Номер 5.140, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.140. Разложите на множители:

1) $(a-2b)^4-8(a-2b);$

2) $(x-3y)^4-27x+81y;$

3) $(a-2b)^3-(a+2b)^3;$

4) $(2x+3y)^3+(3x-2y)^3.$

1) $(a-2b)^4-8(a-2b)$

Вынесем общий множитель $(a-2b)$ за скобки:

$(a-2b)((a-2b)^3-8)$

Выражение в скобках представляет собой разность кубов, так как $8 = 2^3$. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = a-2b$ и $y = 2$.

$(a-2b)^3-2^3 = ((a-2b)-2)((a-2b)^2+(a-2b) \cdot 2+2^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$(a-2b)(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)$

Ответ: $(a-2b)(a-2b-2)(a^2-4ab+4b^2+2a-4b+4)$

2) $(x-3y)^4-27x+81y$

Сначала преобразуем последние два слагаемых, вынеся за скобки общий множитель $-27$:

$-27x+81y = -27(x-3y)$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$(x-3y)^4-27(x-3y)$

Вынесем общий множитель $(x-3y)$ за скобки:

$(x-3y)((x-3y)^3-27)$

Выражение в скобках является разностью кубов, так как $27 = 3^3$. Применим формулу $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = x-3y$ и $b = 3$.

$(x-3y)^3-3^3 = ((x-3y)-3)((x-3y)^2+(x-3y) \cdot 3+3^2)$

Раскроем скобки и упростим:

$(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)$

Подставим обратно в исходное выражение:

$(x-3y)(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)$

Ответ: $(x-3y)(x-3y-3)(x^2-6xy+9y^2+3x-9y+9)$

3) $(a-2b)^3-(a+2b)^3$

Это разность кубов. Воспользуемся формулой $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = a-2b$ и $y = a+2b$.

Найдем каждый компонент формулы:

$x-y = (a-2b)-(a+2b) = a-2b-a-2b = -4b$

$x^2 = (a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2$

$y^2 = (a+2b)^2 = a^2+4ab+4b^2$

$xy = (a-2b)(a+2b) = a^2-(2b)^2 = a^2-4b^2$ (по формуле разности квадратов)

Теперь подставим эти компоненты в $x^2+xy+y^2$:

$(a^2-4ab+4b^2) + (a^2-4b^2) + (a^2+4ab+4b^2) = a^2-4ab+4b^2+a^2-4b^2+a^2+4ab+4b^2 = 3a^2+4b^2$

Собираем всё вместе:

$(x-y)(x^2+xy+y^2) = (-4b)(3a^2+4b^2)$

Ответ: $-4b(3a^2+4b^2)$

4) $(2x+3y)^3+(3x-2y)^3$

Это сумма кубов. Воспользуемся формулой $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = 2x+3y$ и $b = 3x-2y$.

Найдем каждый компонент формулы:

$a+b = (2x+3y)+(3x-2y) = 2x+3y+3x-2y = 5x+y$

$a^2 = (2x+3y)^2 = 4x^2+12xy+9y^2$

$b^2 = (3x-2y)^2 = 9x^2-12xy+4y^2$

$ab = (2x+3y)(3x-2y) = 6x^2-4xy+9xy-6y^2 = 6x^2+5xy-6y^2$

Теперь подставим эти компоненты в $a^2-ab+b^2$:

$(4x^2+12xy+9y^2) - (6x^2+5xy-6y^2) + (9x^2-12xy+4y^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x^2+12xy+9y^2 - 6x^2-5xy+6y^2 + 9x^2-12xy+4y^2 = (4-6+9)x^2 + (12-5-12)xy + (9+6+4)y^2 = 7x^2-5xy+19y^2$

Собираем всё вместе:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = (5x+y)(7x^2-5xy+19y^2)$

Ответ: $(5x+y)(7x^2-5xy+19y^2)$