Номер 5.133, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.133. Докажите, что выражение принимает лишь положительное значение:

1) $a^2+2a+2;$
2) $x^2+y^2-2xy+4;$
3) $4m^2-4m+4;$
4) $a^2+b^2+c^2-2bc+3.$

1) a²+2a+2;
Для доказательства того, что выражение принимает лишь положительные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Мы знаем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
В выражении $a^2+2a+2$ можно заметить часть формулы квадрата суммы: $a^2+2a$. Представим число 2 как $1+1$.
$a^2+2a+2 = (a^2+2a+1) + 1$
Теперь выражение в скобках является полным квадратом для $(a+1)$:
$(a^2+2a+1) + 1 = (a+1)^2 + 1$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a+1)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(a+1)^2+1$ достигается при $(a+1)^2 = 0$ и равно $0+1=1$.
Поскольку $1 > 0$, то и все выражение $a^2+2a+2$ всегда будет принимать положительные значения.
Ответ: Выражение можно представить в виде $(a+1)^2+1$. Так как $(a+1)^2 \ge 0$, то всё выражение всегда больше или равно 1, следовательно, оно всегда положительно.

2) x²+y²-2xy+4;
Сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат. Мы знаем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Перегруппируем члены в исходном выражении:
$x^2+y^2-2xy+4 = (x^2-2xy+y^2) + 4$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $x$ и $y$:
$(x^2-2xy+y^2) + 4 = (x-y)^2 + 4$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x-y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.
Таким образом, наименьшее значение выражения $(x-y)^2+4$ достигается при $(x-y)^2 = 0$ и равно $0+4=4$.
Поскольку $4 > 0$, то и все выражение $x^2+y^2-2xy+4$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: Выражение можно представить в виде $(x-y)^2+4$. Так как $(x-y)^2 \ge 0$, то всё выражение всегда больше или равно 4, следовательно, оно всегда положительно.

3) 4m²-4m+4;
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат. Заметим, что $4m^2 = (2m)^2$.
$4m^2-4m+4 = (2m)^2 - 2 \cdot (2m) \cdot 1 + 4$
Для полного квадрата $(2m-1)^2$ нам нужен член $+1$. Представим 4 как $1+3$.
$(2m)^2 - 2 \cdot (2m) \cdot 1 + 1 + 3 = (4m^2-4m+1) + 3$
Выражение в скобках является полным квадратом для $(2m-1)$:
$(4m^2-4m+1) + 3 = (2m-1)^2 + 3$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(2m-1)^2 \ge 0$ для любого значения $m$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(2m-1)^2+3$ равно $0+3=3$.
Поскольку $3 > 0$, то и все выражение $4m^2-4m+4$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: Выражение можно представить в виде $(2m-1)^2+3$. Так как $(2m-1)^2 \ge 0$, то всё выражение всегда больше или равно 3, следовательно, оно всегда положительно.

4) a²+b²+c²-2bc+3.
Сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат. Заметим, что члены $b^2+c^2-2bc$ образуют формулу квадрата разности.
$a^2 + (b^2-2bc+c^2) + 3$
Выражение в скобках является полным квадратом для $(b-c)$:
$a^2 + (b-c)^2 + 3$
Полученное выражение является суммой двух квадратов ($a^2$ и $(b-c)^2$) и положительного числа 3.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $a^2 \ge 0$ и $(b-c)^2 \ge 0$ для любых значений $a$, $b$ и $c$.
Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $a^2+(b-c)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения $a^2+(b-c)^2+3$ равно $0+3=3$.
Поскольку $3 > 0$, то и все выражение $a^2+b^2+c^2-2bc+3$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: Выражение можно представить в виде $a^2+(b-c)^2+3$. Так как $a^2 \ge 0$ и $(b-c)^2 \ge 0$, то всё выражение всегда больше или равно 3, следовательно, оно всегда положительно.