Страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу куба суммы двух выражений.

2. Чему равен куб суммы двух выражений?

3. Напишите формулу куба разности двух выражений.

4. Чему равен куб разности двух выражений?

5. Докажите формулы (7) и (8).

1. Напишите формулу куба суммы двух выражений.

Формула куба суммы для двух произвольных выражений a и b записывается следующим образом:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ответ: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

2. Чему равен куб суммы двух выражений?

Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.

Ответ: Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

3. Напишите формулу куба разности двух выражений.

Формула куба разности для двух произвольных выражений a и b записывается следующим образом:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Ответ: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

4. Чему равен куб разности двух выражений?

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.

Ответ: Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.

5. Докажите формулы (7) и (8).

Предположим, что формула (7) — это формула куба суммы, а формула (8) — формула куба разности.

Доказательство формулы (7): Куб суммы $(a+b)^3$

1. По определению степени, куб выражения — это произведение трех одинаковых сомножителей: $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$.

2. Сгруппируем первые два сомножителя: $(a+b)(a+b) = (a+b)^2$. Используем известную формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

3. Подставим разложение квадрата суммы в исходное выражение: $(a+b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b)$.

4. Выполним умножение многочлена на двучлен, раскрыв скобки: $a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$.

5. Приведем подобные слагаемые: $a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Таким образом, тождество $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ доказано.

Доказательство формулы (8): Куб разности $(a-b)^3$

1. По определению степени: $(a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)$.

2. Аналогично предыдущему доказательству, $(a-b)(a-b) = (a-b)^2$. Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

3. Подставим в исходное выражение: $(a-b)^3 = (a^2 - 2ab + b^2)(a-b)$.

4. Раскроем скобки: $a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$.

5. Раскроем вторые скобки, поменяв знаки у каждого слагаемого внутри, и приведем подобные члены: $a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Таким образом, тождество $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ доказано.

Ответ: Доказательства для обеих формул основаны на определении степени, применении формул квадрата суммы/разности и правиле умножения многочленов с последующим приведением подобных слагаемых.

5.100. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(x+y)^3;$

2) $(c-d)^3;$

3) $(p+q)^3;$

4) $(p-q)^3;$

5) $(2+a)^3;$

6) $(3-b)^3;$

7) $(x-2)^3;$

8) $(4+x)^3;$

9) $(a+2b)^3.$

Для решения данных задач необходимо использовать формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности.

Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) $(x+y)^3$

Применяем формулу куба суммы, где $a=x$ и $b=y$.

$(x+y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

2) $(c-d)^3$

Применяем формулу куба разности, где $a=c$ и $b=d$.

$(c-d)^3 = c^3 - 3 \cdot c^2 \cdot d + 3 \cdot c \cdot d^2 - d^3 = c^3 - 3c^2d + 3cd^2 - d^3$

Ответ: $c^3 - 3c^2d + 3cd^2 - d^3$

3) $(p+q)^3$

Применяем формулу куба суммы, где $a=p$ и $b=q$.

$(p+q)^3 = p^3 + 3 \cdot p^2 \cdot q + 3 \cdot p \cdot q^2 + q^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$

Ответ: $p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$

4) $(p-q)^3$

Применяем формулу куба разности, где $a=p$ и $b=q$.

$(p-q)^3 = p^3 - 3 \cdot p^2 \cdot q + 3 \cdot p \cdot q^2 - q^3 = p^3 - 3p^2q + 3pq^2 - q^3$

Ответ: $p^3 - 3p^2q + 3pq^2 - q^3$

5) $(2+a)^3$

Применяем формулу куба суммы, где первый член равен 2, а второй $a$.

$(2+a)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot a + 3 \cdot 2 \cdot a^2 + a^3 = 8 + 3 \cdot 4 \cdot a + 6a^2 + a^3 = 8 + 12a + 6a^2 + a^3$

Приведем многочлен к стандартному виду: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.

Ответ: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

6) $(3-b)^3$

Применяем формулу куба разности, где первый член равен 3, а второй $b$.

$(3-b)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot b + 3 \cdot 3 \cdot b^2 - b^3 = 27 - 3 \cdot 9 \cdot b + 9b^2 - b^3 = 27 - 27b + 9b^2 - b^3$

Приведем многочлен к стандартному виду: $-b^3 + 9b^2 - 27b + 27$.

Ответ: $-b^3 + 9b^2 - 27b + 27$

7) $(x-2)^3$

Применяем формулу куба разности, где $a=x$ и $b=2$.

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 3x \cdot 4 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Ответ: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

8) $(4+x)^3$

Применяем формулу куба суммы, где $a=4$ и $b=x$.

$(4+x)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x^2 + x^3 = 64 + 3 \cdot 16 \cdot x + 12x^2 + x^3 = 64 + 48x + 12x^2 + x^3$

Приведем многочлен к стандартному виду: $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$.

Ответ: $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$

9) $(a+2b)^3$

Применяем формулу куба суммы, где первый член равен $a$, а второй $2b$.

$(a+2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 3a \cdot (4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$

5.101. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $ (4m+\frac{1}{3}n)^3 $;

2) $ (\frac{2}{3}x-3y)^3 $;

3) $ (\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b)^3 $;

4) $ (\frac{1}{6}x+2y)^3 $;

5) $ (0,2x-5y)^3 $;

6) $ (3a-0,6b)^3 $;

7) $ (0,1m-4n)^3 $;

8) $ (0,5a+0,16)^3 $.

Для представления выражений в виде многочлена необходимо использовать формулы сокращенного умножения: куб суммы и куб разности.

• Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Формула куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) $(4m + \frac{1}{3}n)^3$

Применим формулу куба суммы, где $a = 4m$ и $b = \frac{1}{3}n$.

$(4m + \frac{1}{3}n)^3 = (4m)^3 + 3 \cdot (4m)^2 \cdot (\frac{1}{3}n) + 3 \cdot (4m) \cdot (\frac{1}{3}n)^2 + (\frac{1}{3}n)^3$

Выполним вычисления по шагам:

$(4m)^3 = 64m^3$

$3 \cdot (4m)^2 \cdot (\frac{1}{3}n) = 3 \cdot 16m^2 \cdot \frac{1}{3}n = 16m^2n$

$3 \cdot (4m) \cdot (\frac{1}{3}n)^2 = 12m \cdot \frac{1}{9}n^2 = \frac{12}{9}mn^2 = \frac{4}{3}mn^2$

$(\frac{1}{3}n)^3 = \frac{1}{27}n^3$

Соберем все члены вместе:

$64m^3 + 16m^2n + \frac{4}{3}mn^2 + \frac{1}{27}n^3$

Ответ: $64m^3 + 16m^2n + \frac{4}{3}mn^2 + \frac{1}{27}n^3$.

2) $(\frac{2}{3}x - 3y)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = \frac{2}{3}x$ и $b = 3y$.

$(\frac{2}{3}x - 3y)^3 = (\frac{2}{3}x)^3 - 3 \cdot (\frac{2}{3}x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (\frac{2}{3}x) \cdot (3y)^2 - (3y)^3$

Выполним вычисления:

$= \frac{8}{27}x^3 - 3 \cdot \frac{4}{9}x^2 \cdot 3y + 3 \cdot \frac{2}{3}x \cdot 9y^2 - 27y^3$

$= \frac{8}{27}x^3 - 4x^2y + 18xy^2 - 27y^3$

Ответ: $\frac{8}{27}x^3 - 4x^2y + 18xy^2 - 27y^3$.

3) $(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^3$

Применим формулу куба суммы, где первый член $ \frac{1}{3}a $ и второй член $ \frac{1}{2}b $.

$(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^3 = (\frac{1}{3}a)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{3}a)^2 \cdot (\frac{1}{2}b) + 3 \cdot (\frac{1}{3}a) \cdot (\frac{1}{2}b)^2 + (\frac{1}{2}b)^3$

Выполним вычисления:

$= \frac{1}{27}a^3 + 3 \cdot \frac{1}{9}a^2 \cdot \frac{1}{2}b + 3 \cdot \frac{1}{3}a \cdot \frac{1}{4}b^2 + \frac{1}{8}b^3$

$= \frac{1}{27}a^3 + \frac{1}{6}a^2b + \frac{1}{4}ab^2 + \frac{1}{8}b^3$

Ответ: $\frac{1}{27}a^3 + \frac{1}{6}a^2b + \frac{1}{4}ab^2 + \frac{1}{8}b^3$.

4) $(\frac{1}{6}x + 2y)^3$

Применим формулу куба суммы, где $a = \frac{1}{6}x$ и $b = 2y$.

$(\frac{1}{6}x + 2y)^3 = (\frac{1}{6}x)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{6}x)^2 \cdot (2y) + 3 \cdot (\frac{1}{6}x) \cdot (2y)^2 + (2y)^3$

Выполним вычисления:

$= \frac{1}{216}x^3 + 3 \cdot \frac{1}{36}x^2 \cdot 2y + 3 \cdot \frac{1}{6}x \cdot 4y^2 + 8y^3$

$= \frac{1}{216}x^3 + \frac{6}{36}x^2y + \frac{12}{6}xy^2 + 8y^3$

$= \frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{6}x^2y + 2xy^2 + 8y^3$

Ответ: $\frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{6}x^2y + 2xy^2 + 8y^3$.

5) $(0,2x - 5y)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 0,2x$ и $b = 5y$.

$(0,2x - 5y)^3 = (0,2x)^3 - 3 \cdot (0,2x)^2 \cdot (5y) + 3 \cdot (0,2x) \cdot (5y)^2 - (5y)^3$

Выполним вычисления:

$= 0,008x^3 - 3 \cdot 0,04x^2 \cdot 5y + 3 \cdot 0,2x \cdot 25y^2 - 125y^3$

$= 0,008x^3 - 0,6x^2y + 15xy^2 - 125y^3$

Ответ: $0,008x^3 - 0,6x^2y + 15xy^2 - 125y^3$.

6) $(3a - 0,6b)^3$

Применим формулу куба разности, где первый член $3a$ и второй член $0,6b$.

$(3a - 0,6b)^3 = (3a)^3 - 3 \cdot (3a)^2 \cdot (0,6b) + 3 \cdot (3a) \cdot (0,6b)^2 - (0,6b)^3$

Выполним вычисления:

$= 27a^3 - 3 \cdot 9a^2 \cdot 0,6b + 9a \cdot 0,36b^2 - 0,216b^3$

$= 27a^3 - 16,2a^2b + 3,24ab^2 - 0,216b^3$

Ответ: $27a^3 - 16,2a^2b + 3,24ab^2 - 0,216b^3$.

7) $(0,1m - 4n)^3$

Применим формулу куба разности, где $a = 0,1m$ и $b = 4n$.

$(0,1m - 4n)^3 = (0,1m)^3 - 3 \cdot (0,1m)^2 \cdot (4n) + 3 \cdot (0,1m) \cdot (4n)^2 - (4n)^3$

Выполним вычисления:

$= 0,001m^3 - 3 \cdot 0,01m^2 \cdot 4n + 0,3m \cdot 16n^2 - 64n^3$

$= 0,001m^3 - 0,12m^2n + 4,8mn^2 - 64n^3$

Ответ: $0,001m^3 - 0,12m^2n + 4,8mn^2 - 64n^3$.

8) $(0,5a + 0,1b)^3$

Применим формулу куба суммы, где первый член $0,5a$ и второй член $0,1b$.

$(0,5a + 0,1b)^3 = (0,5a)^3 + 3 \cdot (0,5a)^2 \cdot (0,1b) + 3 \cdot (0,5a) \cdot (0,1b)^2 + (0,1b)^3$

Выполним вычисления:

$= 0,125a^3 + 3 \cdot 0,25a^2 \cdot 0,1b + 1,5a \cdot 0,01b^2 + 0,001b^3$

$= 0,125a^3 + 0,075a^2b + 0,015ab^2 + 0,001b^3$

Ответ: $0,125a^3 + 0,075a^2b + 0,015ab^2 + 0,001b^3$.

5.102. Представьте многочлен в виде куба суммы или куба разности двух выражений:

1) $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3;$

2) $8+12x+6x^2+x^3;$

3) $27-27b+9b^2-b^3;$

4) $a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3;$

5) $0,008+0,12a+0,6a^2+a^3;$

6) $\frac{m^3}{27}-m^2n+9mn^2-27n^3.$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности двух выражений:

• Куб суммы: $(A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
• Куб разности: $(A-B)^3 = A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$

1) $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

Данный многочлен полностью соответствует формуле куба разности $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$.

В этом выражении $A=x$ и $B=y$.

Проверим: $A^3 = x^3$, $-3A^2B = -3(x)^2(y) = -3x^2y$, $3AB^2 = 3(x)(y)^2 = 3xy^2$, $-B^3 = -y^3$.

Все члены совпадают, следовательно, многочлен является кубом разности $x$ и $y$.

Ответ: $(x-y)^3$

2) $8+12x+6x^2+x^3$

Этот многочлен соответствует формуле куба суммы $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=8$, тогда $A=2$. Пусть $B^3=x^3$, тогда $B=x$.

Проверим средние члены:

$3A^2B = 3(2^2)(x) = 3 \cdot 4 \cdot x = 12x$.

$3AB^2 = 3(2)(x^2) = 6x^2$.

Все члены совпадают. Таким образом, многочлен можно представить в виде куба суммы $2$ и $x$.

Ответ: $(2+x)^3$

3) $27-27b+9b^2-b^3$

Для этого многочлена применим формулу куба разности $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=27$, тогда $A=3$. Пусть $B^3=b^3$, тогда $B=b$.

Проверим средние члены:

$-3A^2B = -3(3^2)(b) = -3 \cdot 9 \cdot b = -27b$.

$3AB^2 = 3(3)(b^2) = 9b^2$.

Все члены соответствуют формуле. Следовательно, многочлен является кубом разности $3$ и $b$.

Ответ: $(3-b)^3$

4) $a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$

Этот многочлен имеет вид формулы куба суммы: $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=a^3$, тогда $A=a$. Пусть $B^3=8b^3=(2b)^3$, тогда $B=2b$.

Проверим средние члены:

$3A^2B = 3(a^2)(2b) = 6a^2b$.

$3AB^2 = 3(a)((2b)^2) = 3a(4b^2) = 12ab^2$.

Все члены совпадают, поэтому многочлен является кубом суммы $a$ и $2b$.

Ответ: $(a+2b)^3$

5) $0,008+0,12a+0,6a^2+a^3$

Для данного многочлена применим формулу куба суммы: $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=0,008=(0,2)^3$, тогда $A=0,2$. Пусть $B^3=a^3$, тогда $B=a$.

Проверим средние члены:

$3A^2B = 3((0,2)^2)(a) = 3(0,04)a = 0,12a$.

$3AB^2 = 3(0,2)(a^2) = 0,6a^2$.

Все члены совпадают. Следовательно, многочлен является кубом суммы $0,2$ и $a$.

Ответ: $(0,2+a)^3$

6) $\frac{m^3}{27}-m^2n+9mn^2-27n^3$

Этот многочлен имеет вид формулы куба разности: $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$.

Определим $A$ и $B$. Пусть $A^3=\frac{m^3}{27}=(\frac{m}{3})^3$, тогда $A=\frac{m}{3}$. Пусть $B^3=27n^3=(3n)^3$, тогда $B=3n$.

Проверим средние члены:

$-3A^2B = -3(\frac{m}{3})^2(3n) = -3(\frac{m^2}{9})(3n) = -m^2n$.

$3AB^2 = 3(\frac{m}{3})((3n)^2) = m(9n^2) = 9mn^2$.

Все члены совпадают. Следовательно, многочлен является кубом разности $\frac{m}{3}$ и $3n$.

Ответ: $(\frac{m}{3}-3n)^3$

5.103. Упростите выражение:

1) $8a^3+36a^2+54a+27;$

2) $125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3;$

3) $\frac{u^3}{8}+\frac{3u^2v}{2}+6uv^2+8v^3;$

4) $0,001a^3-0,3a^2b+30ab^2-1000b^3.$

Для упрощения данных выражений воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

• Куб суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
• Куб разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

1) $8a^3+36a^2+54a+27$

Данное выражение похоже на формулу куба суммы. Проверим это.
Первый член: $8a^3 = (2a)^3$.
Последний член: $27 = 3^3$.
Предположим, что это куб суммы $(2a+3)$. Раскроем его по формуле:
$(2a+3)^3 = (2a)^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2a) \cdot 3^2 + 3^3 = 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 \cdot 3 + 6a \cdot 9 + 27 = 8a^3+36a^2+54a+27$.
Выражение совпадает с исходным.
Ответ: $(2a+3)^3$.

2) $125x^3-225x^2y+135xy^2-27y^3$

Знаки в выражении чередуются, что соответствует формуле куба разности.
Первый член: $125x^3 = (5x)^3$.
Последний член: $27y^3 = (3y)^3$.
Предположим, что это куб разности $(5x-3y)$. Раскроем его по формуле:
$(5x-3y)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (5x) \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = 125x^3 - 3 \cdot 25x^2 \cdot 3y + 15x \cdot 9y^2 - 27y^3 = 125x^3 - 225x^2y + 135xy^2 - 27y^3$.
Выражение совпадает с исходным.
Ответ: $(5x-3y)^3$.

3) $\frac{u^3}{8} + \frac{3u^2v}{2} + 6uv^2 + 8v^3$

Все знаки положительные, значит, это формула куба суммы.
Первый член: $\frac{u^3}{8} = (\frac{u}{2})^3$.
Последний член: $8v^3 = (2v)^3$.
Предположим, что это куб суммы $(\frac{u}{2} + 2v)$. Раскроем его по формуле:
$(\frac{u}{2} + 2v)^3 = (\frac{u}{2})^3 + 3 \cdot (\frac{u}{2})^2 \cdot (2v) + 3 \cdot (\frac{u}{2}) \cdot (2v)^2 + (2v)^3 = \frac{u^3}{8} + 3 \cdot \frac{u^2}{4} \cdot 2v + \frac{3u}{2} \cdot 4v^2 + 8v^3 = \frac{u^3}{8} + \frac{3u^2v}{2} + 6uv^2 + 8v^3$.
Выражение совпадает с исходным.
Ответ: $(\frac{u}{2} + 2v)^3$.

4) $0,001a^3 - 0,3a^2b + 30ab^2 - 1000b^3$

Знаки в выражении чередуются, что соответствует формуле куба разности.
Первый член: $0,001a^3 = (0,1a)^3$.
Последний член: $1000b^3 = (10b)^3$.
Предположим, что это куб разности $(0,1a - 10b)$. Раскроем его по формуле:
$(0,1a - 10b)^3 = (0,1a)^3 - 3 \cdot (0,1a)^2 \cdot (10b) + 3 \cdot (0,1a) \cdot (10b)^2 - (10b)^3 = 0,001a^3 - 3 \cdot 0,01a^2 \cdot 10b + 0,3a \cdot 100b^2 - 1000b^3 = 0,001a^3 - 0,3a^2b + 30ab^2 - 1000b^3$.
Выражение совпадает с исходным.
Ответ: $(0,1a - 10b)^3$.