Номер 5.128, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.128. Разложите на множители:

1) $xy^2+x^2y^3$

2) $a^4b^2-a^2b^4$

3) $m^2n^2+mn^3$

4) $a^3b^2+a^5b^3$

5) $c^3d^2-c^4d^2$

6) $-x^5y^3-x^3y^5$

1) $xy^2 + x^2y^3$

Для разложения на множители данного выражения необходимо найти общий множитель для каждого слагаемого. Общий множитель - это произведение переменных в наименьшей степени, в которой они встречаются в каждом члене. Для переменной $x$ наименьшая степень - $x^1=x$, а для переменной $y$ - $y^2$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, - это $xy^2$.
Вынесем $xy^2$ за скобки:
$xy^2 + x^2y^3 = xy^2 \cdot 1 + xy^2 \cdot (xy) = xy^2(1+xy)$
Ответ: $xy^2(1+xy)$

2) $a^4b^2 - a^2b^4$

Найдем общий множитель для слагаемых. Для переменной $a$ наименьшая степень - $a^2$, а для переменной $b$ - $b^2$. Следовательно, общий множитель - $a^2b^2$.
Вынесем $a^2b^2$ за скобки:
$a^4b^2 - a^2b^4 = a^2b^2 \cdot a^2 - a^2b^2 \cdot b^2 = a^2b^2(a^2-b^2)$
Выражение в скобках $a^2-b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Применим эту формулу:
$a^2b^2(a-b)(a+b)$
Ответ: $a^2b^2(a-b)(a+b)$

3) $m^2n^2 + mn^3$

Найдем общий множитель. Для переменной $m$ наименьшая степень - $m$, для переменной $n$ - $n^2$. Общий множитель - $mn^2$.
Вынесем $mn^2$ за скобки:
$m^2n^2 + mn^3 = mn^2 \cdot m + mn^2 \cdot n = mn^2(m+n)$
Ответ: $mn^2(m+n)$

4) $a^3b^2 + a^5b^3$

Найдем общий множитель. Для переменной $a$ наименьшая степень - $a^3$, для переменной $b$ - $b^2$. Общий множитель - $a^3b^2$.
Вынесем $a^3b^2$ за скобки:
$a^3b^2 + a^5b^3 = a^3b^2 \cdot 1 + a^3b^2 \cdot a^2b = a^3b^2(1+a^2b)$
Ответ: $a^3b^2(1+a^2b)$

5) $c^3d^2 - c^4d^2$

Найдем общий множитель. Для переменной $c$ наименьшая степень - $c^3$, для переменной $d$ - $d^2$. Общий множитель - $c^3d^2$.
Вынесем $c^3d^2$ за скобки:
$c^3d^2 - c^4d^2 = c^3d^2 \cdot 1 - c^3d^2 \cdot c = c^3d^2(1-c)$
Ответ: $c^3d^2(1-c)$

6) $-x^5y^3 - x^3y^5$

Найдем общий множитель. Оба слагаемых отрицательные, поэтому удобно вынести за скобки знак минус. Для переменной $x$ наименьшая степень - $x^3$, для переменной $y$ - $y^3$. Таким образом, общий множитель - $-x^3y^3$.
Вынесем $-x^3y^3$ за скобки:
$-x^5y^3 - x^3y^5 = -x^3y^3 \cdot x^2 - x^3y^3 \cdot y^2 = -x^3y^3(x^2+y^2)$
Ответ: $-x^3y^3(x^2+y^2)$