Ответ: $c^3$.

5.77. Разложите на множители:

1) $x^3+64;$

2) $125-x^3;$

3) $27a^3-64b^3;$

4) $1+27m^3;$

5) $\frac{n^3}{64}+8;$

6) $\frac{p^3}{64}-\frac{q^3}{27}.$

1) Для разложения на множители выражения $x^3+64$ используется формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Сначала представим выражение в виде суммы кубов. Число 64 можно представить как $4^3$. Таким образом, получаем:
$x^3+64 = x^3+4^3$.
В данном случае, $a=x$ и $b=4$. Применим формулу суммы кубов:
$x^3+4^3 = (x+4)(x^2 - x \cdot 4 + 4^2) = (x+4)(x^2-4x+16)$.
Ответ: $(x+4)(x^2-4x+16)$.

2) Для разложения на множители выражения $125-x^3$ используется формула разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов. Число 125 можно представить как $5^3$. Таким образом, получаем:
$125-x^3 = 5^3-x^3$.
В данном случае, $a=5$ и $b=x$. Применим формулу разности кубов:
$5^3-x^3 = (5-x)(5^2 + 5 \cdot x + x^2) = (5-x)(25+5x+x^2)$.
Ответ: $(5-x)(25+5x+x^2)$.

3) Для разложения на множители выражения $27a^3-64b^3$ используется формула разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $27a^3 = (3a)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$.
Выражение принимает вид: $(3a)^3-(4b)^3$.
В данном случае, $x=3a$ и $y=4b$. Применим формулу разности кубов:
$(3a-4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2) = (3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$.
Ответ: $(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$.

4) Для разложения на множители выражения $1+27m^3$ используется формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $1=1^3$ и $27m^3 = (3m)^3$.
Выражение принимает вид: $1^3+(3m)^3$.
В данном случае, $a=1$ и $b=3m$. Применим формулу суммы кубов:
$(1+3m)(1^2 - 1 \cdot 3m + (3m)^2) = (1+3m)(1-3m+9m^2)$.
Ответ: $(1+3m)(1-3m+9m^2)$.

5) Для разложения на множители выражения $\frac{n^3}{64}+8$ используется формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $\frac{n^3}{64} = (\frac{n}{4})^3$ и $8 = 2^3$.
Выражение принимает вид: $(\frac{n}{4})^3+2^3$.
В данном случае, $a=\frac{n}{4}$ и $b=2$. Применим формулу суммы кубов:
$(\frac{n}{4}+2)((\frac{n}{4})^2 - \frac{n}{4} \cdot 2 + 2^2) = (\frac{n}{4}+2)(\frac{n^2}{16} - \frac{2n}{4} + 4) = (\frac{n}{4}+2)(\frac{n^2}{16} - \frac{n}{2} + 4)$.
Ответ: $(\frac{n}{4}+2)(\frac{n^2}{16} - \frac{n}{2} + 4)$.

6) Для разложения на множители выражения $\frac{p^3}{64}-\frac{q^3}{27}$ используется формула разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим каждый член выражения в виде куба: $\frac{p^3}{64} = (\frac{p}{4})^3$ и $\frac{q^3}{27} = (\frac{q}{3})^3$.
Выражение принимает вид: $(\frac{p}{4})^3-(\frac{q}{3})^3$.
В данном случае, $a=\frac{p}{4}$ и $b=\frac{q}{3}$. Применим формулу разности кубов:
$(\frac{p}{4}-\frac{q}{3})((\frac{p}{4})^2 + \frac{p}{4} \cdot \frac{q}{3} + (\frac{q}{3})^2) = (\frac{p}{4}-\frac{q}{3})(\frac{p^2}{16} + \frac{pq}{12} + \frac{q^2}{9})$.
Ответ: $(\frac{p}{4}-\frac{q}{3})(\frac{p^2}{16} + \frac{pq}{12} + \frac{q^2}{9})$.