Номер 5.146, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.146. Докажите, что разность квадратов двух последовательных четных чисел не делится на степень 2, большую, чем $2^2$.

Пусть даны два последовательных четных числа. Любое четное число можно представить в виде $2n$, где $n$ – целое число. Тогда следующее за ним четное число будет $2n+2$.

Требуется доказать утверждение о разности их квадратов. Составим выражение для разности квадратов этих чисел, вычитая из квадрата большего числа квадрат меньшего: $$ (2n+2)^2 - (2n)^2 $$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = 2n+2$ и $b = 2n$.

Подставим эти значения в формулу: $$ ((2n+2) - 2n)((2n+2) + 2n) $$

Упростим выражение в каждой из скобок: $$ (2)(4n+2) $$

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки: $$ 2 \cdot 2(2n+1) = 4(2n+1) $$

Разность квадратов двух последовательных четных чисел равна $4(2n+1)$. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда выражение примет вид: $$ 2^2(2n+1) $$

Теперь проанализируем полученное выражение. Множитель $(2n+1)$ при любом целом $n$ является нечетным числом, так как $2n$ — это всегда четное число, а прибавление единицы к четному числу дает нечетное.

Поскольку $(2n+1)$ — нечетное число, оно не делится на 2. Это означает, что в его разложении на простые множители отсутствует число 2.

Следовательно, все множители 2 в выражении $4(2n+1)$ содержатся только в множителе 4. Таким образом, разность квадратов двух последовательных четных чисел всегда делится на $2^2=4$. Максимальная степень двойки, на которую делится эта разность, равна 2.

Это означает, что данная разность не может делиться на $2^3=8$, $2^4=16$ и любую другую степень двойки, большую чем $2^2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных четных чисел представляется в виде $4(2n+1) = 2^2(2n+1)$, где $(2n+1)$ — нечетное число. Следовательно, эта разность делится на $2^2$, но не делится на $2^k$ при $k>2$.