Страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какое выражение называют целым?

2. Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым.

3. Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

1. Какое выражение называют целым?

Целым алгебраическим выражением называют такое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания и умножения, а также возведения в натуральную степень (которое является частным случаем умножения). Главный признак целого выражения — оно не содержит деления на переменную или на выражение с переменной.

Ответ: Целым называют выражение, которое не содержит операции деления на выражение с переменными.

2. Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым.

Пример целого выражения: $5x^2 - 12xy + y^3$. Это выражение является многочленом, а любой многочлен — это целое выражение, так как он содержит только операции сложения, вычитания и умножения.

Пример выражения, не являющегося целым: $\frac{3a}{a-b} + 7c$. Такое выражение называют дробно-рациональным, поскольку оно содержит деление на выражение с переменной ($a-b$).

Ответ: Пример целого выражения: $8a^2 - 3b$. Пример выражения, не являющегося целым: $\frac{8a^2-3b}{a}$.

3. Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

Существуют следующие основные способы разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.
Этот способ основан на распределительном свойстве умножения. Если все члены многочлена содержат общий множитель, его можно вынести за скобки.
Пример: $14x^2y - 21xy^2 = 7xy(2x - 3y)$.

2. Способ группировки.
Применяется, когда не все члены многочлена имеют общий множитель. Члены многочлена объединяют в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки свой общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех образовавшихся групп.
Пример: $ax + by + ay + bx = (ax + ay) + (bx + by) = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.

3. Применение формул сокращенного умножения.
Используются известные тождества для представления многочлена в виде произведения. Основные формулы:
- Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- Квадрат суммы и разности: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
- Сумма и разность кубов: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

4. Разложение квадратного трёхчлена.
Если для квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ можно найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то он раскладывается на множители по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$.

5. Метод выделения полного квадрата.
Этот метод заключается в преобразовании многочлена путем прибавления и вычитания одного и того же выражения с целью получить полный квадрат, что часто позволяет затем применить формулу разности квадратов.
Пример: $x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x)$.

Ответ: Основные способы разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, применение формул сокращенного умножения, разложение квадратного трехчлена.

5.126. Разложите на множители:

1) $5a^2-5b^2$;

2) $3m^2-3n^2$;

3) $a^3-a$;

4) $b^3-b$;

5) $7x^2-7y^2$;

6) $4m^3-4mn^2$;

7) $5x^2-20y^2$;

8) $a^3b-ab^3$.

1) Для разложения на множители выражения $5a^2-5b^2$ первым шагом вынесем общий множитель за скобки. В данном случае общий множитель — это 5.

$5a^2-5b^2 = 5(a^2-b^2)$

Теперь выражение в скобках, $a^2-b^2$, представляет собой формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Применим эту формулу:

$5(a^2-b^2) = 5(a-b)(a+b)$

Ответ: $5(a-b)(a+b)$

2) Разложим на множители выражение $3m^2-3n^2$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3m^2-3n^2 = 3(m^2-n^2)$

К выражению в скобках $m^2-n^2$ применим формулу разности квадратов:

$3(m^2-n^2) = 3(m-n)(m+n)$

Ответ: $3(m-n)(m+n)$

3) Разложим на множители выражение $a^3-a$.

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a^3-a = a(a^2-1)$

Выражение в скобках $a^2-1$ является разностью квадратов, поскольку $1$ можно представить как $1^2$. Применим формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$a(a^2-1^2) = a(a-1)(a+1)$

Ответ: $a(a-1)(a+1)$

4) Разложим на множители выражение $b^3-b$.

Вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$b^3-b = b(b^2-1)$

Применим формулу разности квадратов к выражению $b^2-1=b^2-1^2$:

$b(b^2-1^2) = b(b-1)(b+1)$

Ответ: $b(b-1)(b+1)$

5) Разложим на множители выражение $7x^2-7y^2$.

Вынесем общий числовой множитель 7 за скобки:

$7x^2-7y^2 = 7(x^2-y^2)$

Используем формулу разности квадратов для выражения в скобках:

$7(x^2-y^2) = 7(x-y)(x+y)$

Ответ: $7(x-y)(x+y)$

6) Разложим на множители выражение $4m^3-4mn^2$.

Общим множителем для обоих членов является $4m$. Вынесем его за скобки:

$4m^3-4mn^2 = 4m(m^2-n^2)$

Выражение в скобках $m^2-n^2$ является разностью квадратов. Применим соответствующую формулу:

$4m(m^2-n^2) = 4m(m-n)(m+n)$

Ответ: $4m(m-n)(m+n)$

7) Разложим на множители выражение $5x^2-20y^2$.

Вынесем общий числовой множитель 5 за скобки:

$5x^2-20y^2 = 5(x^2-4y^2)$

Выражение в скобках $x^2-4y^2$ является разностью квадратов, так как $4y^2$ можно записать как $(2y)^2$. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$5(x^2-(2y)^2) = 5(x-2y)(x+2y)$

Ответ: $5(x-2y)(x+2y)$

8) Разложим на множители выражение $a^3b-ab^3$.

Вынесем за скобки общий множитель $ab$:

$a^3b-ab^3 = ab(a^2-b^2)$

К выражению в скобках $a^2-b^2$ применим формулу разности квадратов:

$ab(a^2-b^2) = ab(a-b)(a+b)$

Ответ: $ab(a-b)(a+b)$

5.127. Разложите на множители:

1) $2m(a+b)+a+b;$

2) $2a(x+y)+x+y;$

3) $4x(m-n)-m+n;$

4) $x(a-b)+a-b;$

5) $5x(a+b)-a-b;$

6) $4y(k-p)-k+p;$

7) $3m(x+y)-x-y;$

8) $2a(x-y)-x+y.$

1) Для разложения на множители выражения $2m(a+b)+a+b$ сгруппируем последние два слагаемых: $2m(a+b)+(a+b)$. Мы видим, что выражение $(a+b)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Представим второе слагаемое как $1 \cdot (a+b)$ и вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:
$2m(a+b)+1 \cdot (a+b) = (a+b)(2m+1)$.
Ответ: $(a+b)(2m+1)$.

2) В выражении $2a(x+y)+x+y$ сгруппируем последние два слагаемых: $2a(x+y)+(x+y)$. Здесь общий множитель — это $(x+y)$. Вынесем его за скобки, представив второе слагаемое как $1 \cdot (x+y)$:
$2a(x+y)+1 \cdot (x+y) = (x+y)(2a+1)$.
Ответ: $(x+y)(2a+1)$.

3) В выражении $4x(m-n)-m+n$ преобразуем последние два слагаемых, вынеся за скобки $-1$: $-m+n = -(m-n)$. Теперь выражение имеет вид: $4x(m-n)-(m-n)$. Общим множителем является $(m-n)$. Вынесем его за скобки:
$4x(m-n)-1 \cdot (m-n) = (m-n)(4x-1)$.
Ответ: $(m-n)(4x-1)$.

4) Выражение $x(a-b)+a-b$ имеет общий множитель $(a-b)$. Сгруппируем последние два слагаемых: $x(a-b)+(a-b)$. Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$x(a-b)+1 \cdot (a-b) = (a-b)(x+1)$.
Ответ: $(a-b)(x+1)$.

5) В выражении $5x(a+b)-a-b$ вынесем $-1$ из последних двух слагаемых: $-a-b = -(a+b)$. Выражение примет вид $5x(a+b)-(a+b)$. Общий множитель здесь $(a+b)$. Выносим его за скобки:
$5x(a+b)-1 \cdot (a+b) = (a+b)(5x-1)$.
Ответ: $(a+b)(5x-1)$.

6) В выражении $4y(k-p)-k+p$ преобразуем последние два слагаемых, вынеся $-1$ за скобки: $-k+p = -(k-p)$. Теперь выражение выглядит как $4y(k-p)-(k-p)$. Общим множителем является $(k-p)$. Вынесем его за скобки:
$4y(k-p)-1 \cdot (k-p) = (k-p)(4y-1)$.
Ответ: $(k-p)(4y-1)$.

7) Для выражения $3m(x+y)-x-y$ вынесем $-1$ из слагаемых $-x-y$, получив $-(x+y)$. Выражение станет $3m(x+y)-(x+y)$. Общий множитель $(x+y)$ выносим за скобки:
$3m(x+y)-1 \cdot (x+y) = (x+y)(3m-1)$.
Ответ: $(x+y)(3m-1)$.

8) В выражении $2a(x-y)-x+y$ преобразуем последние два слагаемых: $-x+y=-(x-y)$. Получаем выражение $2a(x-y)-(x-y)$. Общий множитель $(x-y)$ выносим за скобки:
$2a(x-y)-1 \cdot (x-y) = (x-y)(2a-1)$.
Ответ: $(x-y)(2a-1)$.

5.128. Разложите на множители:

1) $xy^2+x^2y^3$

2) $a^4b^2-a^2b^4$

3) $m^2n^2+mn^3$

4) $a^3b^2+a^5b^3$

5) $c^3d^2-c^4d^2$

6) $-x^5y^3-x^3y^5$

1) $xy^2 + x^2y^3$

Для разложения на множители данного выражения необходимо найти общий множитель для каждого слагаемого. Общий множитель - это произведение переменных в наименьшей степени, в которой они встречаются в каждом члене. Для переменной $x$ наименьшая степень - $x^1=x$, а для переменной $y$ - $y^2$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, - это $xy^2$.
Вынесем $xy^2$ за скобки:
$xy^2 + x^2y^3 = xy^2 \cdot 1 + xy^2 \cdot (xy) = xy^2(1+xy)$
Ответ: $xy^2(1+xy)$

2) $a^4b^2 - a^2b^4$

Найдем общий множитель для слагаемых. Для переменной $a$ наименьшая степень - $a^2$, а для переменной $b$ - $b^2$. Следовательно, общий множитель - $a^2b^2$.
Вынесем $a^2b^2$ за скобки:
$a^4b^2 - a^2b^4 = a^2b^2 \cdot a^2 - a^2b^2 \cdot b^2 = a^2b^2(a^2-b^2)$
Выражение в скобках $a^2-b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Применим эту формулу:
$a^2b^2(a-b)(a+b)$
Ответ: $a^2b^2(a-b)(a+b)$

3) $m^2n^2 + mn^3$

Найдем общий множитель. Для переменной $m$ наименьшая степень - $m$, для переменной $n$ - $n^2$. Общий множитель - $mn^2$.
Вынесем $mn^2$ за скобки:
$m^2n^2 + mn^3 = mn^2 \cdot m + mn^2 \cdot n = mn^2(m+n)$
Ответ: $mn^2(m+n)$

4) $a^3b^2 + a^5b^3$

Найдем общий множитель. Для переменной $a$ наименьшая степень - $a^3$, для переменной $b$ - $b^2$. Общий множитель - $a^3b^2$.
Вынесем $a^3b^2$ за скобки:
$a^3b^2 + a^5b^3 = a^3b^2 \cdot 1 + a^3b^2 \cdot a^2b = a^3b^2(1+a^2b)$
Ответ: $a^3b^2(1+a^2b)$

5) $c^3d^2 - c^4d^2$

Найдем общий множитель. Для переменной $c$ наименьшая степень - $c^3$, для переменной $d$ - $d^2$. Общий множитель - $c^3d^2$.
Вынесем $c^3d^2$ за скобки:
$c^3d^2 - c^4d^2 = c^3d^2 \cdot 1 - c^3d^2 \cdot c = c^3d^2(1-c)$
Ответ: $c^3d^2(1-c)$

6) $-x^5y^3 - x^3y^5$

Найдем общий множитель. Оба слагаемых отрицательные, поэтому удобно вынести за скобки знак минус. Для переменной $x$ наименьшая степень - $x^3$, для переменной $y$ - $y^3$. Таким образом, общий множитель - $-x^3y^3$.
Вынесем $-x^3y^3$ за скобки:
$-x^5y^3 - x^3y^5 = -x^3y^3 \cdot x^2 - x^3y^3 \cdot y^2 = -x^3y^3(x^2+y^2)$
Ответ: $-x^3y^3(x^2+y^2)$

5.129. Разложите на множители:

1) $x(a-b)+y(b-a);$

2) $m^2(a-2)+n(2-a);$

3) $2m(x-y)-y+x;$

4) $2n(x-y)-(y-x).$

1) Исходное выражение: $x(a-b)+y(b-a)$.

Для разложения на множители необходимо найти общий множитель. Заметим, что выражения в скобках $(a-b)$ и $(b-a)$ отличаются только знаком. Мы можем преобразовать второе слагаемое, вынеся $-1$ за скобку: $y(b-a) = y(-1(a-b)) = -y(a-b)$.

Теперь подставим это преобразованное слагаемое в исходное выражение:

$x(a-b) - y(a-b)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a-b)$, который можно вынести за скобки:

$(a-b)(x-y)$

Ответ: $(a-b)(x-y)$.

2) Исходное выражение: $m^2(a-2)+n(2-a)$.

Аналогично первому примеру, преобразуем второе слагаемое, так как $(2-a) = -(a-2)$.

$n(2-a) = n(-1(a-2)) = -n(a-2)$

Подставим в исходное выражение:

$m^2(a-2) - n(a-2)$

Вынесем общий множитель $(a-2)$ за скобки:

$(a-2)(m^2-n)$

Ответ: $(a-2)(m^2-n)$.

3) Исходное выражение: $2m(x-y)-y+x$.

Сначала сгруппируем последние два слагаемых, чтобы получить выражение, похожее на то, что в скобках: $-y+x = x-y$.

Теперь выражение выглядит так:

$2m(x-y)+(x-y)$

Мы видим, что $(x-y)$ является общим множителем. Можно представить второе слагаемое как $1 \cdot (x-y)$, чтобы было нагляднее:

$2m(x-y) + 1 \cdot (x-y)$

Выносим общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(2m+1)$

Ответ: $(x-y)(2m+1)$.

4) Исходное выражение: $2n(x-y)-(y-x)$.

Как и в первых двух примерах, заметим, что выражения в скобках отличаются знаком: $(y-x) = -(x-y)$.

Подставим это в выражение:

$2n(x-y) - (-(x-y))$

Два знака "минус" подряд дают "плюс":

$2n(x-y) + (x-y)$

Теперь, как и в третьем примере, выносим общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$2n(x-y) + 1 \cdot (x-y) = (x-y)(2n+1)$

Ответ: $(x-y)(2n+1)$.

5.130. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $2x^2+4xy+2y^2$;

2) $6x^2-12xy+6y^2$;

3) $3a^2-6a+3$;

4) $5m^2+10m+5$;

5) $2xy^2+4xy+2x$;

6) $3a-6ab+3ab^2$.

1) $2x^2+4xy+2y^2$

Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2x^2+4xy+2y^2 = 2(x^2+2xy+y^2)$
Выражение в скобках $x^2+2xy+y^2$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=y$:
$x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$
Таким образом, получаем:
$2(x^2+2xy+y^2) = 2(x+y)^2$
Ответ: $2(x+y)^2$

2) $6x^2-12xy+6y^2$

Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6x^2-12xy+6y^2 = 6(x^2-2xy+y^2)$
Выражение в скобках $x^2-2xy+y^2$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=y$:
$x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$
Следовательно, итоговое выражение:
$6(x^2-2xy+y^2) = 6(x-y)^2$
Ответ: $6(x-y)^2$

3) $3a^2-6a+3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3a^2-6a+3 = 3(a^2-2a+1)$
Выражение в скобках $a^2-2a+1$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, где $x=a$ и $y=1$:
$a^2-2a+1 = (a-1)^2$
Получаем:
$3(a^2-2a+1) = 3(a-1)^2$
Ответ: $3(a-1)^2$

4) $5m^2+10m+5$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5m^2+10m+5 = 5(m^2+2m+1)$
Выражение в скобках $m^2+2m+1$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=m$ и $b=1$:
$m^2+2m+1 = (m+1)^2$
В результате получаем:
$5(m^2+2m+1) = 5(m+1)^2$
Ответ: $5(m+1)^2$

5) $2xy^2+4xy+2x$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2xy^2+4xy+2x = 2x(y^2+2y+1)$
Выражение в скобках $y^2+2y+1$ является полным квадратом суммы. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=y$ и $b=1$:
$y^2+2y+1 = (y+1)^2$
Таким образом, итоговое выражение:
$2x(y^2+2y+1) = 2x(y+1)^2$
Ответ: $2x(y+1)^2$

6) $3a-6ab+3ab^2$

Вынесем общий множитель $3a$ за скобки:
$3a-6ab+3ab^2 = 3a(1-2b+b^2)$
Выражение в скобках $1-2b+b^2$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, где $x=1$ и $y=b$:
$1-2b+b^2 = (1-b)^2$
В результате получаем:
$3a(1-2b+b^2) = 3a(1-b)^2$
Ответ: $3a(1-b)^2$